церебральноенасилие1

Теоремы Коши и Лагранжа.

     Существуют две теоремы: теорема Лагранжа и теорема Коши, устанавливающие связь между приращениями функций на некотором отрезке и значениями их производных в некоторой точке, лежащей внутри этого отрезка. Теорема Лагранжа была доказана раньше теоремы Коши и является частным случаем последней.

Теорема Коши. Если две функции f(x) и (x) непрерывны на отрезке [a, b] и дифференцируемы в промежутке (a, b), причем производная ^/(x) второй из них не обращается в нуль в этом промежутке, то отношение конечных приращений этих функций на отрезке [a, b] равно отношению их производных в некоторой точке с промежутка (a, b) (быть может не единственной): 

Замечание. (b)-(a)0, так как иначе по теореме Ролля производная ^/(x) обращалась бы в нуль хотя бы в одной точке промежутка (a, b), а по теореме Коши ^/(x)0.

Теорема Лагранжа (о среднем): Конечное приращение на отрезке [a, b] функции, непрерывной на этом отрезке и дифференцируемой внутри него, равно произведению конечного приращения аргумента на этом отрезке на значение производной в некоторой внутренней точке с отрезка [a, b].

 Рассмотрим, в чем состоит геометрический смысл теоремы Лагранжа:

, но  - это угловой коэффициент уравнения хорды MN,

соединяющей точки M и N графика функции y=f(x).

С другой стороны: правая часть формулы равна угловому коэффициенту касательной к этому графику в точке Р с абсциссой x=c, где a<c<b.

 

f^/(c)=tg.

Итак, формула устанавливает равенство угловых коэффициентов хорды и касательной, то есть параллельность хорды и касательной.

Таким образом, геометрический смысл теоремы Лагранжа заключается в следующем: на произвольной дуге графика дифференцируемой функции всегда найдется такая точка, в которой касательная к графику будет параллельна хорде, стягивающей концы дуги.

Физический смысл теоремы Лагранжа.

 Пусть  – время, а  – координаты точки, движущейся по прямой, в момент времени . В выражении

Величина в левой части равенства является средней скоростью движения точки по прямой за промежуток времени от  до . Формула Лагранжа показывает, что существует такой момент времени , в котором мгновенная скорость равна средней скорости на временном отрезке .

Если в формуле Лагранжа положить , получим теорему Ролля, т. е. теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа.

Положим в формуле Лагранжа , . Тогда она примет вид

,

Где . Данная формула связывает приращения аргумента и функции, поэтому ее называют Формулой конечных приращений. Данная формула дает точное выражение приращения функции через вызвавшее его приращение аргумента в отличие от дифференциала функции, который определяет приближенное значение приращения функции: . В приближенных вычислениях приращение функции заменяют чаще дифференциалом, т. е. полагают . Формула Лагранжа применяется реже, так как для ее использования необходимо указать точку , что, вообще говоря, не всегда удается.

Обобщением теоремы Лагранжа является теорема Коши.

Пример Коши

Пример Лагранжа

Теорема Ролля о нулях производной. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема на интервале (a, b) и принимает в концах этого отрезка равные значения, т.е. f(a)=f(b) (1), то существует точка   такая что  (2).

Геометрический смысл т. Ролля: при условиях теоремы существует значение  такое, что касательная к графику функции y=f(x) в точке параллельна оси Ox.

Замечание. Все условия т. Ролля существенны.

 Теорема Ферма

Если функция  имеет производную и в точке  имеет экстремум, то значение производной в этой точке равно 0. 

Геометрический смысл теоремы Ферма Существует такая точка , в которой касательная параллельна оси Ox.  Замечания В точке экстремума может не быть производной. Пример: ,  - точка минимума, но .

2. Равность нулю производной - необходимое условие существования экстремума, но не достаточное. То есть производная может быть равной 0 и вне точки экстремума. Пример: , но точка 0 - не экстремум.

 

Пример