Контрольная работа_мат_анализ

Контрольная работа по математическому анализу

1 курс экономический факультет ЗФО

Указания к выполнению работы.

Контрольная работа выполняется в отдельной тетради 12 или 18 листов. Порядок выполнения заданий не важен. Каждый студент выполняет свой вариант, номер которого совпадает с его порядковым номером в списке группы.

В контрольной работе 30 вариантов. Если ваш вариант превышает это значение, например, ваш номер в списке 33, вы выполняете 33-30=3 вариант.

ВНИМАНИЕ: Задание 2 и задание 5 выполняются в полном объеме!!!

Т.е. в задании 5 вы находите все50 производных, а в задании5 все 25 интегралов! Остальные задания выполняются по вариантам. Обратите внимание, что одно задание может содержать несколько примеров(1, 2, 3 и

А, Б, В, Г).

Контрольная работа рассчитана на семестр. На проверку выполненная

работа

сдается

в

летнюю

сессию

не

позднее

даты поэкзаме

математическому анализу.

Задание 1. Вычислить пределы функций:

1.

9x

5

- 4x

4

+ 2

æ

x

4

2

ö

1

lim

16

lim

ç

- x

÷

3x

5

- 2x

-1

ç

2

+ 2

÷

x®¥

x®¥è x

ø

2

lim

7x3 - 4x 2 + 6

17

lim

2x2

- 3x +1

3x3 +10x 2 + 5x

x®¥

x®¥ 3x2 + x + 4

3

lim

x 4 - 3x 2 + 2

18

lim

5x3

- 2x +1

5x 4 - 3x - 2

x®¥

x®¥ 2x2 + x - 3

4

lim

x3 - 4x 2 + 6

19

lim

3 - x2 - 2x

2x3 +10x 2 + 5x

x®¥

x®¥ x2 + 4x +1

5

lim

x3 - 3x 2 + 2

20

lim

x3

- 2x +1

5x 4 + 8x - 6

4 + x + 5

x®¥

x®¥ 2x

6

lim

6x5 - 3x2 +1

21

lim

(5x - 4)(2x + 2)

3x5 - 2x + 3

x®¥

x®¥ 5x3 + 2x2 + 2

7

lim

x3 - 4x 2 + 6

22

lim

x2 - 3x + 4

3

x®¥ 2x

+ 5x

-1

3x

3

+10x

2

+ 4x

x®¥

8

lim

x3 - 4x - 2

23

lim

4x4

- 4x3 - 2

5x3 + 3x 2 -1

x®¥

x®¥ 5x3 + 3x2 -1

3

3

x5

- 4x2

+1

9

lim

(x +

1) + (x -

1)

24

lim

x3 +1

x®¥ 3x5 - 9x + 3

x®¥

10

lim

3x4 - 2

25

lim

6x

5

- 4x

2

+1

8

x®¥

x

+ 3x + 4

x®¥ 3x5 - x + 3

11

lim

(3x - 4)(x +1)

26

lim

6x4 - 3x5 +1

x®¥ x3 + x 2 + 2

x®¥ 4x5 - 2x + 3

12

lim (x + 2)2 - (x - 2)2

27

lim

3x4 - 2x +1

x®¥

x + 2

x®¥ 2x4 + x3 - 3

6x2

+ 3x

3

3

13

lim

28

lim

(x +

1) -

(x -

1)

2 - 3x + 5

x3 +1

x®¥ 2x

x®¥

14

lim

(x -

3)2 - (x + 3)2

29

lim

4x3

- 4x2 - 2

(x + 2)2

x®¥

x®¥ 3x3 + x2 + 4x

15

lim

7x2 - 3x

30

lim

x3

- 4x2

+ 6

2 + 6x -1

x®¥ 2x

x®¥ x3 - 4x4 + 4x

2.

