Занятие 3 (Фдз 4).
Отображения множеств. Линейные операторы и их матрицы.
3.1. Отображения множеств. Образ и прообраз. Однозначное и взаимно однозначное отображения, примеры. Обратное отображение. Композиция отображений.
3.2. Линейный оператор, его свойства, примеры линейных операторов.
3.3. Матричная запись действия линейного оператора в заданном базисе. Матрица линейного оператора и ее преобразование при переходе к новому базису.
3.1. Пусть даны два множества и , и задан некоторый закон , по которому каждому элементу из множества ставится в соответствие один или несколько элементов множества . Тогда говорят, что задано отображение (преобразование) множества на множество .
Если отображение ставит в соответствие каждому элементу множества ровно один элемент из множества , то отображение называется однозначным отображением. Пусть элементу отображение ставит в соответствие элемент , тогда принято писать , и элемент называют образом элемента , а элемент - прообразом элемента заданного отображения . Множество всех образов отображения обозначается и называется образом множества .
Если является однозначным отображением множества на множество , и каждый образ имеет только один прообраз , то такое отображение называется взаимно однозначным.
Если даны два однозначных отображения и , то определено однозначное отображение . Отображение называется композицией отображений и .
Если - взаимно однозначное отображение , то существует обратное отображение , действующее по правилу:
.
Композиция отображений является тождественным отображением: .
Пример 1. Пусть - множество, состоящее из трех элементов и - множество, состоящее из пяти элементов .
1) Пусть задано отображение , такое, что .
Закон :
переводит элемент в множество , где состоит из двух элементов ;
переводит элемент в множество ;
переводит элемент в элемент .
Следовательно,
образом элемента является множество ,
образом элемента является множество ,
образом элемента является элемент ,
образом всего множества является множество .
Прообраз элемента состоит из одного элемента ,
прообраз элемента также состоит из одного элемента ,
прообразом элемента служит пустое множество ,
прообраз элемента представляет множество ,
прообраз элемента представляет множество .
Отображение не является однозначным отображением (т.к. образом элемента является не один, а два элемента множества ).
2) Пусть задано отображение , действующее так: .
Здесь :
переводит элемент в элемент (образом элемента является один элемент ); переводит элемент в элемент (образом элемента является один элемент ); переводит элемент в элемент (образом элемента является один элемент );
.
Прообразы элементов - пустые множества.
Прообраз элемента представляет множество из двух элементов .
Прообраз элемента состоит из одного элемента .
Преобразование является однозначным отображением, но не является взаимно однозначным (по двум причинам: прообразы элементов пусты; и прообраз элемента состоит из двух элементов ).
Пример 2. Отображение , где
- множество всех векторов в трехмерном пространстве, - множество всех векторов на плоскости,
. (1)
Найти образ вектора и прообраз вектора .
Решение. Чтобы найти образ подставим координаты вектора в формулы (1):
.
Чтобы найти прообраз вектора , подставим координаты этого вектора в уравнения (1) и решим полученную систему относительно координат .
, .
(Вторая система из первой получена так: к 1-му уравнению прибавили 2-е уравнение и затем переставили местами 2-е и полученное 1-е уравнения).
Таким образом, прообразом вектора служит множество векторов , зависящее от одного параметра .
Приведем примеры взаимно однозначных отображений и обратных им отображений .
1) Пусть ,, . - взаимно однозначное отображение. Обратное отображение действует так:
.
2) Пусть , . Отображение , определенное по правилу , является взаимно однозначным отображением. Обратным отображением будет закон: .
3) Пусть - множество всех квадратных матриц второго порядка.
Отображение , заданное по правилу , где , однозначно определяет по заданной матрице ее образ (матрицу ).
Т.к. определитель матрицы отличен от нуля, то по заданному образу (матрице ) находится ее единственный прообраз – матрица . Следовательно, - взаимно однозначно отображает множество на множество. Обратное отображение действует так: .
Пример 3., , . Даны два однозначных отображения
и .
Найти отображение - композицию отображений и .
Решение.
Согласно определению композиции отображений имеем:
; ; ;
. Следовательно, - множество из трех элементов .