Умножение5

11

Для получения результата ребенок может воспользоваться лю­бой из упомянутых выше моделей.

При больших значениях делимого и делителя этот прием не­удобен. Например: 72 горшка с цветами расставили на 8 окон. Сколько горшков на каждом окне?

Находить результат, используя предметную модель в этом слу­чае неудобно.

2. Прием, связанный с правилом взаимосвязи компонентов ум­ножения и деления

В этом случае ребенок ориентируется на запоминание взаимо­связанной тройки случаев, например:

7-9 = 63 63:7 = 9 63:9 = 7

Если ребенку удается хорошо запомнить один из этих случаев (обычно опорный — это случай умножения) или он может получить его с помощью любого из приемов запоминания таблицы умноже­ния, то используя правило «если произведение разделить на один из множителей, то получится второй множитель», легко получить второй и третий табличные случаи.

Особые случаи умножения и деления

1. Умножение и деление с 0 и 1.

2. Внетабличное умножение и деление в пределах 100.

3. Деление с остатком.

4. Приемы устных вычислений умножения и деления трехзначных и многозначных чисел.

1. Умножение и деление с О и 1

Случаи умножения и деления с 0 и 1 считаются особыми и рас­сматриваются отдельно от табличных случаев умножения и деле­ния, поскольку они не могут быть объяснены с общих позиций смысла действий умножения и деления. Для обоснования матема­тического смысла этих случаев в определении действия умноже­ния оговорены два дополнения, определяющие способ получения результата в этих случаях.

По определению умножение целых неотрицательных (натураль­ных) чисел — это действие, выполняющееся по следующим правилам:

а • 1 = а, при Ь = 1 а-0 = 0,приЪ = 0

Поскольку фраза: «повторяем слагаемые 1 раз» или «повторяем слагаемые 0 раз» не имеет смысла, на общее определение в этом случае не ссылаются, а просто вводят эти случаи по соглашению т. е. сообщают детям, что умножая любое число на 1 получаем в произведении это же число; а умножая любое число на 0, получаем в произведении 0.

В общем виде эти правила оформляются в буквенном выражении:

| ах1 = а | | ах0 = 0 |

Соответствующие правила предлагаются детям для запоми­нания:

При умножении любого числа на 1 получается то число, которое умножали.

При умножении любого числа на нуль получается нуль.

Аналогичным образом вводится правило: На нуль делить нельзя!

В отличие от этих правил, способы деления числа на само себя с получением числа 1 в результате, а также способы умножения числа 1 на любое число и способы умножения числа 0 на любое число возможно объяснить ученику начальной школы, используя имеющиеся у него знания.

Например, для объяснения случая 1 • 7 обратимся к смыслу дей­ствия умножения как суммирования одинаковых слагаемых. В дан­ной записи первый множитель показывает, какое число суммируем, а второй множитель сколько раз, таким образом:

1-7 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 7

Для объяснения случая 0 • 5 воспользуемся тем же приемом:

0-5=0+0+0+0+0=0

Для объяснения случаев вида а : а = 1 (если а Ф 0), а : 1 = а, О : а = 0 следует обратиться к правилу взаимосвязи компонентов умножения и деления.

Например, рассмотрим случай 13 : 13 = ...

Для получения значения частного воспользуемся правилом: «ес­ли значение частного умножить на делитель, то получим делимое». Делитель — число 13, найдем частное методом подбора с после­дующей проверкой по обозначенному правилу.

Единственное число, подбираемое к данному значению частно­го — это 1, поскольку 1 • 13 = 13. Значит, 13 : 13 = 1.

Рассмотрим случай 27 : 1 =*...

Для получения значения частного воспользуемся правилом: «ес­ли значение частного умножить на делитель, то получим делимое». Делитель — число 1, найдем частное методом подбора с последую­щей проверкой по обозначенному правилу.

Единственное число, подбираемое к данному значению частно­го — это 27, поскольку 27 • 1 = 27. Значит, 27 : 1 = 27.

Рассмотрим случай 0:8 = ...

Для получения значения частного воспользуемся правилом: «если значение частного умножить на делитель, то получим дели­мое». Делитель — число 8, найдем частное методом подбора с по­следующей проверкой по обозначенному правилу.

Единственное число, подбираемое к данному значению частно­го — это 0, поскольку 0-8 = 0. Значит, 0:8 = 0.

В общем виде эти закономерности оформляются в буквенном виде:

а:а = 1 а:1=а 0:а = 0

и в виде словесного правила:

При делении числа на то же самое число получается 1.

При делении числа на 1 получается то же самое число.

При делении нуля на любое другое число получается 0.

2. Внетабличное умножение и деление в пределах 100

К внетабличным случаям умножения и деления в пределах 100 относят случаи умножения двузначного числа на однозначное (20 • 3, 18 • 3), а также случаи деления двузначного числа на одно­значное, не входящие в число табличных (80 : 4, 96 : 6) и случаи деления двузначного числа на двузначное в пределах 100 (80 : 40, 96 : 16). Эти случаи рассматриваются как случаи устных вычисле­ний, и предполагается, что ребенок выполняет их без обращения к письменным алгоритмам вычислений, а лишь используя извест­ные ему правила и законы арифметических действий и знание таб­личного умножения и деления.

Используемые математические законы и правила

Для подготовки к изучению внетабличного умножения и деле­ния необходимо рассмотреть следующие правила арифметических действий:

1) правило умножения суммы на число и правило умножения числа на сумму;

2) правило деления суммы на число;

3) правило группировки множителей (сочетательное свойство умножения).

Рассмотрим каждое из этих правил и обоснуем их использова­ние при устных внетабличных вычислениях.

Правило умножения суммы на число и правило умножения числа на сумму

Эти два правила являются двумя вариантами раскрытия смыс­ла распределительного свойства умножения относительно сложе­ния. В буквенном виде эти варианты могут быть записаны следую­щим образом:

Реально знакомство детей с этими двумя вариантами одного и того же правила разведено во времени почти на целый год: пер­вое правило лежит в основе обучения детей умножению дву­значных чисел на однозначные в теме «Внетабличное умножение и деление» в 3 классе, а второе правило лежит в основе способа действия при умножении двузначного числа на двузначное при ум­ножении в столбик в 4 классе.

В основе разъяснения правила умножения суммы на число ле­жит опора на знание конкретного смысла действия умножения.

Рассматривая два способа вычисления результатов с опорой на анализ рисунка, дети убеждаются в том, что результат при обоих способах вычислений одинаков.

Следует отметить, что первый способ вычислений не требует спе­циальных объяснений и введения нового правила, поскольку он подчиняется общим требованиям к порядку выполнения действий в выражениях со скобками: действия в скобках выполняются первыми.

Особо следует оговорить второй способ, поскольку при таких вычислениях фактически нарушается установка на выполнение действия в скобках первым. Именно поэтому при знакомстве детей с этим правилом в 3 классе снова возвращаются к предметным кар­тинкам, позволяющим получить результаты действий пересчетом. В данном случае пересчет фигурок является тем единственным аргументом, который учитель может привести в подкрепление пра­вомочности такого нарушения устоявшегося правила (действие в скобках выполняется первым).

Введение правила таким образом является нестрогим, эмпи­рическим (т. е. опирающимся на непосредственный практический опыт). Более общие способы доказательства этого закона требуют привлечения сложного математического аппарата и нецелесообраз­ны в начальной школе.