Сборник задач по высшей математике

О Разложим определитель по первому столбцу

	2	1	0 .. .	0		0					1		0	0	...	0	0
											1		2	1	...	0	0
	1	2	1 .. .	0		0
Dn = 2-									- 1		0		1	2	...	0	0
	0	0	0 .. .	1		2
											0		0	0	...	1	2
			71 — 1
															71-1
			разложим второй
			определитель по
				первой строке
			2	1		0 ...				0			0
			1	2		1 ...				0			0
= 2 • £>„_! - 1 1														= 2 • £>„_! - £>„_2
			О О О							1			2
							71—2
Вычислим £>2,			и £>4:
			£>2 =				2		1	=			3;
							1		2
		1	0		2	1			1			1	1
Ач =		2 1 = 2												= 2- 3 - 1 - 2 = 4;
				I—1		2		— 1 '				0 2
		1	2

	£>4 = 2£>3 - D 2 = 2- 4- 3 = 5.
Итак, £>2 = 3, £>з = 4, £>4 =		5. Докажем (по индукции), что
Dn =	п + 1. По предположению индукции, £>„_2		= п — 1,
£>n_i	= п. Учитывая, что	Dn = 2£>n_i — £>„_2,	получим
Dn = 2n — (п — 1) = п + 1, что и требовалось.			•

Вычислить определители методом рекуррентных соотношений:

	3	2	0	...	0	0	1				0	1	1	..	.	1
	1	3	2	...	0	0					1	Oi	0	..	.	0
1.2.57.	0	1	3	...	0	0		У п.	1.2	.58.	1	0	а2	..	.	0
											1		0	..
	0	0	0	...	1	3						0			•	«71
Дополнительные задачи
Вычислить определители 2-го порядка:
1.2.59.	2	- 3							1.2.60.		а	$
		- 4									0	0

30

1.2.61.	х			1.2.62.	a	3a
	ху у				P	3/J
1.2.63.	cos <р	Sin ip		1.2.64.			x — 1
	sin <p	cos <p			x2	+ x + 1		rJ2
Решить	уравнения:
1.2.65.	2x — 3	4	= 0.	1.2.66.	£ + 3		X + 1	=	0.
	—x	- 3			x — 1		x — 2
1.2.67.	3 - х	x + 2	= 6.	1.2.68.	x — 2 y + 3			=	- 4 .
	x + 1	x — 1			1 — у		z ~ 2
1.2.69.	x — 2	y + 3	= -34.	1.2.70.	sin 2x		- sin 3x		= 0.
	7 - у	x + 4			cos 2x		cos 3x

Вычислить определители 3-го порядка разложением по первой строке:

	1		1	1			1 1		0
1.2.71.	2	3 3				1.2.72.	2	3	1
	4		6	7			0	2	3
	- 2			3			a	6	с
					5
1.2.73.	4			1	- 2	1.2.74.	6 с a
	1			- 3	2		с	a	Ь

Вычислить определители с помощью «правила треугольников»:

	а	0	0				0		1	1
1.2.75.	0	0 0				1.2.76.	1	0 1
	0	0	7				1		1	0
	cos a		cos 0		0		0		X	0
1.2.77.	cos a		0		cos 7	1.2.78.	X		1	X
		0	cos /3		cos 7		0		X	0

Вычислить определители разложением по какой-нибудь строке или столбцу:

	2	3	5				1	2		0
1.2.79.	0	- 1	0			1.2.80.	3	4	0
	6	7	8				5	6		7
	1	2	3				X	1/		г
1.2.81.	4	5	6			1.2.82.	0	У
	7	8	0				X	0		z
	cos a		cos Р			cos 7
1.2.83.			1			0
			0			1

31

Решить	уравнения		и неравенства:
	- 3	2	1				2	0 -	1
1.2.84.	х -1	0	7	= 0.		1.2.85.	1	х+5	2-х	£ 4 .
	2	- 1 3					3 - 1		2
	х + 2 4		-1				-3	х - 1	1
1.2.86.	- 2	2	х — 1 =		0.	1.2.87.	х + 2	2	3	= 6.
	1	3	О				О	1	х
1.2.88.	3		2 -	1
	х + 2	О		1	< 0 .
	- 2	3-х		1

Не вычисляя определителей, проверить, что они делятся наа — Ь, Ь — с, с — а:

	1	а	а2							1			а	be
1.2.89.	1 Ь		Ъ2					1.2.90.				1 Ь		са
	1	с	с2							1			с	ab
	1	1	1
1.2.91.	а	Ь	с
	а3	Ь3	с3
Вычислить,		используя				свойства		определителей:
	sin а		cos а			sin(a + <5)						a	a2	+ 1		(a + l)2
1.2.92.	sin /?		cos /3			sin(/3 + S)		1.2.93.				b	b2	+ 1		(b + l)2
	sin 7		cos 7			sin(7 + <5)						с	c2	+ l		(c + 1)2
Вычислить определители разложением no									строке или							столбцу:
	X	а	Ъ		0	с
	0	У	0		0	d
1.2.94.	0 е		2 0			/		1.2.95.
	0	0	0		0	V
	9	h	к		и	1
	5	а	2		- 1							3	2	2		2
1.2.96.	4	Ь	4		- 3			1.2.97.				9	- 8	5		10
	2	с	3		- 2							5	- 8	5		8
	4	d	5		- 4							6	- 5	4		7
	7	3	2		6							3	6	5		6	4
												5	9	7		8	6
	8	- 9	4		9
1.2.98.								1.2.99.				6 12 13 9 7
	7	- 2	7		3
												4	6	6		5	4
	5	- 3	3		4
												2	5	4		5	3

32

Вычислить определители приведением к треугольному виду:

1						1	1								1		1
1					- 1		2								2		2
1						1	- 1								3		3
1						1									- 1		п- 1
1						1									1		- 1
				—п 1 — п 2 — п													- 2 - 1
				1 — п 2 — п 3 — п													- 1
				2 - п 3 - п						4 — п									О
-					2		- 1							О					О
- 1							О							О					О
				X		ai	a2	•			•				On-l		1
				ai		X	a2	•			•				On-1		1
				ai		0,2	X				•				On-1		1
				Oi		a2	a3 .								X		1
				Oi		a2	a3 .								an		1
				1 -п			1		1								1
					1		1 -п		1								1			П.
																1 — 71
				ao a i a2							•		• On-1 an
				—X		X	0		.						0		0
	1 . 2 . 104 .			0		—x	X								0		0
				0		0	0		.						—x				X
Вычислить					определители									методом рекуррентных									соотношений:
			1		0	0	0 .			.				0	1							6	0	0	0	....		0	0
																					5
																					4	5	2	0	0	.	.	0	0
			1		ai	0	0 .			.				0	0
																					0	1	3	2	0	.	.	0	0
			1		1	a2	0 .			.				0	0
																	1.2.106.				0	0	1	3	2	.	.	0	0
			1		0	1	a3 .			.				0	0
																					0	0	0	0	0	.	.	3	2
			1		0	0	0 .			.				1	On
																					0	0	0	0	0	.	.	1	3

33

з - 2361

Контрольные вопросы и более сложные задачи

1.2.107.	Всегда ли определитель суммы матриц равен сумме их опреде-
	лителей?
1.2.108.	Привести пример двух таких матриц, что определитель их сум-
	мы равен сумме их определителей.
1.2.109.	Привести пример двух таких матриц, что определитель их сум-
	мы равен сумме их определителей, причем ни один из трех
	определителей не равен нулю.
1.2.110.	Могут ли все алгебраические дополнения некоторой матрицы
	А = (ац) быть равны соответствующим минорам (Ац = Мц)?
1.2.111.	Могут ли все алгебраические дополнения некоторой матрицы
	А = (ац) быть равны соответствующим элементам (Ац = ац)?
1.2.112.	Может ли определитель 2-го порядка принимать значение
	большее, чем определитель 5-го порядка?
1.2.113.	Может ли определитель изменить знак на противоположный
	при транспонировании матрицы?
1.2.114.	Дана квадратная матрица n-го порядка А = (ац). Чему равна
	сумма		п
			ац • Ац ?
			ij=1
1.2.115.	Можно ли вычислять миноры, дополнительные к элементам
	неквадратной матрицы?
1.2.116.	Как изменится определитель 3-го порядка, если его строки пе-
	реставить следующим образом: первую — на место второй, вто-
	рую — на место третьей, третью — на место первой?
1.2.117.	Как изменится определитель n-го порядка, если его строки пе-
	реставить следующим образом: первую — на место второй, вто-
	рую — на место третьей, . . . , (п — 1)-ю — на место п-й, п-ю —
	на место первой?
1.2.118.	Сколько всего миноров у квадратной матрицы n-го порядка?
1.2.119.	Сколько всего миноров у матрицы размера т х п?
1.2.120.	Могут ли все алгебраические дополнения некоторой ненуле-
	вой матрицы А = (ац) быть равны соответствующим минорам
	(Ац	=	Мц)?
1.2.121.	Могут ли все алгебраические дополнения некоторой ненулевой
	матрицы А = (ац) быть равны соответствующим элементам
	(Ац	=	ац)?

