ЗаданияИРешенияОчногоТура

ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет математики и информационных технологий

Задания очного тура математической олимпиады ¾Абитуриент 2015¿

Часть 1. Тестовые задания

В задачах 1 8 укажите только один правильный ответ из приведенных

1. Сколько можно построить параллелограммов с вершинами в трех зафиксированных точках?
À. 2 èëè 0	Á. 3	Â. 3 èëè 0	Ã. 2

2. В четырехугольнике диагонали перпендикулярны, а длины трех смежных сторон равны соответ-

ственно a, b, c. Найдите длину четвертой стороны.

Ã. q

À.

p

Á. a + c bx

Â. 3c a b

a2+b2+c2

a2 + c2 b2

2

3. Сколько корней имеет уравнение sin x =

?

50

À.

50

Á. 49

Â. 99

Ã. 100

4. В квадрат вписан другой квадрат так, что его вершины являются серединами сторон первоначаль-
ного квадрата, в этот квадрат следующий квадрат и т.д. Найдите сумму площадей всех квадратов,
если сторона первого равна 2.
À. 8	Á. 2	Â. 1	Ã. 4

5. Найдите все положительные значения параметра t, при которых интервал (6t + 1; 7t) содержит

хотя бы одно целое число.	Á. (2; +1)	Â. (1; +1)	Ã. ( 1; 1) [ (1; +1)
À. [0; +1)

6. Какой цифрой оканчивается число 32015?
À. 3	Á. 9			Â. 1
7. Найдите наибольшее значение функции y = sin121 x + cos119 x.
À. 0;5	Á. p					Â. 1
		2
8. Найдите множество значений функции y =				x
				(x 1)2	.	[ (1; +1)
À. [ 1; 5]	Á. (0; 1) [ (1; +1)				Â. ( 1; 1)

Часть 2. Задачи с полным обоснованием

Приведите решение задач 9 12 с обоснованием всех рассуждений

Ã. 7

Ã. 2

Ã. 14 ; +1

9. Известно, что у квадратного трехчлена ax2 + (2a + b)x + a + b + c дискриминант отрицательный и выполнено неравенство a + c < b. Определите знак числа a.

10. Али Баба пришел в пещеру, где есть золото, алмазы и сундук. Полный сундук золота весит 200 кг, а полный алмазов 40 кг. Пустой сундук ничего не весит. Килограмм золота стоит 20 динаров, а килограмм алмазов 60 динаров. Какое наибольшее количество денег сможет выручить Али Баба, если он может унести не более 100 кг?

11. Изобразите на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих неравенству

x2 2jxj + y2 2jyj + 1 6 0.

12. Все диагонали параллелепипеда равны 7 см, а два его ребра равны 6 см и 3 см. Найдите объем параллелепипеда.

Решения заданий очного тура математической олимпиады ¾Абитуриент 2015¿ 26 апреля 2015 года

1. Сколько можно построить параллелограммов с вершинами в трех зафиксированных точках?
Решение. Если данные точки лежат на одной прямой, то указанных в условии параллелограммов
не существует, т.е. Ответ 0. Если точки не лежат на одной прямой, то суще-
ствует ровно 3 параллелограмма, три вершины которых совпадают с дан-
ными точками (см. рисунок).	Ответ. 3 èëè 0

2. В четырехугольнике диагонали перпендикулярны, а длины трех смежных сторон равны соответственно a, b, c. Найдите длину четвертой стороны.

Решение. Обозначим длины сторон и отрезки перпендикулярных диагоналей четырехугольника, как показано на рисунке. По теореме Пифагора имеем равенства: x2 = p2 +q2,

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

(u

2

2

p2

= c2

u2., q

= a

v

, u

+v

= b

. Следовательно, x

= a +c

+v

) =

a

+ c

b

Ответ. p

a2 + c2 b2

3. Сколько корней имеет уравнение sin x =

x

?

50

j

j

(см. рисунок)

. Так как период функции sin x равен 2, то уравне-

Решение. Ïðè

ние на промежутке

[0; 50] имеет 2 25 = 50 корней. Аналогично

x > 50 корней нет, так как

x

> 1. На промежутке [0; 2] уравнение имеет 2 корня

50

устанавливается, что уравнение имеет 50 корней на промежутке

y =

x

[ 50; 0]. Следовательно, всего корней 50 + 50 1 = 99.

50

Ответ. 99

y = sin x

4. В квадрат вписан другой квадрат так, что его вершины являются серединами сторон первоначаль-

ного квадрата, в этот квадрат следующий квадрат и т.д. Найдите сумму площадей всех квадратов,

если сторона первого равна 2.

; a2; : : : ; an; : : : , à èõ

Решение. Обозначим длины сторон последовательности квадратов через a1

площади S1 = a12

, S2 = a22

, . . . . По условию, a1 = 2, S1

= 4. По постро-

åíèþ, a2 = 1 p

a1, a3

= 1 p

a2, . . . , ak+1 =

1 p

ak

= p

p

; S2 =

S1

2

2

2

2

ak

2

2

2

2 ,

S3 =

S2

, . . . , Sk+1 =

Sk

. Следовательно, площади квадратов образуют

2

2

убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем q = 1

S1

4

2 è ïåð-

вым членом, равным 4, тогда S1 + S2 + : : : =

=

= 8.

1 0;5

1 q

Ответ. 8

5. Найдите все положительные значения параметра t, при которых интервал (6t + 1; 7t) содержит

хотя бы одно целое число.

Решение. Òàê êàê 7t > 6t + 1, òî t > 1. Длина интервала (6t + 1; 7t) равна 7t 6t 1 = t 1.

Этот интервал содержит хотя бы одно целое число, если его длина больше 1. Следовательно, при t > 2 интервал (6t + 1; 7t) содержит хотя бы одно целое число. При t = 2 этот интервал совпадает

с интервалом (13; 14) и не содержит целых чисел. А при 1 < t < 2 этот интервал является частью

интервала (13; 14) и поэтому также не содержит целых чисел.
Ответ. (2; +1)

6. Какой цифрой оканчивается число 32015?

Решение. Òàê êàê 31 = 3, 32 = 9, 33 = 27, 34 = 81, 35 = 243, 36 = 729, . . . , то последние ци-

фры чисел 3	k	, k 2 N образуют периодическую	последовательность			3; 9; 7; 1; 3; 9; 7; : : :	с периодом 4.
				3
Следовательно, последняя цифра числа такая же, как и у числа 3					, ò.å. 7, òàê êàê 2014 = 503 4 + 3.
			Ответ. 7

7. Найдите наибольшее значение функции y = sin121 x + cos119 x.

Решение. Так как для любого x имеют место неравенства sin121 x 6 sin2 x, cos119 x 6 cos2 x, то справедливы соотношения sin121 x + cos119 x 6 sin2 x + cos2 x = 1. Ïðè x = 0 значение функции равно 1: y(0) = sin2 0 + cos2 0 = 1. Следовательно, наибольшее значение данной функции равно 1.

				Ответ. 1
8. Найдите множество значений функции y =			x
			(x 1)	2	.
	x
Решение. Рассмотрим уравнение a =		, ãäå a параметр. Множество значений данной фун-
	(x 1)2

кции составляют все значения параметра a, при которых приведенное уравнение имеет решение. После преобразований это уравнение принимает вид ax2 (2a + 1)x + a = 0. Òàê êàê ïðè x = 0 зна- чение функции равно нулю, то есть 0 принадлежит множеству значений данной функции, то можно

Полученное квадратное уравнение с параметром имеет решение тогда и только

считать, что a 6= 0.

2

4a

2

> 0

èëè

, ò.å.

a >

1

тогда, когда (2a + 1)

1

4a + 1 > 0

4

. Следовательно, множество значений

данной функции промежуток

4

; +1 .

Ответ.

41 ; +

1

9. Известно, что у квадратного трехчлена ax2 + (2a + b)x + a + b + c дискриминант отрицательный и выполнено неравенство a + c < b. Определите знак числа a.

