1.3. Обратная матрица

Пусть дана квадратная матрица А порядка n.

Обратной матрицей по отношению к данной А называется матрица , которая будучи умноженной, как справа, так и слева на данную матрицу, дает единичную матрицу.

По определению

А ·=· А = Е.

Квадратная матрица называется неособенной или невырожденной, если определитель ее отличен от нуля. В противном случае матрица называется особенной или вырожденной.

Всякая неособенная матрица имеет обратную матрицу, которую можно найти по формуле

,

где - определитель матрицыА, - союзная матрица по отношению к данной матрице, в которой элементы каждой строки данной матрицы заменены алгебраическими дополнениями элементов соответствующих столбцов. Например, для квадратной матрицы 2-го порядка союзной является матрица

,

для квадратной матрицы 3-го порядка союзной является матрица

.

Пример

Для матрицы найти обратную.

Решение

Обратную матрицу находим по формуле

.

Определитель матрицы , следовательно, матрица неособенная и обратная матрица существует. Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы:

.

Тогда обратная матрица имеет вид

.

1.4. Решение систем линейных алгебраических уравнений (слаУр)

Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

. (1)

Если хотя бы одно из чисел не равно нулю, то такая система называетсянеоднородной. Если же , то такая система называетсяоднородной.

Решением системы (1) называется упорядоченная совокупность чисел , которая при подстановке в систему обращает все уравнения системы в верные равенства.

Если система имеет решение, то она называется совместной, если не имеет решения – то несовместной. Если система имеет единственное решение, то она называется определенной, если более одного решения, то – неопределенной.

Формулы Крамера для решения слаУр

Если определитель системы , то эта система имеет единственное решение, которое можно получить по формулам Крамера. Формулы Крамера имеют вид

,

где

.

В знаменателях этих формул стоит определитель системы , а в числителях – определители, которые получаются из определителя системызаменой коэффициентов при соответствующих неизвестных столбцом свободных членов.

Пример 1.

Решить систему по формулам Крамера.

Решение

Формулы Крамера: . Вычислим определители:

,

, тогда

, ,.

Итак, ,,.

Ранг матрицы

Пусть дана матрица .

Рангом матрицы называется наибольший из порядков отличных от нуля ее миноров. Обозначение: rang A, r(А) или r.

Очевидно, – меньшее из чиселm и n.

Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным. Вычисление всех миноров отличных от нуля трудоемкая операция. На практике для вычисления r(A) используют метод Гаусса.

Элементарными преобразованиями называются следующие действия над матрицами:

1. Вычеркивание нулевой строки.

2. Умножение какой либо строки на число.

3. Прибавление к одной из строк другой строки, умноженной на любое число.

4. Перестановка двух столбцов или двух строк.

Теорема 1. Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях.