Сборник задач по высшей математике

3.3.27.	Найти вектор х, перпендикулярный к векторам а = (2; —3; 1) и
	Ь = (1; —2; 3) и удовлетворяющий условию х • (г + 2j — 7к) = 10.
3.3.28.	Векторы а, Ь и с удовлетворяют условию а + 6 + с = 0. Доказать,
	что axb — Ъхс — сха.
3.3.29.	Дано: а = (1; —4; 0), Ь = ( 6 ; 3 ; - 2 ) , с = (1;-2; 2). Найти npff(6xc).
3.3.30.	Векторы а,		6, с и	d связаны соотношениями а х Ь = с х 5,
	а х с = b х d. Доказать, что векторы (а — 5) и (5 — с) колли-
	неарны.
Контрольные вопросы и более сложные задачи
3.3.31.	Доказать, что точки А, В и С лежат на одной прямой тогда и
	только тогда, когда АВ х АС = 0.
3.3.32.	Доказать, что векторное произведение не изменится, если к од-
	ному из сомножителей прибавить вектор, коллинеарный дру-
	гому сомножителю.
3.3.33*.	Доказать тождество Лагранжа:
	ai	bi	+ а 1	С\ +	bi	ci	=
	а2	Ь2	а2	С2	b2	С2
					a\ + b\+ с\			а\(12 + b\b2 + С1С2
				а\а2 Н- b\b2 + С1С2				а\ + Ь\ + с\
3.3.34.	Найти площадь треугольника ABC с вершинами в точках
	A(xi;yi;zi),		В(х2\у2', z2),			C(x3;y3;z3).
3.3.35.	На векторах а = (2; —1; 7) и Ь = (1;0; —4) построен параллело-
	грамм. Найти высоту, опущенную из конца вектора Ь, и пло-
	щадь треугольника, образованного этой высотой и сторонами
	параллелограмма.
3.3.36.	Доказать, что для любых векторов а, р, q, f векторы а хр, а х q,
	ах г	компланарны.
3.3.37.	Три	ненулевых вектора			а,	5, и	с связаны соотношениями
	а = b х с, Ь = с х а, с = а х Ь. Найти длины этих векторов и
	углы между ними.
3.3.38.	Доказать, что а х (b х с) = Ь • (а • с) — с • (а • Ь).
	Указание, орт i сонаправить с вектором Ь, орт j — в плоскости
	векторов Ь и с. Найти координаты обеих частей и убедиться,
	что они равны.
3.3.39.	Вывести формулу для sin(o: — /?).
	Указание, рассмотреть в плоскости Оху два единичных вектора
	ё\ и 62, составляющих с осями углы а и /? соответственно; найти
	ё\ х ё2.

110

3.3.40.Какому условию должны удовлетворять векторы а и Ь, чтобы векторы За + b и а — ЗЬ были коллинеарны?

3.3.41. При каких значениях а и /3 векторы а = m 4- 7j 4- 3& и b = г4

4/Jj + коллинеарны?

3.3.42. Дано: axc = bx с, сф 0. Можно ли отсюда заключить, что

а = Ь?

3.3.43. Чему равно векторное произведение противоположных векто-

ров?

3.3.44.Чему равно:

а) J х г;_

б) j х (j + k)\_

в ) 2г х (к - 5j)?

3.3.45. Равносильны ли равенства а = Ь и а х с = Ь х с ?

3.3.46*. Даны два вектора а ф 0, b ф 0. Можно ли подобрать вектор х так, чтобы а = Ь х х?

3.3.47.Чему равно векторное произведение коллинеарных векторов? векторов а и (—а)?

3.3.48.Найти:

1)J х г; _

2)2г х bj\ _

3)г х (г + Л).

3.3.49.Верно ли соотношение \а х b\ ^ \а\ • |6|?

3.3.50.Существуют ли такие векторы а и 6, что ах b = b х а?

§4. СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

^	Смешанным произведением трех векторов а, б и с называет-
	ся число, равное скалярному произведению вектора a x b на
	вектор с.
	Обозначение: аЪс.
	Таким образом:
	abc = (а х Ь) • с

Геометрически смешанное произведение интерпретируется как число, равное объему параллелепипеда, построенного на векторах а, b и с как на ребрах. Смешанное произведение векторов a, b и с положительно, если данные векторы образуют правую тройку, и отрицательно — если левую.

