3.8. Производная функции, заданной неявно

Дифференцирование функций, заданных неявно, опирается на возможность почленного дифференцирования тождеств.

В общем случае уравнение почленно дифференцировать нельзя.

Пусть функция задана неявно уравнениеми известно, что существует решение этого уравнения в виде; подставив это решение в уравнение, получим тождество.

Продифференцировав пох, получим уравнение для нахождения производной .

Пример

Найти производную функции, заданной неявно: .

Решение

Продифференцируем обе части данного уравнения по аргументу х:

3.9. Дифференцирование функций, заданных параметрически

Пусть функция задана параметрически уравнениями

1. - параметр.

Требуется найти производную .

Имеет место формула

или .

Пример

Найти производную функции, заданной параметрически: .

Решение

Найдем производные функций х и у по переменной t:

,

.

Согласно формуле , получим

.

3.10. Исследование функций и построение графиков функций

Одна из возможных схем исследования функции и построения ее графика включает следующие этапы решения задачи:

1. Найти область определения функции.

2. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

3. Определить четность, нечетность.

4. Найти точки разрыва функции и асимптоты графика функции.

5. Исследовать функцию на экстремум, найти интервалы монотонности функции, точки максимума и минимума.

6. Найти интервалы выпуклости, вогнутости графика функции и точки перегиба.

7. Построить график функции.

Пример

С помощью методов дифференциального исчисления исследовать и построить график функции .

Решение

1. Область определения функции находится из условия: , т.е..

2. Точки пересечения графика функции с осями координат:

с осью Оу, , точка,

с осью Ох, , точка.

3. Четность, нечетность.

Функция называется четной, если для любогох из области определения справедливо равенство . Функцияназывается нечетной, если для любогох из области определения справедливо равенство . Если не выполнено ни одно из равенств, то функцию называют функцией общего вида.

В нашем случае, , следовательно, функция нечетная, а ее график симметричен относительно начала координат.

4. Точки разрыва функции и асимптоты графика функции.

1) Вертикальные асимптоты. Прямая является вертикальной асимптотой графика функции, если хотя бы один из пределов

или

равен или. Таким образом, для нахождения вертикальных асимптот следует найти все точки разрыва 2-го рода данной функции. Если точек разрыва нет, то нет и вертикальных асимптот.

Заданная функция имеет две точки разрыва второго рода и, так как

, ,

, ,

следовательно, график функции имеет две вертикальных асимптоты и.

2) Горизонтальные асимптоты. Горизонтальная асимптота – частный случай наклонной асимптоты, когда .

Чтобы найти горизонтальные асимптоты графика функции, нужно найти пределы:

.

Если эти пределы конечны и различны, то прямые будут горизонтальными асимптотами. Если какой-либо из этих пределов не существует или равен, то не существуют и соответствующие асимптоты.

Так как

,

то график функции имеет горизонтальную асимптоту .

3) Наклонные асимптоты. Пусть прямая является асимптотой графика функции. Такую асимптоту называютнаклонной. Для того, чтобы график функции имел принаклонную асимптоту, необходимо и достаточно, чтобы существовали оба предела:

.

Аналогично находится асимптота при .

Так как , то наклонных асимптот нет.

5. Исследование функции на экстремум.

Для определения интервалов возрастания и убывания функции и ее точек экстремума найдем первую производную:

.

Найдем критические точки, т.е. точки, в которых производная равна нулю или не существует, для чего приравниваем числитель к нулю:

, т.е. вещественных корней нет, следовательно, точек экстремума нет. Так как производная отрицательна во всей области определения функции, то она всюду убывает в этой области.

_ _ _

х

-6 6 у

6. Исследование на выпуклость, вогнутость. Точки перегиба.

Вычислим производную второго порядка:

Необходимое условие точки перегиба: или не существует. Равенствовыполняется при, следовательно, эта точка является «подозрительной» на точку перегиба. Определим знак второй производной на всей числовой оси и укажем на ней интервалы выпуклости и вогнутости функции.

_ + _ +

х

-6 06 у

Так как при переходе через точку вторая производная меняет знак, то точка с абсциссойявляется точкой перегиба. Итак, точка перегиба имеет координаты.

7. Построение графика функции.

Контрольная работа № 4. Интегральное исчисление функции одной переменной

1. Найти интеграл .

2. Найти интеграл .

3. Найти интеграл .

4. Построить схематический чертеж и найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

, .