1 . 2 . 1 2 2 . Вычислить определитель приведением к треугольному виду:

1	X	X2	X3 .		хп
а 11	1	X	X2 . . .		хп~1
0>21	а>22	1	X	..	хп~2

a>ni а>п2 0"пъ а>п4 • • • 1

1.2.123*. Дана квадратная матрица п-го порядка А = Чему равна

сумма ап • А2i + а12 • А22 + • • • + ain-i • A2n-i + «in • ^2n?

1.2.124*.Доказать, что если все элементы определителя 3-го порядка равны 1, то значение определителя — четное число.

1.2.125*. Доказать, что если числа а, Ь, с — действительные, то уравне-

ние а ^ Х ^ ^ = 0 имеет действительные корни.

1.2.126*.Числа 255, 391, 578 делятся на 17. Не вычисляя значение опре-

2	5	5
делителя	9	1	, доказать, что он тоже делится на 17.

1.2.127*.Как изменится сумма всех алгебраических дополнений к элементам матрицы, если ко всем элементам матрицы прибавить одно и то же число?

1.2.128*. Вычислить определитель n-го порядка методом рекуррентных соотношений:

1	2	0	0	0 .	.	0	0
3	4	3	0	0 .	.	0	0
0	2	5	3	0 .	.	0	0
0	0	2	5	3 .	.	0	0
0	0	0	0	0 .	.	5	3
0	0	0	0	0 .	.	2	5

§3. РАНГ МАТРИЦЫ

^ Минором к-го порядка произвольной матрицы А называется определитель, составленный из элементов матрицы, расположенных на пересечении каких-либо к строк и к столбцов.

В матрице А =											можно указать, например, такие ми-
норы:
— 2-го порядка											\
		2		(минор		ац		«12						4		4			(минор		a2 i	«24
	1
	4	5				021		«22			J'			7		- 7					«31	«34
							2	3			(
															«12		Ol3
							8	9			1 минор				032		азз
		3-го порядка
								2		1				2		3	1
								5		4				5		6	4
								8		- 7				8		9	- 7

35

— 1-го порядка

|2| (минор |ai21)9 |3| (минор |ais|), |-7| (минор |а34|).

Рангом матрицы А называется наибольший из порядков ее миноров, не равных нулю.

Обозначения: г (A), rang(A).

Базисным минором называется любой из отличных от нуля миноров матрицы А, порядок которого равен г (А).

Для следующей матрицы А ее ранг равен 1:

л = ( о "о2 о)'

=

Любой из миноров 2-го порядка матрицы А равен нулю, и существует хотя бы один минор 1-го порядка, не равный нулю, например, |3| = 3. Базисным минором матрицы А является каждый из ненулевых миноров 1-го порядка: |3|(= 3), | - 2|(= - 2 ) , |2|(= 2).

Для следующей матрицы А ее ранг равен 2:

\з о ; ' г(Л)		= 2,
так как существует минор 2-го порядка	О	2	= —6, не равный нулю, а
	3	О

миноров 3-го порядкеа у матрицы А нет. Единственный базисный минор

матрицы А — минор	О	2
	3	О

Теорема 1.1. При элементарных преобразованиях ранг матрицы не изменяется.

Теорема 1.2. Ранг ступенчатой матрицы равен количеству ее ненулевых строк.

Метод элементарных преобразований нахождения ранга матрицы заключается в том, что матрицу А приводят к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований; количество ненулевых строк полученной ступенчатой матрицы есть искомый ранг матрицы А.

Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы А состоит в следующем. Необходимо:

36

1)Найти какой-нибудь минор М\ первого порядка (т. е. элемент матрицы), отличный от нуля. Если такого минора нет, то матрица А нулевая и г(А) = 0.

2)Вычислять миноры 2-го порядка, содержащие М\ (окаймляющие

Mi) до тех пор, пока не найдется минор отличный от нуля. Если

такого минора нет, то r(A) = 1, если есть, то r(A) ^ 2. И т.д.

к) Вычислять (если они существуют) миноры к-то порядка, окаймляющие минор Mk-i Ф 0. Если таких миноров нет, или они все равны нулю,

то г{А) = к — 1; если есть хотя бы один такой минор	ф 0, то г (А) ^ к,
и процесс продолжается.

При нахождении ранга матрицы таким способом достаточно на каждом шаге найти всего один ненулевой минор к-го порядка, причем искать его только среди миноров, содержащих минор Mk-i ф 0.

1.3.1. Найти ранг матрицы методом элементарных преобразований:

О Приведем матрицу к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований:

'2	—1	5	б		' 2 - 1 5	б
1 1 3 5				) 2 • II - I	0 3	1 4
Л	- 5	1	- 3 /	2 - III — I	- 9 - 3	—12/ Н И - 3		- Й
						'2	- 1	5		6>
						0	3		1	4
						{0	0	0		0>

Полученная ступенчатая матрица содержит две ненулевые строки, значит ее ранг равен 2. Следовательно, ранг исходной матрицы также равен 2. •

Найти ранг матрицы методом элементарных преобразований:

					- 1	1	- 3 >
1.3.2.	1.3.3.				1	б 11
		1	-	1	- 1	4	- 3 у
						- 7	1 \
1.3.4.	1.3.5.	2		- 1	1	б	- 4
		- 1		2	- 1	- 1 0	5
		2	-	1	2	5	- 4 /

37

1.3.6.

