- •Конспект лекций
- •1. Основы финансовых вычислений
- •1.1. Наращение и дисконтирование Учет фактора времени в финансовом анализе
- •Наращение
- •Дисконтирование
- •1.2. Номинальная и эффективная ставки
- •1.3. Эквивалентные процентные ставки
- •1.4. Финансовая эквивалентность обязательств
- •1.5. Учет инфляции
- •1.6. Постоянные финансовые ренты Виды потоков платежей и их основные параметры
- •Наращенная сумма и современная стоимость постоянной ренты постнумерандо (на примере годовой ренты)
- •1.7. Планирование погашения долгосрочной задолженности Расходы по обслуживанию долга
- •Создание погасительного фонда
- •Погашение долга в рассрочку
- •1.8. Оценка финансовой эффективности производственных инвестиций Характеристика эффективности производственных инвестиций
- •Чистый приведенный доход
- •Внутренняя норма доходности
- •Срок окупаемости
- •Индекс доходности
- •2. Математические основы финансового анализа в условиях риска и неопределенности
- •2.1. Риски и их измерители
- •2.2. Функция полезности дохода
- •2.3. Снижение риска
- •2.4. Виды ценных бумаг. Доходность ценных бумаг
1.2. Номинальная и эффективная ставки
В современных условиях проценты капитализируются, как правило, не один, а несколько раз в году – по полугодиям, кварталам и т.д. Некоторые зарубежные коммерческие банки практикуют даже ежедневное начисление процентов. При начислении процентов несколько раз в году можно воспользоваться формулой сложных процентов
Параметр n в этих условиях будет означать число периодов начисления, а под ставкой i следует понимать ставку за соответствующий период. Например, при поквартальном начислении процентов за 5 лет общее число периодов начисления составит 5×4=20. Множитель наращения по квартальной (сложной) ставке 8% равен в этом случае . На практике, как правило, в контрактах обычно фиксируется не ставка за период начисления, а годовая ставка, и одновременно указывается период начисления процентов. Например, «18% годовых с поквартальным начислении процентов».
Пусть годовая ставка равна j, число периодов начисления в году – m. Т.о. каждый раз проценты начисляются по ставке j/m. Ставку j называют номинальной. Формулу приращения теперь можно представить следующим образом:
или , (7)
где N – общее количество периодов начисления.
Чем чаще начисляются проценты, тем быстрее идет процесс наращения.
Введем теперь новое понятие – действительная или эффективная процентная ставка. Эта ставка измеряет тот реальный относительный доход, который получают в целом за год. Т.о. эффективная ставка – это годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, что и m-разовое начисление процентов по ставке j/m.
Обозначим эффективную ставку через i. По определению множители наращения по двум ставкам (эффективной и номинальной при m-разовом начислении) должны быть равны друг другу
.
Из равенства множителей наращения следует
(8)
Эффективная ставка при больше номинальной. Замена в договоре номинальной ставкиj при m-разовом начислении процентов на эффективную ставку i не изменяет финансовых обязательств участвующих сторон. Обе ставки эквивалентны в финансовом отношении. Отсюда следует, что разные по величине номинальные ставки оказываются эквивалентными, если соответствующие им эффективные ставки имеют одну величину.
По аналогии с наращением, дисконтирование может производиться не один, а m раз в году, т.е. каждый раз учет производится по ставке f/m. В этом случае , (9)
где f – номинальная учетная ставка.
Эффективная учетная ставка (d) характеризует степень дисконтирования за год. Определим ее на основе равенства дисконтных множителей ,
откуда .
Эффективная учетная ставка во всех случаях, когда m >1, меньше номинальной.
1.3. Эквивалентные процентные ставки
Как было показано выше, разные по величине процентные ставки могут приводить к одинаковым финансовым результатам. Т.е. замена одного вида ставки на другой при соблюдении принципа эквивалентности не изменяет финансовых последствий в рамках одной операции. Для участвующих в сделке сторон в общем безразлично, какой вид ставки фигурирует в контракте. Такие ставки называются эквивалентными.
Эквивалентные ставки – ставки разного вида, применение которых приводит к одинаковому финансовому результату.
Уравнения эквивалентности ставок можно получить исходя из равенства взятых попарно множителей наращения.
Например, определим уравнение эквивалентности между простой и сложной ставками. Для этого прировняем друг к другу соответствующие множители наращения
,
где и- ставки простых и сложных процентов.
Приведенное равенство предполагает, что начальные и наращенные суммы при применении двух видов ставок идентичны. Решение приведенного выше равенства дает следующие соотношения эквивалентности
,
Аналогичным образом определим и другие соотношения эквивалентности ставок.
Эквивалентность простых ставок.
Из равенства соответствующих множителей наращения следует
,
,
где n – срок в годах, - ставка простых процентов,- простая учетная ставка.
Эквивалентность простых и сложных ставок
Эквивалентность и ,
Эквивалентность и ,
Эквивалентность и ,
Эквивалентность и
Эквивалентность сложных ставок
Остановимся только на соотношениях эквивалентности для ставок i, j и d
Эквивалентность и ,
Эквивалентность и ,