Логические операции и таблицы істиності.
Бинарные и унарные операторы.
Логика оперирует конечным числом операторов. Множественное число логических операторов разделяют на две группы:
Бинарные операторы используют две логических переменной. Сюда принадлежат операторы «І», «ИЛИ».
Унарные операторы используют одну логическую переменную. Эту группу образует оператор возражения «НЕ».
Операция возражения.
Договоримся помечать простые высказывания буквами латинского алфавита: А, В, С... Значение истинности будем сокращенно помечать цифрой 1 для «ИСТИНА» и 0 для «ИЗЪЯН».
Рассмотрение
логических операций начнем с самой
простой -
операции возражения,
которая отвечает в обычном языке частице
«не». Эту операцию помечают знаком Ø
(иногда высказывание А помечают также
). Высказывание А читается так: «не а».
Если А - некоторое высказывание, например, «у пациента обнаружена пневмония», то ØА - новое составленное высказывание «у пациента не обнаружено пневмонию». Легко видеть, что если А истинное высказывание, то А порочное и наоборот. Этот факт положен в основу определения логической операции «»:
Высказывание называется возражением высказывания А, если оно истинно, когда А – порочное и порочное, когда А – истинное. Действую операции подадим в виде таблицы (или матрицы) истинности для возражения
Таблица Ошибка! Текст указанного стиля в документе отсутствует..7. Таблица истинности для возражения
|
A |
ØА |
|
1 |
0 |
|
0 |
1 |
Операция конюнкції¢
Следующая логическая операция - конюнкція, которая отвечает в обычном языке союзу «і». Отражается конюнкція ¢символом «»Ù, который относится между высказываниями. Если Но и В – высказывание, то А Ù В составленное высказывание (читается «Но и В»).
Пусть А - высказывание: «У больного повышена температура», а В - «У больного повышено давление». Тогда А Ù В будет высказыванием «У больного повышена температура и повышено давление». Образовано высказывание истинное только тогда, когда истинные оба высказывания, которые входят к нему. То есть, операция конюнкції ¢определяется таким образом:
Конъюнкцией высказываний Но и В называется такое высказывание, какое истинное тогда и только затем, когда истине высказывания Но и В. Таблиця истинности конъюнкции нижеприведенная.
Приведенная таблица является таблицей умножения двух чисел 0 и 1. Потому конюнкцію ¢называют еще логическим умножением и записують:А Ù В = А × В.
Таблица Ошибка! Текст указанного стиля в документе отсутствует..8. Таблица истинности для конъюнкции
|
A |
B |
A Ù B |
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
Таблица Ошибка! Текст указанного стиля в документе отсутствует..9. Таблица истинности для дизъюнкции
|
A |
B |
A Ú B |
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
Операция дизюнкції¢
Следующая логическая операция - дизюнкція, которая отвечает в обычном языке союзу «или». Сразу же следует отметить тот факт, что союз «или» имеет в украинском языке (и во многих других европейских языках) два разных значения. В одном случае мы говорим о «или», что исключает, а в другом -о «или», что не исключает. Разница в следующем. Если мы имеем два высказывания Но и В и оба высказывания порочные, то, без сомнения, сложное высказывание «А или В» следует считать порочным. Если А истинное, а В- порочное (В стинне ли, а А порочное), то также очевидно, что «А или В» следует рассматривать как истинное; это целиком отвечает содержанию слова «или» в украинском языке. Но как следует рассматривать сложное высказывание «А или В», если Но и В истинных: как истинное или порочное? В случае, когда вказанне высказывание считается истинным, мы говорим, что имеем дело из «или», что не исключает, в другом из «или», что исключает. Логическая операция, которая отвечает «или», что не исключает в логике высказываний называется дизюнкцією. ¢Она отражается знаком Ú«». Из приведенных выше соображений имеем следующее определение:
Дизъюнкцией высказываний Но и В называется такое высказывание, какое порочное тогда и только затем, когда порочные высказывания Но и В. Таблиця истинности дизъюнкции поданная выше.