А

Б

1

lim

2x 2

-11x + 5

lim

(x3 - 2x -1)(x +1)

2 - 7x +10

x 4 + 4x 2 - 5

x®2 x

x®-1

2

lim

2x 2 -13x - 7

lim

x3 - 3x - 2

x®2 x2 - 9x +14

x®-1

x 2 + x

3

lim

3x 2 - 40x +128

lim

(x 2 + 3x + 2)2

x - 8

x®2

x®-1 x3 + 2x 2 - x - 2

4

lim

2x 2 - x -1

lim

(2x 2 - x -1)2

3 + 2x 2 - x - 2

x®1 3x 2 + x - 4

x®1 x

5

lim

5x 2 - 51x +10

lim

(x 2 + 2x - 3)2

x -10

x®0

x®-3 x3 + 4x 2 + 3x

6

lim

2x 2 - 5x - 3

lim

(x 2 - 2x -1)2

x®2 x 2 - 5x + 6

x®-1 x 4 + 2x +1

7

lim

3x 2

-14x - 5

lim

(1 + x)3 - (1 + 3x)

x5 + x

x®5 x 2 - 6x + 5

x®0

8

lim

2x 2 - 7x + 3

lim

x2

- 2x +1

2 - x -1

x®51 5x 2 -16x + 3

x®1 2x

9

lim

3x 2 + 5x - 2

lim

x3

- 3x - 2

2 + 3x - 2

x®0,5 2x

x®-1 x 2 - x - 2

10

lim

x3 - 8

lim

x3

+ 5x 2 + 7x + 3

x®2 2x - 4

x®-1 x3 + 4x 2 + 5x + 2

11

lim

4x 2

- 8x + 3

lim

x3 - 3x + 2

3 - x 2 - x +1

x®3 2x 2 - 7x + 3

x®1 x

12

lim

5x 2

- 2x - 39

lim

x3

+ x 2 - 5x + 3

x®5 - x 2 - 2x +15

x®1 x3 - x 2 - x +1

13

lim

x 2

+ x -12

lim

x3

+ 4x 2 + 5x + 2

3

x®1

3x - 9

x®-1

x - 3x - 2

14

lim

x

3

+ 8

lim

x 4 -1

4 - x 2 -1

x®2 x 2 - 4

x®1 2x

15

lim

x3

-1

lim

x3

+ 5x 2 + 8x + 4

3

2

x®1 3x - 3

x®-2

x - 3x + 4

16

lim

2x 2 + x -1

lim

x3 - 5x 2

+ 8x - 4

x®7 x 2 - 6x - 7

x®2

x3 - 3x 2 + 4

17

lim

x2 + x -12

lim

x3 - 6x 2 +12x - 8

x®2 x 2 + 2x - 8

x®2

x3 - 3x 2 + 4

18

lim

x

2

- 3x + 2

lim

x3 + 5x 2 + 8x + 4

x - 2

x®2

x®-2 x3 + 7x 2 +16x +12

19

lim

x 2 - 5x + 6

lim

x3 - 3x - 2

(x 2 - x - 2)2

x®2 x 2 - x - 2

x®-1

20

lim

x 2 + 3x -10

lim

x3

- 3x - 2

x2 - 25

x - 2

x®2

x®2

21

lim

2x 2 - 3x +1

lim

x3

- 3x - 2

x 2 -1

x®-1

x®-1 x 2 + 2x +1

22

lim

x3

- 27

lim

x 2 - 2x +1

3 - x 2 - x +1

x®3 x 2 - 9

x®1 x

23

lim

2x 2 - 7x + 3

lim

x 4 -1

x - 3

4 - x 2 -1

x®0,5

x®1 2x

24

lim

x 2 + 3x + 2

lim

x 2 + 3x + 2

x®-1 2x2 +10x +12

x®-1 x3 + 2x 2 - x - 2

25

lim

x 2 + x - 56

lim

2x 2 - x -1

x 2 - 49

3 + 2x 2 - x - 2

x®7

x®1 x

26

lim

x3 -1

lim

x 2 + 2x - 3

2 - 2x +1

x®1 x

