Фдз 16. Базис и размерность линейного пространства.

Определение базиса как максимальной линейно независимой системы векторов. Определение размерности линейного пространства.

Разложение вектора по базису. Координаты вектора в заданном базисе.

Определение полноты системы векторов в линейном пространстве. Второе определение базиса (как полной линейно независимой системы векторов).

1. Дать определение максимальной линейно независимой системы векторов. Как определяется размерность линейного пространства?

2. Доказать, что система векторов из линейного пространства является базисом этого пространства.

3. Найти базис подпространства пространства всех квадратных матриц 3-го порядка. Найти .

4. Найти базис линейной оболочки из линейного пространства многочленов не выше 3-й степени. Указать

5. Сформулировать теорему о разложении вектора по базису линейного пространства. Как определяются координаты вектора в заданном базисе?

6. Разложить вектор по базису . Записать координаты вектора в базисе .

7. Разложить вектор по базису . Найти координаты вектора в базисе .

8. Найти координаты функции в базисе линейного пространства .

9. Дать определение полной системы векторов и второе определение базиса.

10. Является ли система функций полной в пространстве ? Если нет, приведите пример полной системы функций в пространстве .

11. Является ли система векторов полной в пространстве ?

_______________________________________________________________________

Домашнее задание.

1. Доказать, что - линейное подпространство пространства . Найти базис и .

2. Доказать, что - линейное подпространство пространства . Найти базис и .

3. Найти базис и размерность линейной оболочки

многочленов в пространстве .