Свойства смешанного произведения:

1.(а х Ь) • с = (Ь х с) • а = (с х а) • 5, т. е. смешанное произведение не меняется при циклической перестановке векторов;

2.(а х Ь) • с = а • (b х с), т. е. смешанное произведение не меняется при перестановке знаков векторного и скалярного умножения;

ill

3.abc = —acb = —bac = cba т.е. смешанное произведение меняет знак на противоположный при перемене мест любых двух векторовсомножителей;

4.abc = 0, если a, b и с компланарны (в частности, если любые два из перемножаемых вектора коллинеарны).

Если векторы a, b и с заданы своими координатами а = (ax;ay;az), b= (Ъх]Ьу]Ьг), с — (cx\cy\cz) то

		ау	az
abc =		Ьу	bz	(4.1)
	сх	Су	Cz

Если abc > 0, то а, 5, с — правая тройка; abc <0 — левая.

Объем V\ параллелепипеда, построенного на векторах a, b и с, и объем V2, построенной на них треугольной пирамиды, находятся по формулам

	Уг	= |abc|,	(4.2)
	V2	= i|afe|.	(4.3)
3.4.1.	Доказать, что четыре	точки Ai(3;5;l),	А2 (2;4;7), А3 (1;5;3),

А*(4; 4; 5) лежат в одной плоскости.

О Достаточно показать, что три вектора А\А2, AiA3, А1А4, имеющие начало в одной из данных точек, лежат в одной плоскости (т.е. компланарны). Находим координаты векторов

МА2, МАъ, А^А4:

АГА2 = (2 - 3; 4 - 5; 7 - 1) = ( - 1; - 1 ; 6); А1А3 = (1 — 3; 5 — 5; 3 — 1) = (—2; 0; 2); 1 ^ 4 = (4 - 3; 4 - 5; 5 - 1) = (1; - 1 ; 4).

Проверяем условие компланарности векторов (свойство 4 смешанного произведения векторов):

	- 1	- 1
	АгА2 • А1А3 • А1А4 = - 2	0	= 0 - 2 + 1 2 - 0 -	2 - 8 = 0.
	1	- 1
	Итак, векторы AiA2, А1А3 и А1А4 коллинеарны, следователь-
	но точки А\, А2, As, А4 лежат в одной плоскости.			•
3.4.2.	Проверить компланарны ли данные векторы:
	а ) а = (1; 2 ^ 2 ) , Ь = (1; - 2 ; 1), с =		(5; - 2 ; -1);
	б) а = j + к, b = j — к, с = г.
3.4.3.	При каком значении А векторы a = г + j + Afc, Ь =			(0; 1;0) и
	с = (3; 0; 1) компланарны?

112

3.4.4.Даны вершины пирамиды А(5; 1; —4), 2?(1;2;—1), С(3;3; —4), 5(2; 2; 2). Найти длину высоты, опущенной из вершины S на грань ABC.

О Так как объем V пирамиды есть V = gS'/i, то h =

где h = |50| — высота пирамиды, S' — площадь основания (рис. 12).

		С
	Рис. 12
	Находим V: AS = ( - 3; 1; 6), АВ =						( - 4; 1; 3), АС =							( - 2; 2; 0).
И согласно формуле (4.3):
и		_ 1		- 3		1	3		- 4	3		+ 6		- 4	1
		~ 6				2 0			- 2	0				- 2	2

= i | 1 8 - 6 - 3 6 | = i | - 2 4 | = 4.

Находим S' = S'AABC:

	S' = \\ABxAC\		= ±
			= \ I - 6t - 6j - 6fc| = ^ • 6л/3 = Зл/3.
3.4.5.	Следовательно, h =		3^•'л/3 = ^				•
	Найти объем	параллелепипеда,			построенного	на	векторах
	g = (1; —2; 1), b = (3;2; 1), с = (1;0; —1).
3.4.6.	Найти высоту	параллелепипеда,			построенного	на	векторах
	а = (2; 1; —3), Ь = г + 2j +			с = (1; —3; 1), опущенную на грань,
	построенную на векторах b и с.
3.4.7.	Найти объем треугольной призмы, построенной на векторах
	а = (1;2; 3), S = (2;4; 1), с =			(2; - 1;0) .
							113