x®-3 x3 + 4x 2 + 3x

27

lim

x4 - 4x 2 + 3

lim

x3

- 2x -1

x -1

x®-1

x®-1 x 4 + 2x +1

28

lim

x 2 - 5x + 6

lim

x3

- 4x2 - 3x +18

2 - 2x - 3

x®-1 x

x®3 x3 - 5x 2 + 3x + 9

29

lim

2x 2 - x -1

lim

x 2 -1

2 + x - 4

2 - x -1

x®1 3x

x®1 2x

30

lim

x 2 + 4x - 21

lim

x3 + 7x 2 +15x + 9

x + 7

x®-7

x®-3 x3 + 8x 2 + 21x +18

3.

А

Б

1

lim

sin 2x

lim

ln(1 + sin x)

x®-p x(p + x)

x®0

sin 4x

sin (x - p

)

1 - cos10x

2

lim

6

lim

3

x2

x®

p

2

- cos x

x®0

e

-1

6

3

lim

1 - cos 3x

lim

3x 2 - 5x

4x 2

x®0

x®0

sin 3x

4

lim

sin x

lim

1 - cos 2x

x®p p 2 - x2

x®0 cos 7x - cos 3x

5

lim

3x

2

- 5x

lim

4x

sin 3x

x®0

x®0 tg(p (2 + x))

6

lim

cos x

lim

2x

x®

p

p - 2x

x®0 tg(2p

(1

2

+ x))

2

7

lim

1 - cos 5x

lim

1 - cos3 x

x®0 xtg 2x

x®0

4x 2

8

lim

1 - cos 2x

lim

arcsin 3x

2 + x -

2

x®0

x sin x

x®0

9

lim

tgx - sin x

lim

2 x

-1

x3

x®0

x®0 ln(1 + 2x)

10

lim

arctg5x

lim

arctg 2x

x®0 arcsin 4x

x®0 sin (2p (10 + x))

sin 2

x

lim

ln(1 - 7x)

11

2

lim

x®0 sin (p (7 + x))

x 2

x®0

x

æ

5p

ö

12

1 - sin

cosç

+ x ÷ ×tgx

2

lim

2

lim

è

ø

p - x

arcsin 2x

x®p

x®0

lim

1 - cos 7x

lim

1 -

3x +1

13

æp (1 + x)

ö

x®0

3x 2

x®0

cosç

2

÷

è

ø

14

lim

cos 4x - cos 6x

lim

2 sin (p (1 + x))

sin 2 5x

ln(1 + 2x)

x®0

x®0

15

lim

cos x - cos3 x

lim

cos 2x - cos x

1 - cos x

x sin 2x

x®0

x®0

16

lim

sin 5x - sin 3x

lim

sin (5(x + p ))

sin x

x®0

x®0

e3x -1

17

lim

1 - cos 4x

lim 1 -

cos x

x®0 2xtg 2x

x®0

x sin x

18

lim

arctg

2

4x

lim

e4 x -1

2))

x®0 1 - cos 3x

x®0 sin (p (1 + x

19

lim

x3 +1

lim

1 - cos x

(e3x

2

x®-1 sin(x +1)

x®0

-1)

20

lim

1 -

cos x

lim

arcsin 2x

x2

x®0

x®0 ln(e - x) -1

21

lim 1 - cos x

lim

ln(1 + x 2 )

x®0 1 - cos x

x®0 1 -

1 + x 2

22

lim

cos x - cos 3x

lim

9 ln(1 - 2x)

x2

x®0

x®0 4arctg3x

arctg(x + 2)

æ

æ

x öö

23

lim

tgççp

ç1 +

÷÷÷

x 2 - 4

lim

è

è

2 øø

x®-2

ln(1 + x)

x®0

24

lim

sin 7x

lim

2(e

px -

1)

x®0 x 2 + px

x®0 3(3 1 + x -1)

