зад.на пропорц2
.docДля продуктивного анализа предложенных схем важно, чтобы учащиеся понимали, что один и тот же отрезок обозначает на схеме и количество литров бензина, и количество денег, которые за него заплатили.
Обозначив на схеме данные в задаче величины, получаем:
Теперь необходимо обсудить с учащимися такие вопросы:
- Кто заплатил денег больше? Почему?
- Что обозначают выражения:
120250:25 120250:40
(Эти выражения не имеют смысла.)
120250:(25+40) По отношению ко второй задаче можно обсудить выражения:
27750:40 27750:25 27750:(40+25) 27750:(40 - 25)
Задание 111. Опишите подробно организацию деятельности учащихся в процессе работы над задачами:
«I» В прямоугольнике одна сторона на 8 м больше другой. Найди площадь прямоугольника, если его периметр равен 28 м.
*1* Света купила 6 м 50 см тесьмы, а Настя - на 4 м меньше. Сколько денег заплатила каждая девочка, если они вместе потратили на покупку 7200 р.?
•?• Мастер может отштамповать 480 деталей за 4 часа. А ученику на выполнение этой работы потребуется времени в 3 раза больше. За сколько часов могут отштамповать 480 деталей мастер и ученик при совместной работе?
•»* Макароны упаковали в одинаковые коробки. Масса 17 коробок на 32 кг больше, чем масса 9 коробок. Хватит ли 214 коробок для упаковки 970 кг макарон?
Ш Задание 112. Пользуясь данной таблицей1, найдите в различных учебниках математики или составьте сами задачи на пропорциональное деление с различными величинами. Опишите организацию деятельности учащихся при решении этих задач.
Ш Задание 113. Пользуясь приведенной ниже таблицей1, найдите в различных учебниках математики или составьте сами задачи на нахождение неизвестного по двум разностям. Опишите организацию деятельности учащихся при решении этих задач.
Традиционно сложилось так, что задачи с пропорциональными величинами, связанные с движением тел, выделяются в специальную тему: «Скорость. Время. Расстояние».
Специфика этих задач обусловливается введением такой величины, как скорость движения, а также использованием при их решении схем, которые отражают не отношения между величинами, а процесс движения.
Опираясь на опыт ребенка при разъяснении понятия скорость движения, следует иметь в виду, что употребляя в своей речи слова «быстрее» и «медленнее», дети связывают их смысл с такой величиной, как время. Поэтому знакомство с понятием «скорость движения» можно начать с вопроса: «Как вы понимаете такую фразу: автомобилист едет быстрее, чем велосипедист; пешеход идет медленнее, чем лыжник?»
Возможно, отвечая на этот вопрос, некоторые дети используют понятие «скорость», но, разъясняя его смысл, они так или иначе обратятся к словам: быстрее - медленнее. (У одного скорость больше - он идет быстрее, у другого меньше - он идет медленнее.) В этом случае следует обсудить, что значит быстрее и медленнее. Дети обычно объясняют это так: быстрее, значит, меньше времени; медленнее, значит, больше времени.
В этом случае целесообразно предложить им проблемное задание: «Боря идет до школы 10 минут, а Лена - 15. Подумайте, на какой вопрос вы можете ответить, а на какой нет:
- Кто тратит на дорогу времени больше (меньше)?
- Кто идет быстрее, а кто медленнее?»
В процессе обсуждения выясняется, что ответить можно только на первый вопрос. Для ответа на второй вопрос необходимо знать расстояние, которое проходят Боря и Лена.
Учитель дополняет условие: «Боря проходит расстояние 1 км, а Лена- 1500м».
Важно, чтобы дети осознали обобщенную характеристику скорости как расстояния, пройденного за единицу времени, и в процессе решения задач использовали различные единицы скорости.
Так, в данном случае нужно 1 км выразить в метрах и после этого найти скорость Бори: 1000:10=100 (м/мин), а затем скорость Лены: 1500:15= 100 (м/мин).
Получается, что Лена и Боря идут в школу с одинаковой скоростью.
Дальнейшая работа связана с анализом конкретных ситуаций и их наглядной интерпретацией.
Например:
Каждый час велосипедист проезжает 12 км, а пешеход проходит 4 км.
