Порядок старшей производной определяет порядок системы (звена) в целом.

Если n=1 – система первого порядка; n=2 – система второго порядка.

Передаточной функцией системы от данного входы к данному выходу – отношение изображения по Лапласу выходной переменной к изображению по Лапласу входной переменной при нулевых условиях и равенстве нулю прочих входов.

- матрица объекта, размерность [n×n], n – порядок системы.

- матрица управления, размерность [n×m].

- матрица измерений (наблюдений), размерность [k×n], k – количество входных сигналов.

- матрица влияния входных сигналов на выходные, размерность [k×m].

Знаменатель передаточной функции – есть характеристический полином системы. Характеристический полином системы – это уравнение, которое описывает свободной движение системы. Свободное движение системы – это движение при отсутствии внешних воздействий.

Переходная функция – это реакция системы на единичную ступенчатую функцию вида:

Весовая функция – это реакция системы на импульсную функцию Дирака вида:

Следствия из свойств дельта функции:

1.

2.

Частотно-передаточной функцией от данного входа к данному выходу или комплексным коэффициентом передачи называется отношение изображения по Фурье выходной переменной к изображению по Фурье входной переменной при нулевых начальных условия и равенстве нулю прочих входов.

Частотно-передаточная функция представляет собой комплексное число, модуль которого равен отношению амплитуды выходного сигнала к амплитуде входного сигнала , а аргумент представляет собой сдвиг по фазе между выходом и входными сигналами.

Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) – это годограф вектора частотно-передаточной функции при изменении частоты w от - до +

Сопрягающая частота- это частота обратно пропорциональная постоянной времени звена

Устойчивость – способность системы возвращаться с некоторой степенью точности в исходное состояние после снятие внешних воздействий, выведших ее из этого состояния.

Определение устойчивости по Ляпунову:

Положение равновесия x_e невозмущенной системы называется устойчивым по Ляпунову, если для любой положительной, сколь угодно малой окрестности существует окрестность такая, что для любого возмущения из окрестности справедливо выполнение условия

- норма вектора

Положение равновесия x_e невозмущенной системы называют асимптотически устойчивым, если во 1 оно устойчиво по Ляпунову, а во 2 всякое возмущенное движение начатое из окрестности стремиться к положению равновесия

Определение асимптотической устойчивости более строгое, чем устойчивость по Ляпунову.

Для того чтобы система была устойчива НЕОБХОДИМО И ДОСТАТОЧНО, чтобы ВСЕ корни характеристического полинома имели отрицательные вещественные части. Наличие ХОТЯ БЫ ОДНОГО корня с положительной вещественной частью приведет к неустойчивости всей системы в целом.

Необходимым, но недостаточным условием устойчивости линейных систем автоматического управления (САУ), является положительность ВСЕХ коэффициентов характеристического полинома (х.п.). Если хотя бы 1 коэффициент отрицателен – система неустойчива.

Критерий Гурвица.

Для того, чтобы линейная САУ была асимптотически устойчивой необходимо и достаточно, чтобы все определители Гурвица были положительны, если a_o>0 или отрицательны, если a_o<0.

Критерий Михайлова.

Для того, чтобы система была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы вектор годографа Михайлова D(jw) при изменении w от 0 до + перевернулся против часовой стрелки вокруг начала координат, нигде не обращаясь в 0, на угол , где n – порядок системы.

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы корни вещественной и мнимой функции Михайлова чередовались, причем первый нулевой корень являлся корнем мнимой функции Михайлова.

Особенности критерия Найквиста:

Данный критерий позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по частотным характеристикам разомкнутой системы.

Порядок х.п. замкнутой и разомкнутой систем равен n.

Если разомкнутая система устойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы при изменении w от - до + АФЧХ разомкнутой системы не охватывала точку на вещественной оси с координатами (-1; j0).

Если разомкнутая система находиться на границе устойчивости, то для устойчивости разомкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы, дополненная на частоте w=0 окружностью бесконечно большого радиуса в направлении по часовой стрелке не охватывала точку на вещественной оси (-1;j0)

Если разомкнутая система неустойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы разница между числом положительных переходов осуществляемых АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты w от 0 до +, через участок отрицательной вещественной оси от - до -1, и числом отрицательных переходов, составляла величину , где l- число правых корней характеристического полинома разомкнутой системы.

Если разомкнутая система неустойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы разница между числом положительных переходов ЛФХ разомкнутой системы через уровни ±(2i+1), совершаемых в области положительной ЛАХ, и числом отрицательных переходов составляет величину , где l - число правых корней характеристического полинома разомкнутой системы.

Порядок астатизма

Системой с астатизмом нулевого порядка или статической системой называется такая система, вынужденная установившаяся ошибка которой, при подаче на ее вход постоянного внешнего сигнала вида U(t)-U₀=const постоянна и пропорциональна уровню входного сигнала.

е_уст.=С₀•U₀=const

Системой с астатизмом первого порядка или астатической системой, называется такая система, вынужденная установившаяся ошибка которой, при подаче на ее вход линейно возрастающего сигнала U(t)=U₀+Vt (U₀=const,V=const) с постоянной скоростью, постоянна и пропорциональна скорости входного сигнала.

е_уст.=С₁•V; C₀=0

Системой с астатизмом k-того порядка называется такая система, вынужденная установившаяся ошибка которой, при подаче на вход системы сигнала вида U(t)=U₀+V₁t +(V₂/2)•t²+…+(V_k/2)•t^k, где U₀=const, V_i=const, 1,…,k, постоянна и пропорциональна V_k

е_уст.=С_k•V_k; C₀=0, C₁=0,…, C_k-1=0

Порядок астатизма равен первому отличному от нуля коэффициенту в разложении ошибки.

Повышая порядок астатизма в системе, мы повышаем точность системы. Но при этом понижается запас устойчивости по фазе, т.к. за счет интегрирующего звена результирующая ЛФХ разомкнутой системы опускается на π/2.

Порядок астатизма можно увеличить путем введения интегрирующего звена в передаточную функцию разомкнутой системы.