ТФКП

5.8.3. Определите модуль r и аргумент комплексного числа

#5) r 1; . 3

5.8.4. Определите модуль r и аргумент комплексного числа

#2) r 1; 2 . 3

5.8.5. Определите модуль r и аргумент комплексного числа

#5) r 1; 2 . 3

5.8.6. Определите модуль r и аргумент комплексного числа z 1 i3 5 5i .

#4) r 102; .

12

5.8.7. Определите модуль r и аргумент комплексного числа

z 3 i 1 i3 .

#2) r 4; . 6

5.8.8. Определите модуль r и аргумент комплексного числа

			3
	z 2 2i	1 i				.
			3

#3) r 42; 5 .

12

5.8.9. Определите модуль r и аргумент комплексного числа z 1 i 3 1 i 3.

#1) r 4; .
5.8.10. Вычислите определитель						, где 1 2i.
		1
#1) 6 2i.

z		2i			.
			3 i

z1 i3 .

1 i3

1			i			2
				3
						.
	2		2

11

5.8.11. Вычислите определитель

#4) 1 i 3 . 2

5.8.12. Вычислите определитель

#5) 1 i.

5.8.13. Вычислите определитель

#1) 1 .

2

5.8.14. Вычислите определитель

#2) 11 2i.

5.8.15. Вычислите определитель

#3) 1 8i.

1	, где cos		isin		.
1
	3		3

1	2	, где cos	3	isin	3
						.
	1 2		2
				2

	z2	z 1	, где z	1					isin
							cos				.
	z 1	i 1						4		4
				2

	z	z3	, где z 1 2i.
	z 1	z3
	z 1	z2		, где z 2i 3 .
	z 1	z2 1

5.8.16. Вычислите действительную Rez и мнимую Imz части

комплексного числа 1 . 1 i

#1) Rez Imz 1 . 2

5.8.17. Вычислите действительную Rez и мнимую Imz части комплексного числа 2 3i 1 i 2 .

#3) Rez 2; Imz 5.

5.8.18. Вычислите действительную Rez и мнимую Imz части комплексного числа 2 3i 1 6i .

#5) Rez 16; Imz 3.

5.8.19. Вычислите действительную Rez и мнимую Imz части комплексного числа 3i 4 2i 2 .

#4) Rez 48; Imz 36.

12

5.8.20. Вычислите действительную Rez и мнимую Imz части комплексного числа 2 22i 3 .

#2) Rez 222; Imz 42.

5.8.21. Вычислите действительную Rez и мнимую Imz части комплексного числа 1 4i .

	4 i
#5) Rez 0;	Imz 1.

5.8.22. Определите все комплексные решения уравнения z2 4.

		z1				isin				z2			3	isin	3
	#1)		2	cos					;		2	cos				.
					2		2						2		2
	5)	Уравнение решений не имеет.

5.8.23. Определите все комплексные решения уравнения z2 9.

	#5) z1			isin				z2		3	isin	3
		3 cos					;		3 cos				.
			2		2					2		2

5.8.24.Определите все комплексные решения уравнения z4 1. #2) z1 1; z2 1; z3 i; z4 i.

5.8.25.Определите все комплексные решения уравнения z3 8.

#3)	z 2				cos						isin								;		z			2 cos isin ;											z		2			cos			5				isin					5	.
																							2													3
		1							3																																	3						3
																	3
5.8.26. Определите все комплексные решения уравнения z4 1.
							i						;										i					; z						i					; z							i					.
#5) z				2						2				z							2					2						2				2								2					2
			2																	2					2						2											2						2
1									2						2														3						2					4

5.8.27. Определите все комплексные решения уравнения z2 i.

#2) z	cos					isin		;	z			cos			5	isin			5	.
1		4				4					2			4			4
									5							5 10
5.8.28. Вычислить cos														isin				.
											6						6
	1 i				.
#2)		3
	2

13

										14
5.8.29. Вычислить cos				isin						.
			7					7
#3)	1 .					8
5.8.30. Вычислить cos						isin					.
			16					16
#4)	i.

5.8.31.Вычислить i647 1 .

i647

#5) 0.

5.9.Теория

5.9.1.Функция x,y называется гармонической в области D, если она

имеет в ней непрерывные частные производные второго порядка и удовлетворяет в этой области уравнению Лапласа

#3) 2 2 0x2 y2

5.9.2. Функцияw f z называется аналитической в точке z D, если она…

#4) дифференцируема в ней и некоторой ее окрестности;

5.9.3. Функция называется аналитической в области D, если она …… #2) дифференцируема в каждой точке этой области;

5.9.4. Если z x iy,

w f z u x,y iv x,y то в каждой точке

дифференцируемости функции выполняются равенства (Коши - Римана) #1) u v; u v

x

y y

x

5.9.5. Для всякой аналитической функции f z производная f ' z выражается через частные производные функций

u u x,y и v v x,y

#5) f ' z u i v

x x

5.9.6. По какой формуле вычисляют интеграл от функции

w f z u x,y iv x,y комплексной переменной z x iy

# 3) f z dz udx vdy i vdx udy

Г Г Г

14

5.9.7. Если w f z - аналитическая функция в односвязной области D, то

значение интеграла f z dz

Г

#4) не зависит от линии Г интегрирования, а только от координат начальной и конечной точки этой линии

5.9.8. Если функция w f z является аналитической в односвязной области

D, содержащей точки z0 , z1 и F z - первообразная для функции w f z ,

то справедлива формула

z1

#2) f z dz F z1 F z0

z0

5.9.9. Для всякой функции w f z аналитической в некоторой односвязной

области D, интеграл f z dz по любому замкнутому кусочно-гладкому

Г

контуру Г, целиком принадлежащему области D равен #4) равен нулю

5.9.10. Если функция w f z является аналитической в некоторой области

D, ограниченной кусочно-гладким контуром Г, и на самом контуре, то верна интегральная формула Коши

#1) f z0	1	Г	f z dz	,z0 D
	2 i		z z0

5.9.11. Если функция w f z является аналитической в некоторой области

D, ограниченной кусочно-гладким контуром Г, и на самом контуре, то для любого натурального n верна формула

	n	z0	n!	Г	f z dz
#3) f						,z0 D
			2 i		(z z0)n 1

5.9.12. Функция w f z ,однозначная и аналитическая в точке z0 ,

разлагается в окрестности этой точки в ряд Тейлора.

#5) f z cn z z0 n

n 0

5.9.13. Функция w f z ez при z0 0раскладывается в ряд Тейлора.

	z		n
#4) ez
	n!
n 0
5.9.14. Функция w f z sinz										при z0 0раскладывается в ряд Тейлора.
						z	2n 1
#2) sinz 1 n
						2n
n		0
								1 !

15

5.9.15. Функция w f z cosz при z0 0раскладывается в ряд Тейлора.

			z	2n
#4) cosz 1 n
n	0
			2n		!

5.9.16. Функция w f z ln 1 z при z0 0раскладывается в ряд Тейлора.

	z	n
#5) ln 1 z 1 n 1
	n
n 1
5.9.17. Функция w f z			аналитическая в кольце 0 r		z z0		R

представляется в этом кольце сходящимся рядом Лорана

#1) f z cn z z0 n

n

5.9.18. Изолированная особая точка z0 называется устранимой особой точкой функции w f z , если в разложении в ряд Лорана относительно этой

точки:

1) отсутствует правильная (регулярная) часть разложения #2) отсутствует главная часть разложения

3)главная часть ряда Лорана содержит, лишь конечное число членов

4)) главная часть ряда Лорана содержит бесконечное число членов

5)lim f z

z z0

5.9.19. Изолированная особая точка z0 называется полюсом функции w f z , если в разложении в ряд Лорана относительно этой точки: #3) главная часть ряда Лорана содержит, лишь конечное число членов

5.9.20. Изолированная особая точка z0 называется существенно особой точкой функции w f z , если в разложении в ряд Лорана относительно

этой точки:

#4) главная часть ряда Лорана содержит бесконечное число членов

5.9.21. Вычетом функции w f z в изолированной особой точке z0

называется

#1) коэффициент c 1 в разложении в ряд Лорана	f z cn z z0 n
5) lim f z		n
z z0
5.9.22. Если z0 полюс порядка k , то вычет resf z		функции w f z в
этой точке находится по формуле

16

		1			d	k 1
#2) resf z				lim				[ f z z z0 k ]
					dz		k 1
		k 1 !		z z0

5.9.23. Вычетом функции w f z в бесконечности z называется

#2) коэффициент c 1 в разложении в ряд Лорана f z cn z z0 n

n

5.9.24. Если функция w f z аналитическая внутри замкнутого контура L

и на этом контуре за исключением конечного числа особых точек z1,z2,...zn , внутри L, то

n

#5) f z dz 2 i res f zk

L k 1

5.9.25.Функция w f z является аналитической в бесконечно удаленной точке z , если функция

1

#4) f аналитична в точке 0

Тема 6. Операционное исчисление

6.1.Нахождение изображений и оригиналов

6.1.1.Изображением функции tsin t является функция

	#1)	2p		;
		(p2	2)2

6.1.2.Изображением функции 2sin3t 7e t cos3t t 4 является функция

	# 4)	6 p		7			4p 1	;
		p2 9		p 1			p2

6.1.3. Изображением функции t3e2t является функция

6 #5) .

p 2 4

2,	0 t 3
6.1.4. Изображением функции f t	является функция
0,	t 3

17

2		1 e 3p
# 2)			;
		p

(при решении задачи воспользоваться теоремой запаздывания или напрямую определением преобразования Лапласа).

6.1.5. Изображением функции f (t) sht является функция

t

1

p 1

#3)

ln

;

p 1

2

6.1.6. Изображением функции te t sin t

является функция

2 (p )

#5)

.

p 2 2 2

6.1.7. Пусть

f (t) L F(p);

f (0) 2,

f '(0) 3, f ''(0) 7. Тогда

изображением функции f '''(t)

является функция

#3) p3F(p) 2p2 3p 7;

6.1.8.Оригиналом функции

1

является функция

p3

#3)

t2

;

2

p

6.1.9. Оригиналом функции

является функция

(p )2 2

#1)e tch t ;

6.1.10. Оригиналом функции f (p)

p 2

является функция

p2 4

#1)cos2t sin 2t ;

p 2

6.1.11.Оригиналом функции

f (p)

является функция

#5) 5t 1 e 3t .

p2 6p 9

6.1.12. Оригиналом функции f (p)

Ap2

Bp C

является функция вида

#3)C C

t e2t ;

p3 4p2 4p

2

C

1

3

6.1.13.Оригиналом функции

f (p)

e 2p

является функция

p 3

#4)e 3(t 2) (t 2);

6.1.14. Оригиналом функции f (p)

pe 5p

является функция

p2 16

#2)cos4(t 5) (t 5);

18

	6.1.15. Оригиналом функции f (p)	e p			является функция
		p p 1
	#3)et 1 (t 1) (t 1);
	6.1.16. Оригиналом функции f (p)	e 3p			является функция
		p 1 2
	#1) (t 3)e (t 3) (t 3);

6.1.17. С использованием теоремы об умножении (находя изображение и затем оригинал) вычислите sin t cos t:

#5)tsin t .

2

6.1.18.Изображением функции et e 2t является функция

1

#2) ;

(p 1)(p 2)

t

6.1.19.Изображением функции sin(3t 3 )ch2 d является функция

0

3p

#5)

p2 9 p2 4

.

p

6.1.20.Оригиналом функции

является функция

p4 4

t

#4) sin( t )ch d ;

0

6.1.21.Свёртка sin5t e3t определяется как интеграл

t

#3) sin5 e3(t )d ;

0

p

6.1.22.Оригиналом функции

является функция

p

4 81

#1)

cos3t ch3t

;

18

6.1.23.Оригиналом функции

p2

является функция

4 16

p

#3)

sin2t sh2t

;

1

4

6.1.24.Оригиналом функции

является функция

(p 3)4

#3)

t3e 3t

;

6

19

	6.1.25.Оригиналом функции		p2 25	является функция
		(p2 25)2
	#1)tcos5t;
			p 9
	6.1.26. Оригиналом функции				является функция
			p 9 2 16

#3)e9tch4t ;

6.1.27. Используя определение преобразования Лапласа, найдите

2, t 1;5

изображение функции f(t )

0, t 1;5 .

#1) 2 e p e 5p ; p

6.1.28.Используя определение преобразования Лапласа, найдите изображение

0, t 2;7

функции f(t )

3, t 2;7 .

1 e 7 p e 2p

#4)3 p

6.1.29.Изображение функции f (t) et2

#5)Не существует, поскольку интеграл в преобразовании Лапласа расходится.

6.1.30. Оригиналом функции

#2)e2t e 3t ;

5

6.1.31. Оригиналом функции

#4) 3ch3t 2sh3t

6.1.32. Оригиналом функции

#5) 1 t e t .

6.1.33. Оригиналом функции

# 2)19 e 2t et 3tet ;

6.1.34. Оригиналом функции

#3) 1 1 t e t ;

1

p 2 p 3

является функция

3 p 2

p2 9

является функция

pявляется функция

p 1 2

1

p 1 2(p 2)

является функция

1

p 2p2 p3

является функция

20