Сборник задач по высшей математике

т. е. Ml (6; - 2) .

По аналогии с этим, проектируем искомую линию на плоскость Oxz. Получаем пару прямых х — 3z = 0 и Ъх — 9z —12 = О, которые пересекаются в точке М2(6; 2).

Наконец, на плоскость Oyz искомая линия проектируется в прямые 2/ + 2 = 0h5?/ + 8 z - 6 = 0, которые пересекаются в точке М 3 ( - 2; 2).

Если проекции на координатные плоскости данной линии являются пересекающимися прямыми, то сама эта линия представляет пару пересекающихся в точке М(6; —2; 2) прямых. Координаты М получаются из координат ее проекций Mi,

М3. •

5.5.16.Установить какие линии определяются системами уравнений:

= (х-1)2

(у

+ I)2

Зх- у + 6 2 - 1 8 = 0;

=

( х - 1 ) 2

(у + 1)2

2 z =

4

х-2у-1

=

0;

Г ( х - 1 ) 2

f a + l ) 2 _ ^ _ 1

3) <

4

+

9

36

'

[9х - 6у + 2* - 43 =

0.

2

5.5.17. Дан гиперболический параболоид х2 —

= 2 и одна из его

касательных плоскостей: 10х — 2у — z — 21 = 0. Найти уравнения каждой из тех двух прямых, по которой плоскость касается с параболоидом.

О Уравнения искомых прямых задаются системой уравнений, которую последовательно преобразуем.

10х —2?/ —z —21=0,		(z	= 10x-2y- 21,
X2-4=Z	—	^\х*-У1	=	10х-2у-21	*
4		1	4
	fz = Юх10®—- 2y — 21,
	\{2x-y-i	6)(2x + y — 14) = 0
	Юх - 2t/ - 2 - 21 = 0,				(5.1)
	(
	2x - у - 6 = 0
	it[2x + t / - 1 4 = 0.			0,
	10x-2y-z-21		=		(5.2)

Уравнения прямых (5.1) и (5.2) получены в общем виде. Приведем (5.1) к каноническому виду. Для этого найдем две точки на прямой (5.1):

220

- = • = f c 2 ! : 2 1 '

	л	( l O x - z = 21,
	y = 0 : { 2	x - 6 = 0	M 2 (3;0;9) .
	Составим уравнение прямой, проходящей через точки Mi
и М2. MiM2 =			= |(1;2;6). Прямая (5.1)	имеет вид
х	— 1L	— z — 9 и л и параметрически: х = 3 +		у = 2t,
z	= 9 + 61. (Уравнение		прямой определяется неоднозначно:

например, при t = 2 находим на этой прямой точку ж0 = 5, 2/о = 4, zo = 21, а потому ее уравнение можно записать и так

ж ~ ^ = У—^— =	z		По аналогии, прямую				(5.2) можно
гр		к	у — 4	z 21			а
привести к виду	^ =		^ —		14 •		*

Дополнительные задачи

5.5.18.	Составить уравнение сферы радиуса R = 9, проходящей через
	точки А(-5; 10; - 1),		В( 1;	- 2 ; - 1 ) ,	С( - 8; - 2 ; 2).
5.5.19.	Сфера проходит		через	три	точки А(—2;4;1), В(—5;0;0),
	С(3; 1; —3), а ее центр лежит на плоскости 2х + у — z + 3 = 0.
	Составить ее уравнение.
5.5.20.	Составить уравнение сферы, проходящей через четыре точки:
	А( 1; - 2 ; - 1),	В(4; 1; 11), С(-8; - 2 ; 2) и				Z>(—5; 10; - 1 ) .
5.5.21.	Установить	как расположена точка				А(2; —1;3) относительно

каждой сферы — на сфере, внутри нее или вне:

	1)	(х — З)2 + (у + I)2 + (z — I)2	= 4;
	2)	(* + 14)2 + (у - II)2 + (г + 12)2 = 625;
	3)	(® - б)2 + (у - I)2 + (z - 2)2	= 25.
5.5.22.	Определить центр Мо(хо; j/oi Zo) и радиус окружности:
		((х — З)2 + (у + 2)2 + (z — I)2 = 100,
		[2х - 2у - z + 9 =	0.
5.5.23.	Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пе-
	ресечения двух сфер.
		2х2 + 2у2 + 2z2 + Зх - 2у + z - 5 = 0
		х2 + у2 + z2 - х + Зу - 2z + 1 = 0.
5.5.24.	Составить уравнение сферы, проходящей через начало коорди-
	нат и окружность:
		(х2 + у2 + z2 = 25,
		[2x-3y +	bz-b = 0.

221

5.5.25. Методом параллельных сечений исследовать геометрическую форму поверхностей заданных уравнениями:

	х	2	+	V2			У2	_ 1
1)				U
	9		+	16			25	1
2)	х2
	9		+	4		+ 16		1
3)	х2			У2			у2
	9		+	25		~	Т	= 1
4)	z =			4 +		9	'
5)			. х 2			и!.
	z =			4			9 '
			•
6)	х2		+ £ = 1-
	4
				9			'
7)	х2			9
	4
8)	X9		=	2у.

Более сложные задачи

5.5.26.

Определить, как расположена прямая относительно сферы —

пересекает ли, касается или проходит вне ее. Прямая и сфера

заданы следующими уравнениями:

1) ^ = ^ = ^ , x 2 + y 2

+ z 2 - 4 y - 3 z + l = 0 ]

2) х

= 5+31, y

= 2t,z =

- 2 5 - 2 1 ,

x2+y2+z2-4x-6y+2z-67

=

0;

ЛЧ

f2ж — t/ + 2z — 12 = 0,

о

о

о

Л

Л

,

Л

3)

<

у

' х2 + у2 + z2

- 2х + 2у + 4z - 43 = 0.

у2х - 4у - z + 6 = 0,

5.5.27.

Найти кратчайшее расстояние от точки А до сферы с заданным

уравнением:

1) А(—2] 6; 3), х2 + у2 + z2 = 4

2) А( 1; —1; 3), я2

+ у2 + г2

- 6х + 4у -

10* - 62 = 0.

5.5.28.

Составить уравнение плоскости, касательной к сфере х2 + у2 +

+ z2 = 49 в точке Mi(6; - 3 ; - 2) .

5.5.29.

Доказать, что плоскость 2х — 6у + 3z — 49 = 0 касается сферы

х2 + у2 + z2 = 49 и вычислить координаты точки касания.

5.5.30.

Составить уравнения плоскостей, касательных к сфере

х2

+

+ у2 + z2 = 9 и параллельных плоскости х -h2y — 2z + 15 = 0.

5.5.31.

Доказать, что в каждом из указанных ниже случаев заданные

поверхность и плоскость имеют одну общую точку и найти ее

координаты:

! ) Т + ^ = 2 у > 2 х ~ 2 у ~ Z ~ 1 0 =

222

2)	^ + ^ -	= - 1 , 5х + 2z + 5 = О,
3)	j J - ^ + jft	= 1, Зх - 12» - 4z + 54 = 0.

5.5.32. Доказать, что плоскость 4х — 5у — 10z — 20 = 0 пересекает од-

г2	у2	72
нополостный гиперболоид 25 + fg		~~ ^j- = 1 по прямолинейным

образующим. Составить уравнения этих образующих.

5.5.33. Доказать, что плоскость 2х — 12у — z + 16 = 0 пересекает гиперболический параболоид 2z = х2 — 4у2 по прямолинейным образующим. Составить уравнения этих прямых.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Вариант 1

1.Начало отрезка АВ находится в точке А( 2; —3; 4). Точка Af(—1; 2; 5) отсекает от него четвертую часть (AM : АВ = 1 : 4). Найти координаты точки В.