8 - 2361

3.4.8.	Вычислить (а + Ь + с)(а - Ь — с)(а — Ь + с).
	О Используя свойства смешанного произведения векторов,
	получаем:
		(a+b+c)(a—b—c)(a—b+c)				= ((а+Ь+с) х (а - Ь - с)) - (а - Ь+с)				=
	= (аха - ахЬ - ахс+Ьха - ЬхЬ - ЬхсН - сха - схЬ - схс)'(а - Ь+с) =
	=		(0-axb-axc-axb-0-bxc-axc				+	bxc-0)'(a-b+c)		=
	= ( - 2 а х b - 2а х с) • (а - b + с) = - 2(а х Ь + а х с) • (а - Ь + с) =
				= —2(aba — abb + abc + аса — acb + асс) =
			=	- 2(0 - 0 + аЬс + 0 + abc + 0) =				-2 • 2abc = -4abc.		•
3.4.9.	Вычислить произведение (а — b)(b — с)(с — а).
3.4.10.	Вычислить произведение а(Ь — с)(а + Ь + 2с).
3.4.11.	Какую тройку образуют векторы a, b и с:
	а)	а =	г + j, b =		i - j, с =	fc;
	б)	a =	(1; - 4 ; 0), 5 = (6; 3; -2), с = (1; -2; 2)?
3.4.12.	Векторы a, b и с взаимно перпендикулярны, образуют правую
	тройку. Найти abc, зная что \а\ = 4, |Ь| = 2, |с| = 3.
3.4.13.	Даны векторы а = (3; 5; —1 ) , 5 = (0; —2; 1) и с = ( - 2; 2; 3). Найти
	(а х Ь) х с.
Дополнительные задачи
3.4.14.	Вычислить произведение Ь(с 4- а)(Ь 4- 2с), если abc = 5.
3.4.15.	Вектор с перпендикулярен векторам а и б; (а, 6) =								|а| = 6,
	|6| = 3, \с\ = 3. Найти abc.
3.4.16.	Найти		объем пирамиды с вершинами					Ai(0;0; 1),	А2(2\ 3;5),
	А3 (6;2;3), А4 (3;7;2).
3.4.17.	Показать,			что	точки	А(5;7;-2),	Б(3;1; - 1), С(9;4; - 4)			и
	-0(1; 5; 0) лежат в одной плоскости.
3.4.18.	Даны		вершины		пирамиды А(—5;—4;8),			Б(2;3; 1),	С(4; 1; — 2),
	Z>(6; 3; 7). Найти длину высоты, опущенной на грань BCD.
3.4.19.	Объем тетраэдра равен 5, три его вершины находятся в точках
	А(2; 1;-1), В(3;0;1), С(2; - 1;+3) . Найти координаты четвер-
	той вершины D, если известно, что она лежит на оси ординат.
3.4.20.	Дан параллелепипед ABCDA\B\C\D\, построенный на векто-
	рах АВ = (4; 3; 0), AD = (2; 1; 2) и ААХ = ( - 3 ; - 2 ; 5). Найти:
	а) объем параллелепипеда;
	б) площадь грани ABCD\

в) длину высоты, проведенной из вершины А\\ г) угол между ребром АВ и диагональю BD\.

3.4.21. Дана пирамида с вершинами в точках Ai(l;2;3), А2(-2;4;1), (7; 6; 3), А4(4; - 3 ; - 1) . Найти:

а) длину ребер А1А2, А1А3, А1А4; б) площадь грани А1А2А3;

в) угол между ребрами А\А4 и А1А3; г) объем пирамиды;

д) длину высоты, опущенной на грань А1А2А3.

Контрольные вопросы и более сложные задачи

3.4.22. Векторы а, b и с удовлетворяют условию а х 5 + б х с + с х а = 0. Доказать, что эти векторы компланарны.

3.4.23.	Показать, что объем параллелепипеда, построенного на диа-
	гоналях граней данного параллелепипеда, равен удвоенному
	объему данного параллелепипеда.
3.4.24.	Найти а х (b х с) - (ё х /) х_</, если а = (1; 2; - 2), Ъ = ( - 2; 3; 1),
	с = (2; - 2 ; 2), ё = ( - 1 ; 3; 5), / = (1; 0; - 2), q = (3; - 2 ; 2).
3.4.25.	Найти объем V пирамиды	с вершинами в точках А\(х\\у\; z\),
	A2{x2\y2\z2), A3(x3\y3',z3), А4(Х4]У4]24). При каком условии
	точки Ai, А2, A3, А4 принадлежат одной плоскости?
3.4.26.	Даны единичные векторы	ё\, ё2, ё3.	Зная, что (ё1,ё2) =
	= (ёз,ёх х ё2) = а, доказать равенство (ё\		х ё2) • ё3 — ^ sin 2а.
3.4.27.	Зная, что с = \\а + \2Ь найти соотношение между векторами
	a, b и с, не содержащее коэффициентов Ai и А2.

