Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Матрицы и определители

.pdf
Скачиваний:
10
Добавлен:
08.05.2015
Размер:
521.05 Кб
Скачать

-

.

« »

512(07) !844

"

#

$

2014

% 512.643(075.8) !844

- .

. .

!844 : " / .: &.'. ! (, ).'. ". – #: $ , 2014. – 48 .

"

* +

 

,

 

*

*

"

*. ' "

*

"

, *

- * ( ". " "

* ( * " ( ".

" $) * "

( ( " ( * " * , " ,. ( -, *

.

% 512.643(075.8)

© $ , 2014

 

 

 

 

 

 

 

" -"

 

"

, ,. ( /

:

"

 

*

" ,

-

",

*,

*

(

. "

 

* ",

 

* ( ,. * * * *

* ., * " .

. * ( *. )

* * , * , *,

" * .

- " * *, "

*

*, *

"

(. #

* ,

 

 

. - " ,

 

 

,

* .

.

0 * " , * , " ".

! " * " - " "

,. ( " * * *

*, , . ' "

( . ".

" *

* " -

. ' /

"

* * ( .

 

 

 

 

 

'

 

 

- "

*

.

'

*

 

"

 

 

 

*- " ,

 

*

 

* ( "

* ,

 

 

 

- . ' "

 

*

* -

* ( "

.

 

 

3

' ( " ( * ( " ( " * (

- ( " ( ()1&). 2 * ,

x y = 2,

 

 

(1.1)

2x + 3y = −5

 

(

x, y . - /

* . ' ( " ( " )1&

" (

 

" .

- * (

 

*

" **. ( ** * "

-( )1&, " ( -

*.

' " , . )1& *

. , " * -

)1& (1.1) (

 

 

,

*

 

/ /

. 2 *

,

)1& (1.1)

 

 

 

A

 

 

/ *

(

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A − / * ( (

":

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 − 1

 

 

 

~

 

1 − 1

2

(1.2)

 

A =

 

;

 

 

A =

 

 

 

 

.

 

 

 

2

3

 

 

 

 

 

2

3 − 5

 

3 ,

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

1. !

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

a

...

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

12

 

1n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a21

a22 ...

a2n

,

 

 

(1.3)

 

 

 

 

A =

.

.

.

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

am 2 ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

am1

amn

 

 

 

 

* * , " a11, a12 ,..., aij ,..., amn , !.

#, ,. , , "

 

 

 

" , "

: aij . i, j

* ,

* /

: i *

,

j

 

, ( * / / .

 

 

 

 

* " * *

A, B,C,...

. $ ,

" A # m × n , m

 

n

 

4

 

 

 

 

$%.

' / "

*- dim A = m × n ( dim –

.

dimension

– )

Am×n . 4 "

"

 

(m = n ),

A % ! n " An .

3, (1.2)

 

~

 

2 × 3

A – * 2, A

(2 , 3 ).

 

 

 

, . , %-!,

,

. , %- $ .

 

 

, / ,,

" 0:

 

0

0 ...

0

 

 

 

 

 

 

 

0m×n

0

0 ...

0

 

=

. . ... .

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0 ...

0

 

 

 

 

 

 

)1& ,

, ( – ".

 

 

 

 

 

 

 

 

! A

* n:

 

 

 

 

 

 

 

a

 

a

...

 

a

 

 

 

 

 

 

 

11

12

 

 

1n

 

 

 

 

 

 

a21

a22 ...

a2n

 

 

(1.4)

 

A =

.

.

.

 

.

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an 2 ...

 

 

 

 

 

 

 

 

an1

ann

 

 

 

& % ! ' ()

A

 

,

.

( *

. 2

/

a11 , a22 ,...,ann , . .

 

/

 

 

*

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

$* ! ' ()

 

 

,

. * (.

2 /

 

an1 , an −1,2 ,...,a1n .

, /

,

/

 

, ,, '

( !:

 

 

 

 

d

1

0

0

...

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

d 2

0

...

0

 

 

 

 

D =

.

. . . .

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

0

...

dn

 

 

 

% , /

, * ! " En :

5

 

 

1

0

0 ...

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

0 ...

0

 

E

 

= 0

0

1 ...

0

.

 

n

 

 

 

 

 

 

 

. . . .

.

 

 

0

0

0 ...

1

 

+ * . % " , , * , * * :

a11

a12

...

a1n

 

a11

a12

...

a1n

 

a21

a22

...

a2n

 

a21

a22

...

a2n

.

.

.

.

.

.

.

.

.

 

 

am1

am 2

...

amn

 

am1

am 2

...

amn

 

2. % , , ,

( / , . ( ( (

).

1.2. !, ! %

 

 

 

 

- . *

 

 

 

 

 

3. !

A " α

 

B = αA , * "

 

A

( /

"

α .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 *

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7 2

3 7

3 2 21 6

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

=

 

 

=

.

 

 

 

 

 

 

 

 

− 1 3

 

3 (− 1)

3 3

− 3 9

 

 

 

 

 

!

 

A * "

: 0 A =

O . A

 

*

 

1.

 

(− 1) A

% . !

