- •1 Вопрос Определители 2-го порядка
- •2 Вопрос Миноры и дополнения
- •3 Вопрос Определитель n-го порядка
- •3.1 Метод математической индукции
- •3.2 Вычисление определителя n-го порядка по минорам и ад
- •3.3 Верхне треугольный определитель
- •4 Вопрос
- •5. Вопрос
- •6 Вопрос. Системы линейных уравнений Определенность системы линейных уравнений. Совместность, несовместность (6.1)
- •Матричная форма записи m линейных уравнений с n неизвестными
- •9 Вопрос
- •Эквивалентные матрицы и системы
- •Ступенчатые матрицы; сведение матрицы к ступенчатой
- •10 Вопрос (Метод Гаусса) Решение произвольной системы линейных уравнений
- •11 Вопрос
- •12 Вопрос
- •14 Вопрос
- •Сложение векторов
- •Свойства линейного пространства
- •2) Ассоциативность
- •15 Вопрос а) Линейно – зависимые векторы и их свойства
- •Б) Формулировки теорем о линейной зависимости коллениарных и компланарных векторов
- •В) Формулировка теоремы о линейной зависимости четырех векторов.
- •16 Вопрос
- •19 Вопрос Исследование систем линейных уравнений Однородные системы
- •Решение неоднородных систем
- •Доказательство достаточности теоремы Кронеккер-Капелли
- •Доказательство критерия определённости системы
- •20 Вопрос
- •21 Вопрос
- •Свойства векторного произведения .(антикоммутативность, линейность и однородность)
- •Доказательство Леммы 25.1:
- •Векторное произведение базисных ортов
- •Свойства смешанного произведения
- •28 Вопрос Смешанное произведение векторов в координатной форме
- •36 Вопрос
- •Общее уравнение плоскости и его исследование
- •37 Вопрос Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей, угол между ними Взаимное расположение двух плоскостей
- •Условие перпендикулярности
- •38 Вопрос
- •Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
- •Уравнение плоскости в отрезках
- •39 Вопрос Расстояние от точки до плоскости
- •40 Вопрос Прямая как пересечение двух плоскостей. Общее уравнение прямой в пространстве
- •Каноническое уравнение прямой как уравнение прямой в пространстве проходящей через заданную точку и коллинеарной заданному вектору
- •Параметрическое уравнение прямой в пространстве
- •41 Вопрос Приведение общего уравнения прямой к каноническому виду
- •2) Найти направляющий вектор прямой .
- •Условие ортогональности и перпендикулярности прямых
- •44 Вопрос
- •Угол между прямой и плоскостью. Условие их перпендикулярности
- •Точка пересечения прямой и плоскости
- •45 Вопрос Расстояние от точки до прямой в пространстве
- •46 Вопрос Расстояние между скрещивающимися прямым
- •47 Вопрос
- •(47.17)
- •(47.31)
- •(47.18)
- •(47.20)
- •(47.24)
- •(47.25)
- •Эллиптический цилиндр
- •II. Гиперболический цилиндр
- •III. Параболический цилиндр
- •(47.32)
- •(35.21)
- •(47.36)
Каноническое уравнение прямой как уравнение прямой в пространстве проходящей через заданную точку и коллинеарной заданному вектору
Дано:
рис 40.1
, Пусть M(x,y,z) – точка прямой L
Тогда , т.е. имеет место
уравнение:
(40.2)
При этом даже может и быть, например, (=0,=0). означает в (40.2), что . Исключено лишь, ибо
Определение 40.1 . Уравнение (40.2) называется каноническим уравнением прямой в пространстве.
Параметрическое уравнение прямой в пространстве
Обозначим величину, стоящую в равенстве (40.2), за t. Получим уравнение
(40.3)
Выразим x, y, z в (40.3) через t
t – параметр. (40.4)
Если параметр t принять за время, то уравнение (40.4) будет задавать равномерное движение точки M(x,y,z) по прямой со скоростью
Определение 40.2. Уравнение (40.4) называется параметрическим уравнением прямой в пространстве.
41 Вопрос Приведение общего уравнения прямой к каноническому виду
Пусть задано общее уравнение прямой
:
Условие (40.1) легко можно переписать в виде
(41.1)
При этом прямая =, а плоскостьиимеют нормали
,
Чтобы общее уравнение прямой привести к каноническому, нужно:
Найти одну из точек на прямой
Для этого надо выбрать в левой части неравенства (41.1) ненулевой определитель (например, ) и положить в (37.3) переменную, которая не соответствует выбранному определителю (в нашем случае –z) нулю или какому-либо иному числу. Тогда система (37.3) станет системой с ненулевым определителем (в нашем случае ), и, следовательно, она будет иметь решение. Присоединив к этому решению ранее выбранную величину (z), получим координаты одной из точек на прямой линии .
2) Найти направляющий вектор прямой .
Так как и(), а, и, то и,
. А так как вектор также, и, то (см. задачу в п.29.1)и поэтомуСледовательно, направляющим вектором прямойможно положить
Пример: привести к каноническому виду
Решение: 1. х=0: ;
2. Направляющий вектор ;
3. Уравнение прямой:
42 вопрос
Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки
Дано
Каноническое уравнение этой прямой имеет вид:
; (42.1)
а её параметрическое уравнение:
(42.2)
Читателю предлагается самостоятельно проверить, что координаты точек иудовлетворяют как уравнению(42.1), так и уравнению (42.2), при этом точекв (42.2) соответствует значениеt=0 , а точке -t=1. Эта прямая единственна как прямая, проходящая через две заданные точки.
43 вопрос
А)
Взаимное расположение двух прямых в пространстве
, ,
, ,
Рассмотрим матрицы
; ;
рис.43.1
Возможные случаи взаимного расположения двух прямых:
r(А)=r(В)=1 (43.1)
r(А)=1, r(В)=2 (43.2) (см. рис 43.1)
r(А)=r(В)=2 (43.3) , т.е. вектора,икомпланарны и не выполняются случаи 1)и 2) пересекает в единственной точке, ибо случаи 1) и 2) исключают условие (43.3). В частности detB=0 илежат в одной плоскости.
detB≠0 или r(А)=2, r(В)=3 и находятся в разных плоскостях или скрещиваются. (43.4)
Б)
Угол между двумя прямыми иможно найти как угол между их направляющими векторамии, которые, согласно равенству (24.11) (см.§24), можно найти по формуле:
(43.5)