2.Какие поверхности определяются уравнениями:

1)х2 + у2 + z2 - 10х + 8у - 8 = 0;

2)у = 4z2?

3.Составить уравнения плоскости, проходящей через:

1)ось Oz и точку А(2; - 3 ; 4);

2)точку А параллельно плоскости Оху.

4. Треугольник ABC образован пересечением плоскости 2х + 3t/ + + 4z — 12 = Ос координатными осями. Найти уравнения средней линии треугольника, параллельной плоскости Оху.

5.Найти уравнения перпендикуляра к плоскости х—2y+z—9 = 0, проходящего через точку А(—2; 0; — 1), и определить координаты основания этого перпендикуляра.

Вариант 2

1.На оси Ох найти точку, равноудаленную от двух точек А(3; —1;2) и В ( 4 ; 1 ; - 1 ) .

_ „	fx2	+р2 + z2	= 64,	найти точку:
2. На линии	j i 2	+ y 2 + z	2 _ 2 x = 5 8

1)абсцисса которой равна 4;

2)аппликата которой равна 2.

3. Составить	уравнение касательной плоскости к сфере (х — I)2 +
+ (р + 2)2	+ ( z - 2)2 = 27 в точке М0(2; - 1 ; - 3) .

223

4.Даны три последовательные вершины параллелограмма: А(2;4;3),

В( - 3 ; 0 ; 6 ) , С( - 4;2;1) . Найти уравнения стороны AD и диагонали

BD.

5. Найти расстояние оси точки А(0; 2; 5) до прямой Х ~ 2 = \ = *

Вариант 3

1.Найти центр шара радиуса R = 5, который расположен в пятом октанте и касается всех трех координатных плоскостей.

2.Найти уравнение геометрического места точек, равноудаленных от

двух точек А\(3; 2; 1) и А2(-4; - 2 ; 1).

3.Найти угол между плоскостью х + у = 0 и плоскостью, проходящей через точку М(3; —1; —1) и содержащую ось Ох.

4.Через точку М(2; 1; —4) провести прямую, параллельную биссектрисе координатного угла Oyz.

5.Найти проекцию точки А(2; - 1 ; 3) на плоскость Ъх — 2у + z + 15 = 0.

Вариант 4

1. Отрезок АВ разделен на 5 равных частей точками С, D,			Е,	F
(АС = CD = DE = EF =	FB). Найти	координаты точек	D	и
С, если известны точки А(2;	2; 5) и В(—3;	1; 0).

2.Составить уравнение линии пересечения плоскости Oyz и сферы, центр которой находится в точке С(4; - 3 ; 2) и радиус равен 10.

3.На оси Ох найти точку, равноудаленную от точки А( 1; 2д/2; 0) и от плоскости х + у — 5 = 0.

4.Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку М(5; — 7; 9) параллельно прямой

х - Зу + 2z - 6 = 0,

2я - у + 4z + 17 = 0.

5. Найти		расстояние	между прямыми	х ~ ^	=	—	г + 6	и
ж + 5 _		2/ + 3 _ z + 6
8	~	- 4 ~ 12	'

•

Глава б. ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ

•

§1. ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ Определение функции

Везде далее в этом параграфе под множествами будут пониматься числовые множества, т. е. множества, состоящие из действительных чисел.

Множество всех действительных чисел будет обозначаться буквой К.

^Пусть каждому числу х из некоторого множества X поставлено

всоответствие одно и только одно число у. Тогда говорят, что на множестве X задана функция.

Способ (правило), с помощью которого устанавливается соответствие, определяющее данную функцию, обозначают той или иной буквой: /, д, /г, (р,... Если, например, выбрана буква /, то пишут

У= f(x).

Переменная х при этом называется независимой переменной (или аргументом), а переменная у — зависимой.

Множество X называется областью определения данной функции и обозначается -D(/), а множество всех чисел у, соответствующих различным числам х £ X, — областью значений этой функции и обозначается E(f).