Решение. По условию, (2a + b)2 4a(a + b + c) < 0, èëè 4a2 + 4ab + b2 4a2 4ab 4ac < 0.

Следовательно, b2 < 4ac. Òàê êàê b2 > 0, òî a è c имеют одинаковые знаки. Если a > 0 è c > 0, òî a + c > 0, и тогда (a + c)2 < b2 < 4ac, так как по условию a + c < b. Значит, (a c)2 < 0. Получили противоречие. Значит, a < 0.

Ответ. a < 0

10. Али Баба пришел в пещеру, где есть золото, алмазы и сундук. Полный сундук золота весит 200 кг, а полный алмазов 40 кг. Пустой сундук ничего не весит. Килограмм золота стоит 20 динаров, а килограмм алмазов 60 динаров. Какое наибольшее количество денег сможет выручить Али Баба, если он может унести не более 100 кг?

Решение. Предположим, что Али-Баба смог унести из пещеры x кг золота и y кг алмазов. В этом случае он сможет получить 20x + 60y динаров. Поскольку Али-Баба может поднять не более 100 кг,

òî			x + y 6 100							( ):
1 кг золота занимает 1		1			x	+		y		6 1 èëè
200 , а 1 кг алмазов 40				часть сундука. Значит, 200			40
			x + 5y 6 200							( ):

Сложив неравенства (*) и (**) и умножив на 10, получим: 20x + 60y 6 3000. Следовательно, Али-

Баба сможет получить за сокровища не более 3000 динаров. Осталось показать, что Али-Баба сможет унести сокровища на эту сумму. Для этого необходимо и достаточно, чтобы в неравенствах (*) и (**) были выполнены равенства. Решив соответствующую систему уравнений, найд¼м x = 75, y = 25. Ýòî

значит, что Али-Баба сможет получить 3000 динаров, взяв из пещеры 75 кг золота и 25 кг алмазов.
Ответ. 3000 динаров

11. Изобразите на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих неравенству

x2 2jxj + y2 2jyj + 1 6 0.

Решение. Преобразуем исходное выражение:						(1; 1)			2 6 1.
x2		(x 1) +(y 1)	= 1 уравнение окружности с центром
	2jxj + y2 2jyj + 1 62 0 ()		2 jxj2 2jxj + 1 + jyj2	2jyj + 1 6 1 () jxj 1		2	+ jyj 1
	Заметим, что				в точке		и радиусом 1.

Тогда, учитывая свойства модулей, изобразим на координатной плоскости точки, удовлетворяющие уравнению jxj 1 2 + jyj 1 2 = 1 (ñì. ðèñ. 1).

Ответ. 36 ñì2

творяют точки				2 +			2 6 1 удовле-
Неравенству		jxj 1			jyj 1
	плоскости, находящиеся на расстоя-
нии не больше 1 от центра хотя бы одного из кругов.
Следовательно, искомое множество является объеди-
нением четырех кругов, изображенных на рис. 2.
		Ответ. Ðèñ. 2

12. Все диагонали параллелепипеда равны 7 см, а два его ребра равны 6 см и 3 см. Найдите объем параллелепипеда.

Решение. Из равенства диагоналей параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 следует, что он прямоугольный. Докажем это. Четырехугольник AA1C1C прямоугольник, так как его диагонали равны, а AA1 k CC1, AA1 = CC1. Следовательно, OO1 ? AC, ãäå O; O1 ñåðå- дины диагоналей AC è A1C1. Аналогично устанавливается, что OO1 ? BD. Следовательно OO1 ? ABCD, а так как ребра AA1; BB1; CC1; DD1 параллельны OO1, òî è îíè ïåð-

пендикулярны плоскости. Аналогично устанавливается, что
óãëû \DAB, \ABC прямые. Пусть AB = 6, AD = 3. Òî-
				= p		= 2. Таким
ãäà CC1		AC12 AB2 AD2
	=				49 36 9
образом,	искомый объем равен		AB AD CC1 = 6 3 2 = 36.
	p