За сколько времени велосипедист преодолеет данное расстояние? За какое время преодолеет это расстояние пешеход?
Подготавливая детей к решению задач, связанных с движением, необходимо повторить:
- единицы длины - 1 км, 1 м, 1 дм, 1 см, 1 мм;
- единицы времени - 1 ч, 1 мин, 1 с.
После этого познакомить с различными единицами скорости: 1 км/ч, 1 км/мин, 1 м/мин, 1 см/мин.
Так как задачи, связанные с движением,- это задачи с пропорциональными величинами, внимание ребенка необходимо акцентировать на зависимости между величинами: скорость, время, расстояние. Для этой цели можно нарисовать три отрезка, в каждом из
Зафиксировав величины в таблице, можно проследить, как изменяется скорость в зависимости от изменения времени при постоянном расстоянии:
Анализируя таблицу, важно обратить внимание детей на два момента:
а) как связаны между собой величины, т. е. как, зная числовые значения двух величин, найти третью;
б) как изменяется одна величина в зависимости от изменения другой, если третья величина не изменяется.
Очень важно, чтобы дети не воспроизводили формально правила, в которых находит отражение взаимосвязь величин: «чтобы узнать время, нужно расстояние разделить на скорость», «чтобы узнать расстояние, надо скорость умножить на время» и т. д. Поэтому использование формул 5=\М; 7=5:4; *=5:У на данном этапе нецелесообразно. Но при этом детям можно сказать, что скорость, время и расстояние условились обозначать специальными буквами.
С первых уроков изучения данной темы, основной целью которой является формирование у учащихся умения решать задачи с пропорциональными величинами скорость, время, расстояние, следует включать задания (задачи), требующие перевода одних единиц скорости в другие. Например:
•I* Скорость одного пешехода 50 м/мин, а другого - 4 км/ч. За какое время первый пешеход пройдет 12 км? За какое время это расстояние пройдет второй пешеход?
Выделив данные в задаче величины (расстояние, скорость) и искомую (время), необходимо обратить внимание на единицы, в которых выражена каждая величина.
В связи с тем, что расстояние выражено в километрах, единицы скорости необходимо преобразовать. Выполнение таких преобразований позволяет учащимся активно использовать ранее усвоенные знания и представления о пропорциональных величинах. А именно: если сказано, что за 1 мин пешеход проходит 50 м, то выразить данную величину в километрах младший школьник не может, поэтому он сначала выясняет, сколько метров пройдет пешеход за 1час. Так как 1 ч - это 60 мин, а за 1 мин пешеход проходит 50 м, значит, за 60 мин он пройдет расстояние в 60 раз больше: 50.60=3000 (м).
Имеем скорость 3000 м/ч. Теперь можно расстояние выразить в километрах: 3000 м = 3 км. Получаем: 50 м/мин = 3 км/ч.
Для формирования у учащихся представлений о скорости полезно предлагать задачи, в которых для ответа на вопрос не нужно выполнять вычислений:
•I» Мальчики соревновались в беге на 100 м. Коля пробежал дистанцию за 16 с, Боря - за 15 с, а Вова - за 18 с. Кто бежал с большей скоростью?
•3» Таня и Лена живут на одной улице. Они одновременно выходят в школу:
а) Догонит ли Таня Лену, если Таня идет со скоростью 4 км/ч, а Лена -5 км/ч?
б) Догонит ли Таня Лену, если они идут с одинаковой скоростью?
•I» Скорость полета сокола 23 м/с, а орла - 1800 м/мин. Сможет ли орел догнать сокола, если между ними 15 м? 20 м? 10м?
Каждая из приведенных задач решается устно и фронтально обсуждается в классе.
В последней задаче скорости нужно выразить в единицах одного наименования. Решение задачи можно оформить в тетради в таком виде:
1 мин = 60 с; 23 «60 = 1380 ( м/мин);
1380 м/мин < 1800 м/мин Ответ: у орла скорость больше, значит, он догонит сокола.
•I» Из двух городов навстречу друг другу одновременно вышли две машины. На каком расстоянии от одного и другого города они встретятся, если их скорости равны?