1.3.8.

/1	1	4 \		/2	1\
				1	1
О	2	5
				1	1
0	3 6		1.3.7.
1	14	32		1	5
				1	4
\4	32	77/
				V1	V

Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров и указать один из базисных миноров:

/ 1	3	3	4
А= 0	0	1	2
\2	6	1	-2;

О Так как у матрицы А есть ненулевые элементы, то r(A) ^ 1. Найдем какой-либо ненулевой минор 2-го порядка (если он су-

ществует). Таким минором является, например,						М2 =	3	3
							О	1
= 3 ^ 0 . Значит, r(A)					^ 2.
Вычислим миноры 3-го порядка, окаймляющие М2:
		1	3	3	разложение
М3(1) =					по 2-й строке = - 1 -	=	0;
	3	3	4		разложение
М3(2)	= о 1		2
					по 1-му столбцу
	б	1	- 2
= 3-	2	+ 6	3		= 3 - ( - 2 - 2 ) + 6 - ( 6 - 4 ) = - 1 2 + 12 = 0;
	- 2		1

Все миноры 3-го порядка, окаймляющие М2, равны нулю, сле-

довательно, г(А) < 3. Итак, г(А)	= 2.
Одним из базисных миноров	является М2 = q3 j3•	®

Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров и указать какойлибо базисный минор:

	1	2		3'\						Л		2	3\
1.3.9.	2	4	5			•			1.3.10.	2	4		5 .
	7	8		9/						М 8			11/
	1	- 2			3		Л	1-		Л		- 2	3
1.3.11.	3	2			- 4		2		1.3.12.	3		2	- 4
	5	- 2			2			1				- 2	2
										V5
	'2	- 1			3		- 2	4'		/1		3	5
										2		- 1	- 3
1.3.13.	4	- 2			5		1	7	1.3.14.
										5		1	- 1
	2	- 1			1		8	2
										V		7	9

38

Найти ранг матрицы при различных значениях параметра

	/ 1	2	- 1	0\		/ 1	А	- 1	2'
	3	- 1	- 2	2
1.3.15.	2	3	- 1	О	1.3.16.	2	- 1	А	5
	\1	- 1	О	V		Vi	10	- 6	1

Дополнительные задачи

Найти ранг матрицы методом элементарных преобразований:

						-14	22
	1.3.17.	\ - 4	- 3 11			3	- 9	1.3.18.
						- 1 9	17)
		/ 3	- 1		3	2	5 \		^24	19	36	72	- 3 8 N
	1.3.19.	5	- 3		2	3	4	1.3.20.	49	40	73	147	- 8 0
		1	- 3	- 5		0	- 7		73	59 98 219 - 118
		V	- 5		1	4	1 /		\47	36	71	141	- 7 2 )
		/ 4 3 -- 5			2		3 \		Л 7 - 2 8 45 11				39 \
		8 6		•-7	4		2		24	- 3 7 61 13			50
	1.3.21.	4	3	-- 8		2	7	1.3.22.	25	- 7	32	- 1 8	- 1 1
		4 3		1		2	- 5		31	12 19		- 4 3 - 5 5
			6	•-1		4	- б )		\42	13	29	-55 - 6 8

Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров и указать один из базисных миноров:

	- 1	2 \				jf3		- 1	2 \
1.3.23.	- 3				1.3.24.			- 3
		3				4			3 '
	3	о/				!U		3	V	- 4	4о\
	- 1 5		6 \				/1 - 2		31
1.3.25.	1С	3			1.3.26.		0	1	— 1	1	—о
			-V•V				1	3	0	- 3	1
	—0	1					V>	- 7	3	1	-з/
	- 2	1	- 1	1 \			/ 2	1	- 1	- 1	1 \
1.3.27.	1	- 1	2	- 3	. 1.3.28.		1 - 1		1	1	- 2
	- 2	- 1	1	- 2			3	3	- 3	- 3	4
	- 5	1	- 2	^ /				5	- 5	- 5	7/

Найти ранг матрицы при различных значениях параметра А:

		/ 1	- 3	2	0\		/ 3	1	4\
	1.3.29.	2	- 3	- 1	3	1.3.30.	А	10	1
		3	- 6	- 1	А		1	17	3
			- 2	О			\2	4	3 /

39