Указание, исключить Ai можно умножением равенства векторно на а.

3.4.28. Доказать, что \abc\ ^ \а\ • |Ь| • |с|; в каком случае имеет место знак равенства?

3.4.29. Чему равно ab(c+\ia+\2b), где Ai и А2 — произвольные числа? 3.4.30. Доказать (геометрически), что при любых векторах а, 6 и с векторы а — Ь, Ь — с, с —а компланарны. Каков геометрический

смысл этого факта? 3.4.31. Чему равно aba?

3.4.32. Известно, что с = Aiа + А2Ь, Ai и А2 — числа. Чему равно аЬс? Пояснить алгебраически.

115

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Вариант 1

1.В параллелограмме ABCD: О — точка пересечения диагоналей. Найти я, если

1)АВ = х • CD]

2)АС = х • АО]

3)ОБ - х • BD;

4)ОС = х • CD.

2.	Разложить вектор с = (9; 4) по векторам а					и	Ь, если а		= (1;2) и
	Ь = 2г- 3J.
3.	Найти	вектор 5,	зная, что	d 1 a,	d _L	5,	где	а =	(2;3;—1),
	5 = (1; - 2;3) и 3-		( 2 * - J + f c ) =	- 6 .
4.	Найти	площадь	параллелограмма,		построенного			на	векторах
	а = Зр + q и b = р - 2§, где \р\ = 4, |§| = 1, (р, 5) =

5. Дана пирамида с вершинами Ai(7;2;4), А2(7;—1;—2), А3 (3;3;1), Л 4 ( - 4;2;1) . Найти:

а) угол между ребрами А\А2 и А1А4] б) объем пирамиды;

в) длину высоты, опущенной на грань А1А2А3.

Вариант 2

1. Дан параллелограмм ABCD. Доказать, что OA + ОС = О В + OD, где О — произвольная точка пространства.

2.Радиус-вектор точки М составляет с осью Ох угол 45°, с осью Оу — 60°. Его длина |f | = 6. Найти координаты точки М, зная, что третья координата отрицательная.

3.Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам а = 2i+j+k и 6 = ( 1 ; 1 ; 2 ) .

4.Найти площадь треугольника ABC, в котором А(2; 1; 0), В(—2; 4; 1), С ( - 3 ; - 8 ; 4 ) .

5.Дана пирамида с вершинами Ai(l;3;6), А2 (2;2;1), А3(—1;0;1), А4(-4; 6; - 3) . Найти:

а) косинус угла между ребрами А\А2 и А\А±\ б) объем пирамиды; в) длину высоты, опущенной на грань А\А2А3.

116

Вариант 3

1.Даны векторы а и Ь и угол между ними равный 120°. Построить вектор с— 2а — 1,56 и определить его длину, если \а\ = 3, \Ъ\ = 4.

2.Проверить, что четыре точки А(3; - 1 ; 2), В( 1; 2; - 1), С( - 1; 1; - 3 ) и /}(3; — 5; 3) служат вершинами трапеции.

3. Даны векторы а = 2г — j +	b = i — 3j + с = Зг + 2j — Найти
вектор x, если xa = —5,	= —11, же = 20.

4.В треугольнике с вершинами А(4; -14; 8), £(2; - 18; 12), С(12; - 8 ; 12) найти длину высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ.

5. Дана пирамида с вершинами в точках Ai(—2;0; —4), А2(—1;7;1), А3(4; - 8 ; - 4), А4( 1; - 4 ; 6). Найти:

а) длину ребра А2Аз; б) косинус угла между ребрами А\А2 и А\ А4; в) объем пирамиды.

Вариант 4

1.В ромбе ABCD диагонали АС — а и BD — Ь. Разложить по этим двум векторам векторы АВ, ВС, CD, DA.

2.Зная одну из вершин треугольника А( 1; - 6 ; 3) и векторы, совпадю-

	щие с двумя сторонами АВ = 3j +	и J5C = 4г + 2j — к, найти
	остальные вершины и вектор С А.
3.	Найти вектор ш, зная, что ш 1 с, та = 4, ffib = 35, где а = (3; —2; 4),
	Ь = (5; 1; 6), с = (—3; 0; 2).
4.	Зная две стороны AJ5 = (—3; — 2; 6), ВС = (—2; 4; 4) треугольника
	ABC, вычислить длину высоты AD.
5.	Дана пирамида с вершинами в	точках Ai(l;2;0), А2(3;0;—3),
	А3 (5;2;6), А4(8; 4; - 9) . Найти:
	а) длину ребра А2Аз\

б) угол между ребрами А\А2 и А\А±\ в) объем пирамиды.