A " − A .

 

 

 

 

 

 

 

/ .

 

 

 

 

 

 

 

4. )

& '

 

= A + B ,

 

/

cij

 

 

aij + bij

/

 

& '

.

 

 

 

 

 

 

2 *

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

− 1

2 3 0 7

1

− 1 + 0

2 + 7 3 + 1

− 1 9 4

 

 

 

+

 

 

 

=

 

 

 

=

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

7 + 12 − 4 +

5 9 −

 

 

19 1 6

 

 

7

− 4 9 12 5 −

3

3

 

 

! "

. , "

 

(

 

.

*

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

1.A + O = A ,

2.A + (A) = O ,

3.A + B = B + A ,

4.A + (B + C ) = (A + B )+ C

* ":

5.α (A + B ) = αA + αB ,

6.(α + β )A = αA + βA ,

7.(αβ )A = α (βA).

5 * , ( A, B, C

, ( α β . % ( * *

*

( ". % " *

* :

3.A + B = [aij + bij ]= [bij + aij ]= B + A ,

5.α (A + B ) = [α (aij + bij )]= [αaij + αbij ]= [αaij ]+ [αbij ]= αA + αB .

* .

7

8

#%

* " * - -

" / (

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(a a

...a

 

)

b

 

= a b

+ a b

+ ... + a b

 

.

 

(1.5)

 

 

n

 

2

 

 

 

 

 

1 2

 

 

 

 

M

 

1 1

2 2

 

n n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

bn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

* ". 2 * ,

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(− 5 4 7)

 

 

 

3 = (− 5) 2 + 4 3 + 7 (− 2) = −12 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

! *

A

 

m × n

 

B

n × p :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

a

 

...

 

 

a

 

 

 

b

...

b

 

...

b

 

 

11

12

 

 

 

 

 

1n

 

 

 

 

.

.

 

 

.

 

 

 

.

 

 

 

11

 

1 j

 

 

1 p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

...

b

 

...

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21

 

2 j

 

 

21

 

A =

ai1

ai 2

...

 

 

ain

,

B

= .

.

.

 

.

.

.

 

.

.

 

 

.

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

...

bnj

 

...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

am 2

...

 

 

 

 

 

bn1

 

bnp

 

am1

 

amn

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

!

&

'

), / ij * , i -

& j - '.

* * (1.5), . .

/ ij C

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

= (a

 

 

 

 

1 j

 

 

 

 

 

 

 

c

a

...a

 

) b

 

= a

b

+ a

b

+ ... + a

b .

ij

 

i1 i 2

 

in

 

2 j

 

 

i1 1 j

 

i 2 2 j

 

in nj

 

 

 

 

 

bnj

 

 

 

 

 

 

 

!

" A B .

 

 

* , "

&

'

, * $% A * 0

B .

! /

= A B

 

m × p , . .

"

 

m

" *

 

* A B , " p − "

.

% (

 

 

* " ( : [m × n][k × p].

 

 

 

 

9

 

 

4 n = k (" * "

*),

 

 

 

. 0 " / ",

* "

= A B :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[m × n][n × p]= m × p .

 

 

 

 

 

(1.6)

)- (1.6) % # !.

 

 

!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

− 2

1

 

 

 

1

4

− 1

 

 

 

 

B =

 

− 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

0

2

 

.

(1.7)

 

A =

 

 

 

 

 

 

− 1

0

5

 

 

 

2

− 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

!

A B

 

.,

 

 

 

 

[2 × 3][3 × 3]= [2 × 3].

C = A B

2 × 3 :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

− 2

1

 

1

 

4

− 1

 

 

 

 

 

 

− 6

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

− 1

0

5

 

2

 

− 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

3 1 + (− 2)(− 6) + 1 2 3 4 + (− 2) 0 + 1 (− 1)

3 (− 1) + (− 2) 2 + 1 1

17

11

− 6

 

 

 

 

.

=

 

 

=

 

 

 

 

(− 1) 1 + 0 (− 6) + 5 2 (− 1) 4 + 0 0 + 5 (− 1)

 

9

− 9

6

 

(− 1) (− 1) + 0 2 + 5 1

 

! B A / (

 

* .,

[3 × 3] [2 × 3] " 3 *

"

2

 

.

 

* * , "

*

 

 

% * ,

. . A B B A .

".

 

*

A B

 

B A

. ,,

A B = B A *.

 

 

 

 

 

 

 

 

!

 

B

* .

*

" ,

*

, . .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B = − 6

0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

− 1

 

 

 

 

 

3 *

* B A

 

 

[3 × 2][2 × 3]= 3 × 3. 3 * * A B B A . ,,

 

 

A B

− 2 × 2 ,

 

 

B A

− 3 × 3

 

A B B A .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!

 

1

1

B =

0

0

0 *

A B B A

 

A =

 

,

 

.

 

 

 

 

 

0 0

 

1 1

 

 

 

 

 

 

. , * " ,.

 

 

2 × 2 .

3

 

,

A B B A . %,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 1 0 0

 

1 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A B =

 

 

=

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 0 1 1

 

0 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10