- •1 Вопрос Определители 2-го порядка
- •2 Вопрос Миноры и дополнения
- •3 Вопрос Определитель n-го порядка
- •3.1 Метод математической индукции
- •3.2 Вычисление определителя n-го порядка по минорам и ад
- •3.3 Верхне треугольный определитель
- •4 Вопрос
- •5. Вопрос
- •6 Вопрос. Системы линейных уравнений Определенность системы линейных уравнений. Совместность, несовместность (6.1)
- •Матричная форма записи m линейных уравнений с n неизвестными
- •9 Вопрос
- •Эквивалентные матрицы и системы
- •Ступенчатые матрицы; сведение матрицы к ступенчатой
- •10 Вопрос (Метод Гаусса) Решение произвольной системы линейных уравнений
- •11 Вопрос
- •12 Вопрос
- •14 Вопрос
- •Сложение векторов
- •Свойства линейного пространства
- •2) Ассоциативность
- •15 Вопрос а) Линейно – зависимые векторы и их свойства
- •Б) Формулировки теорем о линейной зависимости коллениарных и компланарных векторов
- •В) Формулировка теоремы о линейной зависимости четырех векторов.
- •16 Вопрос
- •19 Вопрос Исследование систем линейных уравнений Однородные системы
- •Решение неоднородных систем
- •Доказательство достаточности теоремы Кронеккер-Капелли
- •Доказательство критерия определённости системы
- •20 Вопрос
- •21 Вопрос
- •Свойства векторного произведения .(антикоммутативность, линейность и однородность)
- •Доказательство Леммы 25.1:
- •Векторное произведение базисных ортов
- •Свойства смешанного произведения
- •28 Вопрос Смешанное произведение векторов в координатной форме
- •36 Вопрос
- •Общее уравнение плоскости и его исследование
- •37 Вопрос Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей, угол между ними Взаимное расположение двух плоскостей
- •Условие перпендикулярности
- •38 Вопрос
- •Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
- •Уравнение плоскости в отрезках
- •39 Вопрос Расстояние от точки до плоскости
- •40 Вопрос Прямая как пересечение двух плоскостей. Общее уравнение прямой в пространстве
- •Каноническое уравнение прямой как уравнение прямой в пространстве проходящей через заданную точку и коллинеарной заданному вектору
- •Параметрическое уравнение прямой в пространстве
- •41 Вопрос Приведение общего уравнения прямой к каноническому виду
- •2) Найти направляющий вектор прямой .
- •Условие ортогональности и перпендикулярности прямых
- •44 Вопрос
- •Угол между прямой и плоскостью. Условие их перпендикулярности
- •Точка пересечения прямой и плоскости
- •45 Вопрос Расстояние от точки до прямой в пространстве
- •46 Вопрос Расстояние между скрещивающимися прямым
- •47 Вопрос
- •(47.17)
- •(47.31)
- •(47.18)
- •(47.20)
- •(47.24)
- •(47.25)
- •Эллиптический цилиндр
- •II. Гиперболический цилиндр
- •III. Параболический цилиндр
- •(47.32)
- •(35.21)
- •(47.36)
4 Вопрос
А)
Матрицей размера mn называется прямоугольная таблица чисел, состоящих из m строк и n столбцов.
Общий вид записи: А==
Матрицы называются равными, если они одного порядка и все элементы, стоящие на одних местах, совпадают.
А=; В=; А=В.
Замена строк столбцами, а столбцов – строками называется транспонированием матрицы.
Запись: А— матрица, транспонированная к матрице А, если А=, то А=.
Сложение матриц
Сложение матриц производится с матрицами одного порядка.
Определение: Если А= , В=,то матрицей А+В будет матрица , а матрицей –матрица .
Свойства сложения матриц и умножения матрицы на число:
А+В=В+А;
2.(А+В)+С=А+(В+С);
3.Матрица, состоящая из одних нулей, называется нулевой матрицей,
тогда А+0=А ;
4.А (–А) | А+(–А)=0;
Матрица «–А» называется матрицей, противоположной матрице А. Она получается из матрицы А заменой знаков во всех её элементах на противоположные.
По определению, разностью матриц А и В является матрица А–В=А+(–В).
5.(А+В)=А+В;
6.;
7.;
8.;
9.Транспонирование суммы равно сумме транспонирований: (А+В) =А+В;
10.;
Транспонированная матрица - матрица AT, полученная из исходной матрицы A заменой строк на столбцы.
Формально, транспонированная матрица для матрицы A размеров — матрицаAT размеров , определённая какAT[i, j] = A[j, i].
Например,
и
Б) Умножение матриц
Отметим, что число столбцов первого множителя А должно совпадать с числом строк второго множителя В (иначе произведение АВ не определено).
Тогда произведением матриц А и В является матрица С, число строк которой совпадает с числом строк первого множителя (матрицы А), а число столбцов – с числом столбцов второго множителя (матрицы В)
С=АВ; С:mn; ,и элементы которой определяются по формуле:
Свойства умн. Матриц
1., т.е. произведение матриц не коммутативно.
2.Произведение матриц ассоциативно: .
3. (правая дистрибутивность)
4. определитель произведения матриц равен произведению определителей: det(AB)=detAdetB.
5. транспонирование произведения матриц равно произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке, т.е.
6.(левая дистрибутивность)
7. ; (Е - единичная матрица)
8.
5. Вопрос
Пусть А=– квадратная матрица.
Определение: матрица называетсяобратной к матрице А, если выполнено равенство . Отметим, что вырожденная матрица обратной иметь не может, ибо если detA=0 , (противоречие).
Всякая невырожденная матрица А=имеет обратную матрицу= =, элементы которой находят по формуле: (5.20)
, а – её алгебраические дополнения.
Свойства обратной матрицы:
для любых двух обратимых матриц A и B.
где * T обозначает транспонированную матрицу. для любого коэффициента.
Алгоритм нахождения обратной матрицы
чтобы найти обратную матрицу , нужно:
найти детерминант матрицы А; если он равен нулю, то обратной нет. Если detA0, то находим
матрицу из алгебраических дополнений;
транспонируем эту матрицу ;
всякий элемент матрицы делим наdetA, получим матрицу .