35

Лекция 5

Раздел 4. Определители.

4.1 Перестановки конечного множества элементов.

Рассмотрим конечное множество состоящее из пэлементов.

Определение 1. Всякое расположение чисел множестваSв некотором определенном порядке называетсяперестановкойизпчисел и обозначается.Черезобозначим число всех перестановок множестваS.

Пример.Для множествавыпишем множество всех перестановок:

.

Число всех перестановок этого множества .

Теорема.Число перестановок множестваравно, т.е..

Доказательство.Общий вид перестановки множестваSв виде:

, (*)

где каждое есть одно из чисел, причем, ни одно из этих чисел не встречается дважды в выражении (*).

В качестве первого элемента можно взять любое из чисел. Это дастпразличных перестановок. На место элементаможно взять лишь одно из оставшихсячисел. Следовательно, число различных способов выбратьиравно произведению. Продолжая дальше, на местоможно выбрать одно из оставшихсячисел и т.д. Обобщая, придем к выводу, что число перестановок множествабудет равно.

Пример.Покажем, что число перестановок множестваравно.

1 2 3 4

2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3

3 4 2 4 2 3 3 4 4 1 1 3 2 4 1 4 1 2 2 3 1 3 1 2

4 3 4 2 3 2 4 3 1 4 3 1 4 2 4 1 2 1 3 2 3 1 2 1

Определение 2.Если в перестановке поменять местами какие-либо два символа, а все остальные оставить на месте, то получим новую перестановку. Эта операция называетсятранспозицией.

Утверждение.От любой перестановки множестваSможно перейти к любой другой перестановке этого множества при помощи нескольких транспозиций.

Пример.Пусть. Покажем, как при помощи нескольких транспозиций из перестановкиможно получить перестановку:

Определение 3.Говорят, что в перестановкепара чиселиобразуютинверсию,если при, т.е. число с большим значением стоит раньше.

Пример.Сколько инверсий в перестановке? Перестановка имеет инверсии: (32), (31), (85), (82), (84),(86), (87), (81), (52), (54), (51), (21), (41), (61), (71). Всего 15 инверсий.

Если число инверсий в перестановке обозначим, то для предыдущего примера можно записать.

Определение 4.Перестановка называетсячетной, если ее символы составляют четное число инверсий, инечетной – в противном случае.

Утверждение. Всякая транспозиция меняет четность перестановки.

Пример.Рассмотрим перестановку из 5 элементов. У этой перестановки три инверсии (32), (52), (54), т.е., поэтому перестановка нечетная.

Поменяем местами второй и пятый элементы , получим новую перестановку. У этой перестановки четыре инверсии (42), (43), (52), (53), т.е., поэтому перестановка четная.

4.2 Понятие определителя.

Определителем (детерминантом) п-го порядка, соответствующим квадратной матрице

.

называется алгебраическая сумма членов вида. Эти члены представляют собой всевозможные произведенияпэлементов матрицыА, взятых из попарно различных строк и попарно различных столбцов. Сомножители в произведении записываются в порядке следования строк, поэтому номера столбцов образуют некоторую перестановкумножества. Произведения берутся со знаком, где- число инверсий в перестановке. Определители обозначают одним из следующих символов:

,,,.

Кратко:

,

где суммирование проводится по всевозможным перестановкам множества;- число инверсий в перестановке.

Поскольку число перестановок из псимволов, то определительп-го порядка состоит изслагаемых, причем половина из них, т.е., входит в определитель со знаком «плюс», а половина – со знаком «минус».

Запишем формулы для вычисления определителей 2-го и 3-го порядков.

Для матрицы всевозможных произведений будет:

1) берется со знаком «+», так как число инверсийи;

2) берется со знаком «-», так как число инверсийи.

Для определителя 2-го порядка непосредственно по определению получаем формулу

,

которую легко запомнить по следующей схеме:

Пример..

Для матрицывсевозможных произведений будет:

1) берется со знаком «+», так как число инверсийи;

2) берется со знаком «+», так как число инверсийи;

3) берется со знаком «+», так как число инверсийи;

4) берется со знаком «-», так как число инверсийи;

5) берется со знаком «-», так как число инверсийи;

6) берется со знаком «-», так как число инверсийи.

Для определителя третьего порядка также непосредственно из определения получаем:

Чтобы запомнить эту формулу удобно воспользоваться схемой:

Пример.