^Если числу хо из области определения функции f(x) соответствует некоторое число у о из области значений, то у о называется значением функции в точке х0 (или при х = Хо).

График функции

^Пусть заданы прямоугольная система координат Оху и функция у = f(x). Графиком функции f(x) называется множество всех точек плоскости с координатами (х;/(#)), где х £ D(f).

Множество точек на координатной плоскости является графиком некоторой функции в том и только в том случае, когда каждая вертикальнал (т.е. параллельная оси Оу) прямая пересекает его не более чем в одной точке.

График функции у = f(x) зачастую можно построить с помощью преобразований (сдвиг, растяжение) графика некоторой уже известной функции.

225

13-2361

В частности:

1. График функции у = f(x) + а получается из графика функции у = f(x) сдвигом вдоль оси Оу на \а\ единиц (вверх, если а > 0, и вниз, если а < 0);

2. График функции у = f(x — Ь) получается из графика функции у = f(x) сдвигом вдоль оси Ох на |6| единиц (вправо, если Ь > 0, и влево,

если Ь < 0);			у = kf(x)
3.	График	функции		получается		из	графика	функции
у = f(x) растяжением (сжатием) вдоль оси Оу					в к		раз (1 /к раз), если
к> 1	(fee (0,1));		у = f(mx)
4.	График	функции		получается		из	графика	функции

у = f(x) сжатием (растяжением) по оси Ох в га раз (1 /га раз), если га > 1

( т е			(0,1));		у = —f(x)
		5.	График	функции		получается	из графика	функции
у	=	f(x) симметричным отражением относительно оси Ох;
		6.	График	функции	у = f(—x)	получается	из графика	функции
у	=	f(x) симметричным отражением относительно оси Оу.

Четность, нечетность и периодичность функции

^Функция называется четной, если:

1) множество D(f) симметрично относительно нуля (т.е. Vx £

еD(f) =>• —х е £(/));

2)для любого х € D(f) справедливо равенство f(—x) = f(x). График четной функции симметричен относительно оси Оу.

^Функция f(x) называется нечетной, если:

1)множество D(f) симметрично относительно нуля;

2)для любого х £ D(f) справедливо равенство f(-x) = —f(x).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Функция, не являющаяся ни четной, ни нечетной, называется функцией общего вида.

^Функция f(x) называется периодической, если существует чи-

сло Т ф 0, что для любого х € D(f) справедливы условия:

1 )x + TeD(f),x-TeD(f);

2) f(x + T) = f(x).

Число Т называется периодом функции f(x). Если Т — период функции f(x), то числа ±Т, ±2Т, ±3 Т , . . . также являются периодами этой функции. Как правило, под периодом функции понимают наименьший из

ееположительных периодов (основной период), если таковой существует. Если функция f(x) периодическая с периодом Т, то ее график пере-

ходит сам в себя при сдвиге вдоль оси Ох на Т единиц влево или вправо.

226

Сложная функция. Элементарные функции

^Пусть область значений функции у = f(x) содержится в области определения функции д(у). Тогда функция

г = g(f(x)), х е D(f)

называется сложной функцией или композицией функций / и д и обозначается д о /.

Основными (или простейшими) элементарными функциями называются: постоянная функция у = с; степенная функция у = ха, a £ М; показательная функция у = ах, а > 0; логарифмическая функция у = = loga х, а > 0, а ф 1; тригонометрические функции у = sinx, у = cosx,

у = tgx, у	-|	= ctgx, у = secх	(где secx =	—-—), у = cosecx	(где
		\	\	COS X /	\

cosecx = —Л—); обратные тригонометрические функции у = arcsinx,
sin X /
у = arccosx, у = arctgx, у = arcctgx.
На рисунках 68,а и 68,£ приведены соответственно графики функций
у = arcsina; и у = arctgx.
		У
	arcsin х	7Г
		2
- 1		^ ^ y = arctg х
О		О	х
			7Г
			2

б

Рис. 68

^ Элементарными функциями называются функции, которые получаются из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций (+, —, •, :) и композиций (т.е. образования сложных функций).

