ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 100

ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ ЛИНЕЙНЫХ РАЗМЕРОВ И ОБЪЕМА ТЕЛА

Цель работы

Приобретение навыков работы с микрометром и штангенциркулем и усвоение методов расчета погрешностей при проведении прямых и косвенных измерений.

Теоретическое введение

Измерить физическую величину – значит сравнить ее с эталонной величиной, то есть установить, сколько раз измеряемая величина содержит эталонную единицу.

Измерения бывают прямые и косвенные. Прямые измерения – это измерения, в которых искомая физическая величина определяется непосредственно по шкале прибора. Косвенные – измерения, в которых искомая величина находится расчетным путем по формулам из результатов прямых измерений других величин.

Погрешностью измерения величины X называют отклонение результата измерения от истинного значения. Абсолютная погрешность X показывает, на сколько результат измерения величины X отличается от ее истинного значения X_ист:

.

Относительная погрешность – это отношение абсолютной погрешности к истинному значению. Она показывает, какую часть измеряемой величины составляет ее погрешность:

Погрешности, допускаемые при измерениях, подразделяются на грубые (промахи), систематические и случайные.

Промахи – это очевидные ошибочные измерения, возникающие в результате небрежности отсчета по прибору, неправильного включения прибора или неразборчивости записи показаний. Такие ошибочные данные измерений следует отбрасывать.

Систематическими называются погрешности, обусловленные одной и той же причиной. Обычно при многократных измерениях физической величины систематическая погрешность имеет одно и то же значение, то есть систематически повторяется. Такие погрешности можно учесть путем внесения соответствующих поправок, и поэтому устранить.

Случайными называются погрешности, вызванные весьма большим числом отдельных причин, действующих в каждом отдельном измерении различным образом. Такие ошибки можно свести к минимуму, но полностью устранить их невозможно. Они подчиняются законам теории вероятностей, и для измеряемой физической величины следует указывать пределы (доверительный интервал), внутри которого находится ее истинное значение.

Считая, что промахи отброшены, а систематические погрешности устранены, рассмотрим методику обработки результатов измерений, когда преобладают случайные ошибки.

В этом случае погрешность можно оценить с некоторой вероятностью, проведя измерения искомой величины несколько раз. Приближенной оценкой истинного значения искомой величины является среднее арифметическое значение < X > результатов отдельных измерений X_i:

, (1)

где номер i – измерения, N – число измерений.

Вероятность того, что результат измерения <X> отличается от истинного значения X_ист не более, чем на X, называется доверительной вероятностью . Интервал значений от (X_истX) до (X_ист+X) называется доверительным интервалом, а X – его полушириной или доверительной погрешностью.

Доверительная погрешность X вычисляется на основе средней квадратичной погрешности Sx:

, (2)

где t_N() – коэффициент Стьюдента.

Средняя квадратичная погрешность S_x характеризует разброс результатов измерений относительно среднего арифметического значения и является полушириной доверительного интервала, соответствующего доверительной вероятности 0,683. Она определяется по формуле:

. (3)

Коэффициент Стьюдента является функцией двух параметров: доверительной вероятности  и числа измерений N. Коэффициенты Стьюдента для некоторых значений  и N приведены в таблице 1.

В настоящем лабораторном курсе мы будем пользоваться доверительной вероятностью   0,95, кроме случаев, которые будут оговариваться особо.

При косвенных измерениях, когда определяемая величина рассчитывается по формуле на основе результатов прямых измерений физических величин, входящих в эту формулу, погрешность результата складывается из ошибок прямых измерений. Для ошибок, малых по сравнению с измеряемой величиной, погрешность можно искать в виде приращения функции. Например, если искомая величина является функцией трех величин F(X,Y,Z), то погрешность F_x из-за ошибки значений величины X на X будет:

,

и суммарная погрешность определяется выражением:

. (4)

Если функция F логарифмируется, то для упрощения процесса дифференцирования вначале ищут относительную погрешность определяемой величины по формуле:

. (5)

Эту формулу легко получить из формулы (4), разделив ее на F и введя F в правой части под знак дифференциала. После этого от относительной погрешности переходят к абсолютной:

. (6)

Таблица 1

Число измерений N	Доверительная вероятность 
	0,7	0,9	0,95	0,99
2 3 4 5 10	2,0 1,3 1,3 1,2 1,1	6,31 2,92 2,35 2,13 1,83	12,71 4,30 3,18 2,78 2,26	63,66 9,92 5,84 4,60 3,25

Результаты измерений и погрешности нужно округлить и представить в стандартном виде, указав единицу измерения:

. (7)

Вначале округляют погрешность до первой (слева) значащей цифры. Результат округляют до разряда, соответствующего разряду округленной погрешности. Например, найдено, что: