ТФКП

t

6.1.35. Изображением функции 2e 3 d является функция

0

	#4)	2	;
		p(p 3)3

6.1.36. Изображением функции e5t sin2 t является функция

#5)

1

1

p 5

2

.

2 p 5

p 5 4

6.1.37. Изображением функции

sin2 t

является функция

t

#3)

1

ln

p2 4

;

4

p2

6.1.38. Оригиналом функции

1

3e 2p 2e 3p является функция

p

2 1

#2)3sin(t 2) t 2 2sin(t 3) (t 3);

6.1.39. Оригиналом функции

1

является функция

p

2

4p 3

3)#e 2tsht ;

1

6.1.40. Оригиналом функции

является функция

p

2

6p 10

#3)e3t

sint ;

6.1.41. Используя определение преобразования Лапласа или теорему

t,t 2

запаздывания, найдите изображение функции f(t ) :

2,t 2

#1)1 e 2p ; p2

6.1.42. С использованием теоремы об умножении (находя изображение и затем оригинал) вычислите свёртку t sint:

#2)t sint ;

6.2. Дифференциальные уравнения.

6.2.1.Решением задачи Коши x'' 4x' 4x 0,		x(0) 0, x'(0) 2 является функция
#2) 2te 2t ;
6.2.2. Решением задачи Коши x'' x 0,	x(0) 1, x'(0) 0 является функция
1)#cost ;
6.2.3.Решением задачи Коши x''' x' 1,		x(0) x'(0) x''(0) 0 является
функция
#2)t sint ;

21

6.2.4. Решением задачи Коши x' 2x sin(t ),x(0) 0 является функция

#4)e 2t cost 2sint ;

5
6.2.5. Решением задачи Коши x' x 1, x(0)	1 является функция
#2) 1;
6.2.6. Решением задачи Коши x' x e t ,	x(0) 1 является функция
#5) 1 t e t

6.2.7. Решением дифференциального уравнения x'' 4x t,x 0 1;x' 0 1 в

области изображений является

#1) x p p3 1 p2 p2 4

6.2.8. Решением дифференциального уравнения x'' x 1,x 0 1;x' 0 0

в области изображений является

				1 p2
	#3) x p
				p p2 4

6.2.9. Решением дифференциального уравнения x'' x et,x 0 5;x' 0 7

в области изображений является

	#2)		p	5p2 12p 8
		x
				p 1 2 p 1

6.2.10. Решением дифференциального уравнения

x'' 2x' x 1,x 0 0;x' 0 0 в области изображений является

1 #5) x p p p 1 2

6.3.Теория

6.3.1.Изображением функции f t называют функцию F p , определяемую

формулой

#2) F p e pt f t dt

0
6.3.2. Если функция f t	имеет изображение F p ,	f t F p , то
#5) f ' t pF p f 0

22

6.3.3. Если функция f t имеет изображение F p ,	f t F p , то
#1) f '' t p2F p pf 0 f ' 0

6.3.4. Если F z dz сходится, то он является изображением функции

					p
	f		t
#4)					F z dz
		t
					p
6.3.5. Если функция f t						имеет изображение F p ,	f t F p , то

#3) F' p tf t

6.3.6. Теорема смещения формулируется следующим образом:

#4) Если F p есть изображение функции	f t , то F(p )есть изображение
функции e t f (t).

6.3.7. Теорема о свёртывании утверждает, что

t

#4) f ( )g(t )d L F(p)G(p);

0

6.3.8.Свойство линейности преобразования Лапласа формулируется следующим образом:

#2) f (t) g(t) L F(p) G(p) ;

6.3.9. Теорема подобия утверждает, что

#2) f ( t) L 1 F p ;

6.3.10. Из теоремы о дифференцировании оригинала следует, что

#3) f (n) (t) L pnF(p) pn 1 f (0) pn 2 f '(0) ... pf n 2 (0) f n 1 (0);

6.3.11.Из теоремы о дифференцировании изображения следует, что

#2)F n ( p) L t n f(t );

6.3.12.Теорема запаздывания утверждает, что

# 5) f (t ) L e p F(p).
6.3.13. Если функция f t			имеет изображение F p ,	f t F p , то
t	F p
#1) f d
	p
0

23

В каких точках заданная функция является дифференцируемой?

в каждой комплексной точке

В каких точках заданная функция является аналитической?

всюду, кроме точек и

В каких точках заданная функция является аналитической?

всюду, кроме точек и

В каких точках заданная функция является дифференцируемой?

всюду, кроме точки

В каких точках заданная функция является дифференцируемой?

лишь в точке

В каких точках заданная функция является аналитической?

ни в одной точке

В каких точках заданная функция является аналитической?

всюду, кроме точек и

24

Вкаких точках заданная функция является аналитической?

ни в одной точке

Вкаких точках заданная функция является дифференцируемой?

лишь в точке

В каких точках заданная функция является аналитической?

ни в одной точке

В каких точках заданная функция является аналитической?

всюду, кроме точки

В каких точках заданная функция является аналитической?

в каждой комплексной точке

В каких точках заданная функция является дифференцируемой?

в каждой комплексной точке

В каких точках заданная функция является дифференцируемой?

ни в одной точке

25

В каких точках заданная функция является дифференцируемой?

в каждой комплексной точке

В каких точках заданная функция является аналитической?

в каждой комплексной точке z

В каких точках заданная функция является дифференцируемой?

на мнимой оси

В каких точках заданная функция является дифференцируемой?

ни в одной точке

В каких точках заданная функция является дифференцируемой?

всюду, кроме точки

В каких точках заданная функция является дифференцируемой?

на мнимой оси

Изображением функции является функция

Изображением функции является функция

26

Изображением функции является функция

Изображением функции является функция

Используя определение преобразования Лапласа или теорему запаздывания, найдите изображение функции

Из теоремы о дифференцировании изображения следует, что

Из теоремы о дифференцировании оригинала следует, что

Изображением функции является функция

27

Изображением функции является функция

Используя определение преобразования Лапласа, найдите изображение функции

Используя определение преобразования Лапласа, найдите изображение функции

Найти вычет функции в точке

Найти интеграл от заданной функции по заданному контуру. Обход осуществляется против часовой стрелки.

0

Найти интеграл от заданной функции по заданному контуру. Обход осуществляется против часовой стрелки.

28

Найти интеграл от заданной функции по заданному контуру. Обход осуществляется против часовой стрелки.

Найти для заданной функции,

Найти для заданной функции,

Найти вычет функции в точке ,

Найти вычет функции в точке ,

Найти вычет функции в точке ,

2

Найти вычет функции в точке

29

Найти вычет функции в точке ,

1

Найти для заданной функции,

0

Найти интеграл от заданной функции по заданному контуру. Обход осуществляется против часовой стрелки.

Найти интеграл от заданной функции по заданному контуру. Обход осуществляется против часовой стрелки.

Найти интеграл от заданной функции по заданному контуру. Обход осуществляется против часовой стрелки.

Найти интеграл от заданной функции по заданному контуру. Обход осуществляется против часовой стрелки.

0

Найти для заданной функции,

30