X  4,257 мм, X  0,0086 мм, тогда X  (4,2570,009) мм.

X  425,7 м, X  1,7 м, тогда X  (4,260,02)102 м.

В данной работе требуется определить линейные размеры (диаметр D и высоту H), а также объем цилиндра V, проведя измерения с помощью микрометра и штангенциркуля. Поскольку значения D и H мы считываем непосредственно со шкалы измерительных приборов, то такие измерения будут прямыми измерениями. Погрешность прямых измерений найдем по формулам (2) и (3), где роль X играет либо D, либо H. Объем цилиндра вычисляется по рабочей формуле

, (8)

то есть находится в результате косвенных измерений.

Формула (7) имеет вид, удобный для логарифмирования. Поэтому абсолютную погрешность объема V найдем через относительную погрешность, используя формулы (5) и (6):

,

.

Следовательно,

, (9)

, (10)

где <V> получается из формулы (7) при замене D и H их средними значениями.

Формулы (8) и (9) представляют собой формулы погрешностей косвенных измерений.

Описание приборов

Штангенциркуль. Штангенциркуль служит для линейный измерений, не требующих высокой точности. Отсчетным приспособлением у всех конструкций данных приборов служат шкала штанги и линейный нониус.

Нониусом называется специальная шкала, дополняющая обычный масштаб и позволяющая повысить точность измерений в 10 – 20 раз.

Рис.1

Линейный нониус (существует еще и круговой) представляет собой линейку, скользящую вдоль основной шкалы (выноска B на рис.1).

Нониус укреплен в подвижной рамке, скользящей вдоль основной шкалы штанги. При нулевом показании инструмента нуль нониуса совпадает с нулевым штрихом основной шкалы. При измерении детали подвижная рамка 1 с нониусом смещается, и деталь зажимается губками 2 штангенциркуля. При наличии у штангенциркуля верхних 3 и нижних 2 измерительных губок его можно применять как для внутренних, так и для внешних измерений.

Длина предмета равна числу целых делений шкалы, расположенных слева от нулевого деления нониуса, плюс величина отсчета по нониусу.

Для снятия отсчета по нониусу смотрят, какой из штрихов нониуса совпадает с каким-нибудь из штрихов основной шкалы. Номер этого штриха нониуса умножают на цену деления нониуса и получают отсчет нониуса в долях миллиметра. Цена деления нониусов у разных штангенциркулей различна. Обычна она равна 0,1; 0,05 или 0,2 мм. Погрешность измерения с помощью нониуса равна цене деления нониуса. В приведенном на рис.1 примере отсчет равен 30,40 мм.

Микрометр. Микрометр (рис.2) состоит из полого стержня, жестко соединенного скобкой 5 с упором 2. В полость стержня ввинчен микрометрический винт. При измерении предмет зажимается упором 2 и подвижным концом микрометрического винта 3. Микровинт вращают, держась за трещотку 4. Вместе с микровинтом вращается корпус барабана 1, перемещаясь при этом поступательно относительно стержня. Отсчет ведется по горизонтальной шкале, нанесенной на полый стержень, и по шкале барабана. Отсчетное устройство микрометра состоит из двух шкал. Горизонтальная шкала стержня представляет собой двойную шкалу с ценой деления 0,5 мм, нанесенную на обе стороны продольной черты таким образом, что верхняя сдвинута относительно нижней на половину деления.

Рис.2

Цена деления шкалы барабана может быть установлена следующим образом: пусть число делений круговой шкалы барабана n  50. Шаг микровинта h  0,5 мм, то есть одному полному обороту микровинта (и барабана) соответствует линейное перемещение края барабана на 0,5 мм. Цена деления круговой шкалы:

.

Отсчет производится следующим образом: по горизонтальной шкале стержня отсчитывается размер измеряемого предмета с точностью до 0,5 мм. Сотые доли миллиметра отсчитываются по круговой шкале барабана. Полученные результаты складываются. Число сотых долей соответствуют делению шкалы, расположенному против продольной черты на стержне. Показания микрометра на рис.2 равны 3,77 мм.