Приведем пример. Если за А взять высказывание «Предполагаемый диагноз - ангина», а за Во взять высказывание «Предполагаемый диагноз -», то A Ú B является высказыванием «Предполагаемый диагноз ангина или катар верхних дыхательных путей».
Часто дизюнкцію ¢называют логической суммой и записывают A Ú B = А + В. Пояснюють это тем, что первые три соотношения таблицы является результатом добавления двух чисел 0 и 1.
Рассмотрены три операции фундаментальными (основными) операциями алгебры логики.
Операция импликации
Одной из важных операций логики высказываний есть импликация. Эта операция отражается «». ®Импликация определяется следующим образом:
Импликацией высказываний Но и В называется такое высказывание, которое является порочным лишь тогда, когда антецедент (первая часть импликации - высказывание А) является истинным, а консеквент (вторая часть импликации - высказывание В) – порочным, во всех других случаях высказывания AB ®является истинным. Таблица истинности импликации нижеприведена.
Операция эквивалентности
Введем последнюю логическую операцию - эквивалентность. Она отражается знаком «». «Сложное высказывание «АВ» «читается так: «А эквивалентно В». Означемо эту операцию:
Эквивалентностью (двойной импликацией) высказываний Но и В называется такое высказывание, которое является истинным тогда и только затем, когда высказывание Но и В одновременно истинных или порочных. Таблица истинности еквіваленції нижеприведена.
Таблица Ошибка! Текст указанного стиля в документе отсутствует..10. Таблица истинности импликации
|
A |
B |
A ® B |
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
Таблица Ошибка! Текст указанного стиля в документе отсутствует..11. Таблица истинности еквіваленції
|
A |
B |
A « B |
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
Диаграммы Венозная
Диаграммы Венозная является графическим представлением всех возможных обєктів¢, которые принадлежат к некоторому классу. (см. рис. 9.1). Прямоугольником в диаграмме Венозная помечают область некоторого класса обєктів, а конкретный класс помечают вкруг. Возьмем для примера, класс животных. Этот класс может визуализироваться всеми обєктами в пределах прямоугольника - пресмыкающиеся, млекопитающие, рыбы, и тому подобное. Если мы хотим в пределах класса представить, например, млекопитающих, то подаем всех млекопитающих в пределах круга, а других животных - внешне.
На рисунку 1 изображены диаграммы Вена, для логических операций возражения (случай (а)), дизюнкції (¢случай (b)), конюнкції (¢случай (с)).
Рис.
Ошибка!
Текст указанного стиля в документе
отсутствует..14.
Диаграммы Венозная
Случай (а) иллюстрирует операцию возражения: область высказывания А обозначено вкруг, тогда ØА, за определением, - область снаружи круга. Если высказывание А приобретает значение ИСТИНА, то А - ИЗЪЯН, и наоборот.
Заштрихована область случая (b) указывает область высказывания ABÙ, а случаю (с) иллюстрирует действие операции АВ. Ú
Свойства логических операций
Таблица Ошибка! Текст указанного стиля в документе отсутствует..12. Свойства логических операций
|
коммутативность |
AB=ВАÚÚ |
|
AB=ВАÙÙ | |
|
ассоциативность |
(AB)ÚÚС=А(ВС); |
|
(AB)ÙС=АÙ(ВС);Ù | |
|
дистрибутивность |
(AB)ÙС=(АС) Ú (ВС); |
|
(AB)ÚС=(АС) Ù (ВС);Ú | |
|
закон двойного возражения |
Ø(ØА)=А |
|
|
(ØАА)=0Ù |
|
|
(ØАА)=1Ú |
|
законы где Моргана |
Ø(AB)= (ÙØА Ú В); |
|
Ø(AB)= (ÚØА Ù ØВ); | |
|
|
A0=АÚ |
|
|
A1=1;Ú |
|
закон умножения на нуль |
A0=0;Ù |
|
закон умножения на единицу |
A1=АÙ |
Логические операторы и функции
Основные логические функции.