•

Глава 4. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

НА ПЛОСКОСТИ

•

§1. МЕТОД КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ Прямоугольная система координат

Метод координат заключается в установлении соответствия между точками прямой (плоскости, пространства) и их координатами — действительными числами при помощи системы координат.

^ Прямоугольная система координат Оху на плоскости задается двумя взаимно перпендикулярными прямыми, на каждой из которых выбрано положительное направление и задан единичный отрезок. Эти прямые называют осями координат. Одну из осей называют осью абсцисс и обозначают Оя, другую — осью ординат (Оу).

Единичные векторы осей Ох и Оу обозначают соответственно i и j

Если М — произвольная точка плоскости, то вектор ОМ называется

радиусом-вектором точки М.

^ Координатами точки М в системе координат Оху называются координаты радиус-вектора ОМ.

Если ОМ = (х\у), то координаты точки М записывают так: М(х\у)\ при этом число х называется — абсциссой точки М, а число у — ординатой точки М. Координаты точки полностью определяют ее положение на плоскости: каждой паре чисел х и у соответствует единственная точка М плоскости, и наоборот.

Расстояние между двумя точками Mi(x\',y\) и М2(х2;у2) на плос-

кости вычисляется по формуле
	d =	> / ( * 2 - * 1 ) 2 + (У2-У1)2 .			(1.1)
Координаты (я; у)	точки М,		делящей в заданном отношении А			от-
резок АВ, где A(xi;yi)	и В(х2',У2)		(А =	находятся по формулам
	_	Х\ + \Х2		_ У1 + \У2	(	,
х ~		1 + А ' У ~		1 + А '	[	}

В частности, при А = 1 (точка М делит отрезок АВ пополам), получаются формулы координат середины отрезка

x = x1 + zlf ^ у ^ т

( 1 3 )

118

Площадь ^треугольника с вершинами А(х\,у\), В(х2',У2), С(хз]уз) вычисляется по формуле

	S = -\(х2 - хг)(у3	~ 2/1) - (хз ~ х1)(у2 - yi)\		(1.4)
или, что то же самое: 5 =		где А = Х2 - xi	2/2 - у\
		хз - xi	узyi
4.1.1.	Найти точку, симметричную точке
	А(—2; 4) относительно	биссектри-
	сы первого координатного угла.
	О Проведем через точку А пря-
	мую 1\, перпендикулярную бис-
	сектрисе I первого координатного
	угла (рис. 13). Пусть 1\ Г\1 = С. На
	прямой 1\ отложим отрезок CAi,
	равный отрезку АС. Прямоуголь-
	ные треугольники АСО и А\СО
	равны между собой (по двум кате-		Рис - 13
	там). Отсюда следует, что \ОА\ =
	= |OAi|. Треугольники ADO и ОЕА\ также равны между со-
	бой (по гипотенузе и острому углу). Заключаем, что \AD\ =
	= \ОЕ\ = 4, \OD\ = \EAi \ = 2, т.е. точка Ai имеет координаты
	я = 4, у = - 2 , т.е. Ах(4;-2).
	Отметим, что имеет место общее утверждение: точка Ai,
	симметричная точке А(а] Ь) относительно биссектрисы первого
	и третьего координатных углов, имеет координаты (Ь;а), т.е.
	А х(Ь;а).			•
4.1.2.	Дана точка А(3; — 2). Найти координаты точек, симметричных
	точке А относительно оси Ох, оси Оу, начала координат.
4.1.3.	Найти координаты точки А\, симметричной точке А(2;4) отно-
	сительно биссектрисы:

1)второго и четвертого координатных углов;

2)первого и третьего координатных углов.

4.1.4.	В треугольнике с вершинами А(2; 3), В(6; 3),
	С(6; —5) найти длину биссектрисы ВЫ.
	О По свойству биссектрисы внутреннего
	угла треугольника		см			ВС		(рис. 14).
			МА			ВА
								1.1),	дли-
			я формулу
	ны сторон ВС и	В А треугольника							ABC:
	\ВС\ = у/(6 - б)2	+ ( - 5 - З)2 =					8, \ВА\ =
	= у/(2 - б)2 + (3 - З)2 = 4.				Следовательно,					Рис. 14

119