Проведение измерений

Приборы и принадлежности:

• Микрометр

• Штангенциркуль

• Измеряемый цилиндр

Каждую из величин D и H измерьте штангенциркулем и микрометром по 5 раз в различных местах цилиндра. Места замеров рекомендуется выбирать примерно на одинаковых расстояниях друг от друга. Результаты измерений занесите в таблицу 2.

Обработка результатов

1. Рассчитайте средние арифметические значения D и H по формуле (1) и запишите их в таблицу 2.

Таблица 2

Номер измерения i	Измерения штангенциркулем		Измерения микрометром
	Di, мм	Hi, мм	Di, мм	Hi, мм
1
2
3
4
5
Среднее значение

2. Вычислите среднюю квадратичную погрешность D и H. Для этого найдите погрешности отдельных измерений D_i  D_i  <D> и H_i  H_i  <H> и их квадраты (D_i)² и (H_i)². Результаты запишите в таблицу 3. Сложите квадраты погрешностей отдельных измерений и полученную сумму подставьте в формулу для средней квадратичной погрешности (3), подразумевая под X либо D, либо H.

Таблица 3

Номер измерения i	Измерения штангенциркулем				Измерения микрометром
	Di мм	(Di)^2 мм^2	Hi мм	(Hi)^2 мм^2	Di мм	(Di)^2 мм^2	Hi мм	(Hi)^2 мм^2
1
2
3
4
5

3. Задавшись доверительной вероятностью   0,95 и числом измерений N 5, определите по таблице 1 значение коэффициента Стьюдента t_N().

4. Вычислите доверительную погрешность по формуле (2), заменяя X соответственно на D и H для обоих случаев измерений – штангенциркулем и микрометром.

5. Окончательные результаты прямых измерений занесите в таблицу 4, в которой, кроме границ доверительной погрешности, указывается и относительная погрешность в процентах .

Возможно, что при измерениях D и H результаты будут мало отличаться друг от друга. При этом вычисленные погрешности D и H могут оказаться меньше соответствующих паспортных значений погрешностей измерительных приборов – микрометра и штангенциркуля. В этом случае в качестве окончательной погрешности D и H, подставляемых в таблицу 4, берут большие из двух сравниваемых – погрешности измерительных приборов.

6. По формуле (8) вычислите объем цилиндра <V>, подставляя вместо D и H соответственно <D> и <H>. Расчет выполните два раза – для значений <D> и <H> полученных как с помощью штангенциркуля, так и с помощью микрометра.

7. Рассчитайте относительную погрешность объема цилиндра для измерений с помощью штангенциркуля и микрометра по формуле (9).

8. Найдите абсолютную погрешность объема цилиндра для измерений с помощью штангенциркуля и микрометра V по формуле (10).

9. Округлите погрешность и результат и запишите их в стандартном виде (7).

Таблица 4

Число измерений N	Доверительная вероятность 	Измерения штангенциркулем		Измерения микрометром
		<D>D мм	<H>H мм	<D>D мм	<H>H мм
5	0,95
Относительная погрешность

Контрольные вопросы и задания

1. Что такое прямые и косвенные измерения?

2. Что такое абсолютная и относительная погрешность?

3. Что такое средняя квадратичная погрешность?

4. Что такое доверительная погрешность и доверительная вероятность?

5. Как находится погрешность прямых измерений?

6. Как находится погрешность косвенных измерений?

7. Как округлить результат измерений и погрешность?

8. Как записать результат и погрешность в стандартном виде?

9. Найдите с помощью формул (5) и (8) относительную погрешность объема цилиндра.

10. Найдите с помощью формул (4) и (8) абсолютную погрешность объема цилиндра.

11. Докажите, что формула (5) является следствием формулы (4).

Литература

1. Кассандрова О.Н., Лебедев В.В. Обработка результатов наблюдений. М., 1970.

2. Каленков С.Г., Соломахо Г.И. Практикум по физике. Механика: Учеб. пособие для студентов вузов. – М.: Высш. шк., 1990.

3. Лабораторный практикум по физике: Учеб. пособие для студентов втузов/ Под ред. К.А. Барсукова и Ю.И. Уханова. – М.: Высш. шк., 1988.

8