Монотонная, обратная и ограниченная функция

^Функция f(x) называется неубывающей (невозрастающей) на

множестве X С D(f), если для любых значений xi,x2 € X таких, что х\ < х2, справедливо неравенство f(xi) ^ f(x2) (соответственно, f(xi) ^ f(x2)).

227

15*

^Функция f(x) называется монотонной, если она невозрастающая или неубывающая.

^Функция f(x) называется возрастающей (убывающей) на мно-

жестве X С D(f), если для любых значений х\,х2 £ X таких, что х\ < х2, справедливо неравенство f(x 1) < f(x2) (соответственно, f(xi)>f(x2)).

^Функция /(х) называется строго монотонной, если она возрастающая или убывающая.

^Пусть для любых различных значений х\,х2 £ £>(/) справедливо, что f(x 1) ф f(x2). Тогда для любого у £ # ( / ) найдется только одно значение ж = <7(2/) £ £>(/), такое, что у = /(я). Функция ж = <7(2/), определенная на # ( / ) , называется обрат-

ной для функции f(x).

Отметим, что Е(д) = D(f).

Если функция f(x) имеет обратную функцию, то каждая горизонтальная прямая у — с пересекает ее график не более чем в одной точке.

Пусть функция х = д(у) (иногда ее обозначают х = /_ 1 (2/)) — обратная для функции у = f(x). Если обозначить аргумент этой функции через ж, то ее можно записать в виде у = д(х). Тогда

9 ( f ( x ) ) — х Дл я в с е х х € D(f)>

f(g(x)) = х для всех х £ E(f).

Иными словами, если функция д(х) — обратная для функции /(х), то функция f(x) — обратная для функции д(х) \ поэтому обе эти функции называют еще взаимообратными.

Пусть функция у = f(x) вырастает (убывает) на отрезке [а; Ь]. Тогда на отрезке [/(a); f(b)] (соответственно, [f{b);f(a)]) определена возрастающая (убывающая) функция д(х), обратная для функции f(x).

График функции д(х), обратной для функции f(x), симметричен графику f(x) относительно прямой у = х.

^Функция у = f{x) называется ограниченной сверху (снизу) на множестве X С D(f), если существует такое число М, что

f(x) ^ М ( f ( x ) ^ М) для всех х £ X.

^	Функция у = f(x) называется ограниченной на множестве
	X С D(f), если существует такое число М > О, что
	\f(x)\ ^ М для всех х £ X.

Гиперболические функции

Гиперболическими функциями называются следующие четыре функ-

ции:

рх _ р~х

1) гиперболический синус у = shx, где shx = -—^— (график этой нечетной возрастающей функции изображен на рис. 69,а);

228

2) гиперболический косинус у = chx,

где

chx

= е

—

(график

этой четной функции см. на рис. 69,5);

3) гиперболический тангенс у = thx,

где

thx

=

=

~

(график этой нечетной возрастающей функции см. на рис. 69,в);

4) гиперболический котангенс у = cthx, где cthx =

=

(график этой нечетной убывающей функции см. на рис. 69,г).

у = sh ж

\1

J

О

V1

я0/у = сЪ.х

о

X

У,

У.

1

y = th.x

1

О

х

Л

О

х

- 1

- 1

Рис. 69

Для гиперболических функций имеют место формулы, аналогичные (с точностью до знака) соответствующим формулам для обычных тригонометрических функций:

ch2 х — sh2 х = 1, ch 2х = ch2 х + sh2 х, ch(x ± у ) = ch х ch у ± sh x sh y,

sh(x ± y) = shxchy ± chxshy и т.д.

Неявные и параметрически заданные функции

Формула у = f(x) определяет явный способ задания функции. Однако во многих случаях приходится использовать неявный способ задания функции.

229