При решении задач на движение используются схемы, отражающие как отношения между величинами, так и процесс движения.
Например:
•»* Два пешехода двигались с одинаковой скоростью. Первый прошел 20 км, а второй — 12 км. С какой скоростью шли пешеходы, если один затратил на дорогу на 2 ч больше, чем другой?
•I» Два велосипедиста выехали навстречу друг в 10 ч утра и встретились в 13 ч. Сколько времени был в пути каждый велосипедист? Какое расстояние было между ними первоначально, если один ехал со скоростью 16 км/ч, а другой - 18 км/ч?
Помимо схем, целесообразно при решении задач на движение использовать различные сочетания методических приемов: сравнения, выбора, преобразования, конструирования.
Рассмотрим, как можно организовать деятельность учащихся, работая на уроке с приведенной выше задачей.
1-й вариант
В учебнике текст задачи и готовая схема.
Учитель предлагает самостоятельно прочитать задачу, рассмотреть схему и записать ее решение по действиям.
Предположим, что большая часть детей не приступила к решению задачи. В этом случае учитель предлагает учащимся прочитать текст задачи, который записан на доске: «Два велосипедиста одновременно выехали навстречу друг другу и встретились через три часа. Какое расстояние было между ними первоначально, если один ехал со скоростью 16 км/ч, а другой - 18 км/ч?»
- Сравните тексты задач, В чем их сходство и в чем различие? (В условии первой задачи сказано, что велосипедисты выехали в 10 часов, а во второй задаче это заменили словом «одновременно»; в первой задаче нужно узнать, через сколько часов они встретились, а во второй это известно и т. д.)
- Но ведь во второй задаче не сказано, что каждый велосипедист был в пути 3 часа, а сказано так: через 3 часа они встретились. (Если они выехали одновременно и встретились через три часа, то это значит, что каждый был в пути три часа.)
- А какой велосипедист пройдет до встречи большее расстояние? (Тот, у которого скорость больше.)
- Прочитайте еще раз внимательно первую задачу и запишите ее решение.
Учитель дает учащимся время для самостоятельной работы. После этого он предлагает учащимся обсудить различные способы решения данной задачи. При этом можно сказать, что эти способы решения он обнаружил в тетрадях у некоторых детей: а) 1) 13 - 10=3 (ч) б) 1)18 - 16=2 (км/ч)
2) 18+16=34 (км/ч) 2)16*6=96 (км)
3)34»3=102 (км) 3)2.3=6 (км)
4) 96+6=102(км)
- А теперь прочитайте другую задачу, ту, которая написана на доске. Чем эта задача отличается от той, которая дана в учебнике? На доске текст: «Два велосипедиста одновременно выехали навстречу друг другу и встретились через 3 часа. Какое расстояние было между ними через 2 часа, если один ехал со скоростью 16 км/ч, а скорость другого была на 2 км/ч больше?»
Учащиеся обсуждают внесенные в условие изменения и сравнивают задачу с той, которая в учебнике.
- Подумайте, какие действия нужно выполнить в этой задаче, чтобы ответить на поставленный вопрос, и запишите самостоятельно её решение.
2-й вариант
Предлагается сначала задача с недостающими данными.
<* Два велосипедиста выехали навстречу друг другу и встретились в 13 часов. Сколько времени был в пути каждый велосипедист? Какое расстояние было между ними первоначально, если один велосипедист ехал со скоростью 16 км/ч?
Текст обсуждается фронтально. Учащиеся выдвигают свои предложения о решении задачи. Обнаруживают, что в задаче не хватает данных, и обосновывают свое мнение. Дополняют условие задачи. После этого решают самостоятельно сконструированную ими задачу. Затем целесообразно обсудить другие способы решения, как это сделано в первом варианте.
Щ Задание 114. Придумайте свой вариант работы с данной задачей, используя приемы: выбор схемы, условие с лишними данными, постановка вопроса к данному условию.
Ш Задание 115. Найдите в учебниках математики для начальных классов или придумайте сами задачи с величинами «скорость», «время», «расстояние», на нахождение четвертого пропорционального, на пропорциональное деление, на нахождение неизвестного по двум разностям. Опишите возможные варианты работы с этими задачами.