25

lim

arcsin(1 - 2x)

lim

1 + cos 3x

x®0,5 4x 2 -1

x®0

sin 2 7x

26

lim

1 - cos x

lim

cos 5x - cos 3x

tgx2

x®0

x®0

sin 2

x

27

lim

cos 7x -1

lim

e3x - e -2 x

sin 2 3x

x®0

x®0 2 arcsin x - sin x

28

lim

1 - cos x

lim

4x - 27 x

x sin x

x®0

x®0 tg3x - x

29

lim

2x ×sin x

lim

35x - 2 x

x - sin 9x

x®0 1 - cos x

x®0

30

lim

x sin 2x

lim

1 + x sin x - cos 2x

x®0 tg 2 3x

x®0

sin 2 x

Задание 2. Найти производную функций:

1.y = x (x3 - x +1)

2.y = x +1

x-1

x

3. y = x 2 +1

4. y =

3x 2 +1

x -1

2

5. y = x3 -1

6. y = 1 - x3

1 + x3

7. y = x 2 + x -1 x3 +1

1

8. y = x 2 - 3x + 6 9. y = x arcsin x

10. y = (arcsin x)2

1

11. y =

arcsin x

12. y = arccos x x

13.y = xarctgx

14.y = arcsin(x -1)

15.y = arctgx 2

16.y = arcsin 2

x

17. y = arccos 2x -1

3

18.y = lg x

19.y = ln x

20.y = ln 2 x

21.y = ln(1 - 2x)

22.y = log3 (x 2 -1)

23.y = 1

ln x

24. y = x e x

25. y = e x cos x

26. y = e x sin x

27.y = x

4x

28.y = 1 + e x

29.y = 1 + e x

1- e x

30.y = ln x

1+ x 2

31.y = arctg 2 1

x

32. y = arcsin

1 - x

1 + x

33.y = arcsin(sin x)

34.y = 1 - (arccos x)2

35. y = 1	arcsin x 2 + 2x
2

36.y = arctg(x - 1 + x 2 )

37.y = ln(sin x)

38.y = ln 4 (tgx)

39.y = ln(arctg 1 + x 2 )

40.y = log 2 (log3 (log5 x))

41.y = e ln x

42.y = sin (e x2 +3 x-2 )

43.y =

44.y =

45.y =

46.y =

47.y =

ln sin 3 arctge3x

1

ln arctg

x +1

1

1 + sin 2 x ln(sin x) ln(cos x) xarctgx 3

48.y = ln(sin 1 - x 2 )

49.y = sin 2 æ1 - ln x ö

ç÷

è x ø

	æ	æ		e	x	- e	-x öö
50. y = ln	ç	ç	arctg					÷÷
	ç	ç				2	÷÷
	è	è					øø

Задание 3. Исследовать и построить графики функций:

№

А

Б

1

y =

1 - x

y = -x3 - 2x

1 + x 2

2

y =

x +1

y = -x 2 - x 4

x(x + 2)

3

y =

1 - x

y = 2x3 - x 4

(x - 2)(x - 3)

4

y =

x

y = x(x -1)(x - 2)

(x -1)2

5

y =

(x -1)2

y = (x -1)

3

(x +1)

2

(x - 2)

1 + x 2

6

y =

x 2

-1

y = x - x

3

1 + x 2

7

y =

x(x -1)

y = x 4 - 4x 2

(x + 2)(x +1)

8

y =

2x(x +1)

y = -x3 - x 4

(x + 2)(x -1)

9

y =

3x(2 - x)

y = x(1 - x)(x + 2)

x 2

-1

10

y =

4 - x 2

y = x 2 - x3

(x +1)2

11

y =

1 + x 2

y = -x3 - 2x

x(x +1)

12

y =

x(x +1)

y = -x 2 - x 4

x - 2

13

y =

(x - 4)(x -1)

y = 2x3 - x 4

x - 2

14

y =

1 + x 2

y = x(x -1)(x - 2)

1 + x

15

y =

x

y = (x -1)3 (x +1)2 (x - 2)

(x +1)(2 - x)