Из простых высказываний путем некоторого числа логических операций можно строить составленные высказывания, которые называют соответственно логическими функциями «І», «ИЛИ» и «НЕ». Эти три функции является фундаментом алгебры логики, на котором строится вся ее теория. Множественное число других логических функций можно выразить через основные «І», «ИЛИ» и «НЕ». Наведем соответствующие выражения:
А « В º ((АВ) ®Ù(ВА))
АВ ®º ØА Ú В.
Употребляя введенные логических операций, можно, подобно тому как это делается в алгебре с помощью символов +,×,- строить сколько угодно сложные выражения.
Например
(АВ) ÚÙС;
АÚ(ВС);Ù
(АА) ÚØÙ(ВА);®
((АВ) Ù®С) « ØА
(((А ® В) ÚØ В) «( А ÙС)) Ú(КС).
Рассмотрим высказывание: “При открытом переломе таза имеются повреждения внешних тканей тела (кожи), сильная боль в участке таза, невозможность самостоятельно встать или сесть”.
Сделаем следующие обозначения: пусть
А - наличие повреждения внешних тканей тела (кожи);
В – сильная боль в участке таза;
С – невозможность самостоятельно встать;
К - невозможность самостоятельно сесть
1 – открыт перелом таза;
Тогда сложная формула (АВÙÙ (СК)) = Ú1 является сокращенной записью рассмотренного высказывания.
Кроме знаков логических операций (Ú,Ù,Ø,®, «), латинских букв, которые помечают простые высказывания, в приведенных формулах присутствуют (, ) - правая и левая дужки. Так, как и в алгебре, они служат для указания последовательности, в которой следует выполнять операции.
Пусть, имеем высказывание
(((А ® В) ÚØ В) «( А Ù С)) Ú(К С).
Необходимо подсчитать его значение истинности для значений
Но и -В - Х С Х К И.
Подставляем вместо букв эти значения істиності. Получаем:
(((И ® Х) ÚØ Х) «( И ÙХ)) Ú(ІХ).
Операции выполняют в том порядке, как это указано с помощью дужек. Применение каждой операции происходит согласно таблицы истинности для этой операции. Таким образом, получаем
|
|
И ®Х = Х, ØХ = И | ||
|
а следовательно |
(ІХ) ®ÚØ Х = Х Ú И = И; | ||
|
дальше |
И Ù Х = Х; | ||
|
а потому
|
(((И ® Х) ÚØ Х) «( И Ù Х)) =І Х = Х; | ||
|
|
(И Ù Х) = Х; (((И ® Х) Ú Ø Х) «( И Ù Х)) Ú(ІХ)=ХÚХ=Х. | ||
|
|
|
|
|
Как видим, значение истинности всего выражения -значения істиності формулы формулы логики висловленнязалежить от значений истинности высказываний, которые входят в ее состав.
Способы представления логических функций
Логическую функцию (сложное высказывание) можно задать тремя способами: словесным, табличным и аналитическим.
І. При словесном способе представления функция отражается словами, причем описание должно однозначно определять все случаи, когда логические аргументы приобретают свои возможные значения: Х и И. Например, функция равняется И, если любые два аргумента равняются И, а в остальных случаях - Х.
ІІ. Табличным способом представления логической функции е таблица истинности. При этом способе, пользуясь словесным описанием, составляют таблицу, в которой учтены все возможны комбинации значений логических аргументов и значения функции для каждой комбинации.
ІІІ. Аналитический способ - это запись логической функции в виде уравнения, которое достают из таблицы истинности. Выведение логического уравнения вызывает особенный интерес, поскольку электронные схемы, применимые в вычислительной технике, строятся на основе предварительно составленных логических уравнений.