16

y =

x - 2

y = x - x3

x(x +1)

17

y =

4 - x 2

y = x

4

- 4x

2

1 + x 2

18

y =

(x +1)(x + 2)

y = -x3 - x 4

x(1 - x)

19

y =

4(1 - x 2 )

y = x(1 - x)(x + 2)

x 2

- 4

20

y =

(x + 2)(x -1)

y = x 2 - x3

x(x - 2)

21

y =

(x -1)(x + 2)

y = -x3 - 2x

x 2

22

y =

x 2 + 2

y = -x 2 - x 4

- x)(x - 2)

(1

23

y =

x 2

y = 2x3 - x 4

x +1

24

y =

(2 - x)(x +1)

y = x(x -1)(x - 2)

x

25

y = -

(x +1)2

y = (x -1)

3

(x +1)

2

(x - 2)

1 + x 2

26

y =

1 - x

y = x - x3

x 2

27

y = -

x 2 + 2

y = x

4

- 4x

2

x

28

y =

(2 - x)(x +1)

y = -x3 - x 4

x(x - 3)

29

4 - x 2

y = x(1 - x)(x + 2)

y = x 2 - 9

30

y =

x3

y = x 2 - x3

1 - x 2

Задание 4. Найти частные производные первого порядка функций двух переменных:

№

А

Б

В

Г

1

z = ln xy

z = x 2 y 2

z = x cos y

z = arctg xy

2

z =

xy

z = x4 y2

z = x sin y

z = tg xy

3

z = cos xy

y 2

z = x tg y

z = arcsin xy

z = x 2

4

z =

xy

z =

x

z = x ctg y

z = arccos xy

y3

ln x

5

z =

xy

z = x 2 y - 3xy 2

z = x ln

1

z = ctg xy

у

6

z =

xy

z = x2 y2 - 3xy

z = xey

z = x2 - y2

x + y

7

z =

xy

z = x 2 y - 3xy 2 + xy

z = xe xy

z = x 2 + y 2

x - y

8

z =

x + y

z = x3 y 2 - 3xy - y 2

z = 6 xy

z = x 2 - 2 y 2

x + y

9

z = x - y

z = x 2 y 2 - x 2 y + xy 2

z = 10xy

z = 2x 2 + y 2

x + y

10

z =

x - y

z =

1

x

2

y

2

- 2xy + 2 y

z = x y

x 2 - y 2

z =

xy

2

xy

11

z =

x - y

z =

1

x 2 y 2

- 2xy + 2 y

z = x y

z = arctg xy

xy

2

12

z = x - y

z = x 2 y 2 - x 2 y + xy 2

z = 10 xy

z = tg xy

x + y

13

z =

x + y

z = x3 y 2 - 3xy - y 2

z = 6 xy

z = arcsin xy

x + y

14

z =

xy

z = x 2 y - 3xy 2 + xy

z = xe xy

z = arccos xy

x - y

15

z =

xy

z = x 2 y 2

- 3xy

z

=

xe

y

z = ctg xy

x + y

16

z = ln xy

z = x 2 y 2

z = x cos y

z = arctg xy

17

z =

xy

z = x4 y2

z = x sin y

z = tg xy

18

z = cos xy

y 2

z = x tg y

z = arcsin xy

z = x 2

19

z =

xy

z =

x

z = x ctg y

z = arccos xy

y3

ln x

20

z =

xy

z = x 2 y - 3xy 2

z = x ln

1

z = ctg xy

у

21

z =

xy

z = x2 y2 - 3xy

z = xey

z = x2 - y2

x + y

22

z =

xy

z = x 2 y - 3xy 2 + xy

z

=

xe

xy

z = x 2 + y 2

x - y

23

z =

x + y

z = x3 y 2 - 3xy - y 2

z = 6 xy

z = x 2 - 2 y 2

x + y

24

z = x - y

z = x 2 y 2 - x 2 y + xy 2

z = 10xy

z = 2x 2 + y 2

x + y

25

z =

x - y

z =

1

x

2

y

2

- 2xy + 2 y

z = x y

x 2 - y 2

z =

xy

2

xy

26

z =

x - y

z =

1

x 2 y 2

- 2xy + 2 y

z = x y

z = arctg xy

xy

2

27

z = x - y

z = x 2 y 2 - x 2 y + xy 2

z = 10 xy

z = tg xy

x + y

28

z =

x + y

z = x3 y 2 - 3xy - y 2

z = 6 xy

z = arcsin xy

x + y

29

z =

xy

z = x 2 y - 3xy 2 + xy

z = xe xy

z = arccos xy

x - y

30

z =

xy

z = x 2 y 2

- 3xy

z

=

xe

y

z = ctg xy

x + y

Задание 5. Найти экстремумы функции:

1	z = x3 + y 3 - 3xy			16	z = x3 + y 3 - 3xy
2	z = x3 + y 3 + 3xy			17	z = x3 + y 3 + 3xy
3	z = x 2 + y 2 - 2xy			18	z = x 2 + y 2 - 2xy
4	z = x 2 + y 2 + 2xy			19	z = x 2 + y 2 + 2xy
5	z = x3 - 2 y 2 + xy			20	z = x3 - 2 y 2 + xy
6	z = x 2 + xy + y 2 - x - 2 y			21	z = x 2 + xy + y 2 - x - 2 y
7	z = x 2 - xy + y 2 - x - 2 y			22	z = x 2 - xy + y 2 - x - 2 y
8	z = x 2 + xy - y 2 - x - 2 y			23	z = x 2 + xy - y 2 - x - 2 y
9	z = x 2 + xy + y 2 + x - 2 y			24	z = x 2 + xy + y 2 + x - 2 y
10	z = x 2 + xy + y 2 - x + 2 y			25	z = x 2 + xy + y 2 - x + 2 y
11	z = x 2 + xy + y 2 - x - 2 y			26	z = x 2 + xy + y 2 - x - 2 y
12	z = x 2	- xy + y 2	- x - 2 y	27	z = x 2	- xy + y 2	- x - 2 y
13	z = x 2	+ xy - y 2	- x - 2 y	28	z = x 2	+ xy - y 2	- x - 2 y
14	z = x 2	+ xy + y 2	+ x - 2 y	29	z = x 2	+ xy + y 2	+ x - 2 y
15	z = x 2	+ xy + y 2	- x + 2 y	30	z = x 2	+ xy + y 2	- x + 2 y

Задание 5. Найти интегралы:

1.

ò(x 2 + 3x3 + x +1)dx

2.

ò x 4 + 5 x + 3 x + 12

+ 1 )dx

x

x

3.

ò

æ

2

3

ö

ç

-

÷

ç

+ x

2

1 - x

2

÷dx

è1

ø

òe

x

æ

e- x

ö

4.

ç

2

-

÷

3

ç

x

÷dx

è

ø

5.

ò

5x8 +1

dx

x

4

6.

ò

x 2

dx

x

2

+1

3 x

7.

ò

1 - sin

dx

sin

2

x

x

8.

òsin 2

dx

2

9.ò x 2 + 2 dx

x2 -1

10.òctg 2 xdx

11.	ò		cos 2x						dx
			cos	2	x sin	2
							x			2
12.	ò	æ		x			x ö
		çsin			+ cos			÷		dx
				2
		è					2 ø

æ

1

1

ö

13.

ç

- 4

÷

òç

x

x

3

÷dx

è

ø

æ

1

1

1 ö

14.

òç

+

+

÷dx

x

2

x

3

è x

ø

15.

òcos2

x

dx

2

16. òcos5xdx

17. òsin(3x + 5)dx

18. òsin 7xdx

19. òe2 x dx

20. ò dx cos2 3x

21.ò(2 + 5x)9 dx

22.ò 2x - 5dx

23.ò3 3 - 7xdx

24.ò 5xdx+ 2

25.òe- x2 xdx