Tr_ma1s_pdf
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯМОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
РАДИОТЕХНИКИ, ЭЛЕКТРОНИКИ И АВТОМАТИКИ
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
I СЕМЕСТР
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
ÄЛЯ СТУДЕНТОВ ФАКУЛЬТЕТА
КИБЕРНЕТИКИ
МОСКВА 2013
Составители: Н.В.Белецкая, И.П.Драгилева, О.Ю.Лаврова, И.И.Павловская, А.Б.Плаченов, Ю.И.Простов
Редактор Ю.И.Худак
Контрольные задания содержат типовой расчет по разделам математического анализа (теория пределов и дифференциальное ис- числение), вошедшим в программу I семестра дневного отделения факультета Кибернетики. Типовой расчет выполняется студентами в письменном виде и сдается преподавателю до начала зачетной сессии. Для облегчения самостоятельной работы студентов контрольным заданиям предшествует разбор типовых примеров. Приведенные в пособии вопросы к зачету или экзамену могут быть уточнены и дополнены лектором. При составлении контрольных заданий за основу были взяты типовые расчеты, разработанные коллективом кафедры высшей математики.
Печатаются по решению редакционно-издательского совета университета.
Рецензенты: А.О.Смирнов А.Л.Шелепин
c МИРЭА, 2013
Контрольные задания напечатаны в авторской редакции
Подписано в печать 00.07.2013. Формат 60×84 1/16.
Усл.печ.л. 2,09. Усл.кр.-отт. 8,37. Уч.-изд.л. 2,25. Тираж 130 экз. C
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образованияМосковский государственный технический университет радиотехники, электроники и автоматики
119454, Москва, пр. Вернадского, 78
3
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
I семестр ТИПОВОЙ РАСЧЕТ
РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ
Задача 1
Решение задачи основано на непосредственном использовании определения предела последовательности:
lim un = A ε > 0 N(ε) : n > N(ε) |un − A| < ε.
n→∞
Пример 1
С помощью определения предела последовательности показать, что последовательность un = (2n − 1)/(n + 1) ïðè n → ∞ имеет своим
пределом число 2. Найти целое значение N, начиная с которого
|un − A| < 10−2.
Решение
Рассмотрим неравенство
| |
n − |
2 |
| |
= |
|
|
n + 1 − |
|
n + 1 |
|
< ε, |
n |
− |
натуральное, |
|
||||||
u |
|
|
|
2n − 1 |
2 = |
|
−3 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
откуда n > ε/3 |
|
|
|
1. |
Следовательно, |
|
|
ε > 0 |
|
N(ε) = [3/ε |
|
1]: |
n > |
||||||||
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
N |un − 2| < ε, где квадратные скобки обозначают целую часть
числа. Т.о., число 2 является пределом последовательности. Пусть
теперь ε = 10−2. Тогда N(1/100) = [3/0, 01 − 1] = [300 − 1] = 299.
Задача 2
При решении задач 2а и 2б рекомендуется пользоваться I и II замечательными пределами:
|
|
|
|
lim sin x = 1, |
lim (1 + x)x |
= e. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 x |
x→0 |
|
|
|
|
|
|
||||||
Пример 2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Найти предел A = lim (cos 2x) |
x2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Решение |
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|||
lim (cos 2x) |
|
= lim (1 + (cos 2x |
− |
1)) |
|
= lim (1 |
− |
2 sin2 x) |
|
= |
|||||||
x2 |
x2 |
x2 |
|||||||||||||||
x |
→ |
0 |
|
→ |
|
|
→ |
0 |
|
|
|
||||||
|
|
x 0 |
|
|
x |
|
|
|
4
|
|
|
− |
1 |
|
− |
2 sin2 x |
x→0 h(1 − 2 sin |
|
− |
1 |
i |
−2 sin2 x |
|
|
|
|
= x→0 |
− |
|
|
|
|
|
|
x2 |
= |
|
− |
|
|||||
2 sin2 x)2 sin2 x |
· |
|
x2 |
2 x)2 sin2 x |
|
e |
2. |
||||||||||
lim (1 |
|
|
= lim |
|
|
|
|
т.к. выражение в квадратной скобке стремится к числу e по I заме- чательному пределу, а выражение в показателе к числу −2 по II замечательному пределу.
Задачи 3, 4
Эти задачи являются стандартными задачами дифференцирования. Для вычисления y0(x) необходимо знать:
•производные основных элементарных функций;
•правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного;
•правило дифференцирования сложной функции (правило "цепочки").
Правило "цепочки"
Пусть сложная функция y(x) задана цепочкой равенств:
y = f(u), u = g(t), t = p(x) èëè y(x) = f(u(t(x)))
(цепочка может быть произвольной длины). В этом случае
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y0(x) = |
df |
|
du |
|
|
|
dt |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· |
|
|
|
· |
|
|
. |
|
|
|
(1) |
||||||
|
|
|
|
du |
|
dt |
dx |
|
|||||||||||||||||||
Пример 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти производную y0(x) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
y = sin ln p |
|
|
|
|
− x . |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
1 + x2 |
|
|
|||||||||||||||||||||
Решение |
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− x, u = ln t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Полагаем t = |
1 + x2 |
y = sin u. Согласно формуле (1) |
|||||||||||||||||||||||||
имеем |
|
|
|
|
· dt |
· dx = cos u · t |
· √1 + x2 |
− 1 |
= |
||||||||||||||||||
y0(x) = du |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
dy |
|
|
|
du |
|
dt |
1 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
· cos ln |
|
p1 + x2 − x . |
|
||||||||||||||||||
|
= − |
√ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
1 + x2 |
|
|
5
Можно не вводить промежуточные функции и сразу написать:
y0 = cos ln p |
|
− x · ln p |
|
− x 0 |
|
1 + x2 |
1 + x2 |
= |
продифференцировали синус, умножили на производную аргумента:
= cos |
ln |
p1 + x2 − x · √1 + x2 |
− x · p1 + x2 − x 0 |
= |
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
продифференцировали логарифм и умножили на производную аргумента. Нашли производную аргумента логарифма:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
· |
|
|
x |
|
− 1 = |
|||||||||
|
|
|
cos ln p1 + x2 − x · |
√ |
|
|
− x |
√ |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 + x2 |
1 + x2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· cos ln p1 + x2 − x . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
= − |
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 + x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
Пример 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Найти производную y0(x) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y(x) = arcsin √ |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Решение |
|
|
|
|
|
1 − ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
· |
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
y0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
x |
)0 = − |
ex |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
1 − e |
|
= |
√ |
|
· |
2√ |
|
·(1 |
− e |
2√ |
|
. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 − (1 − ex) |
|
|
|
ex |
1 − ex |
1 − ex |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
Задача 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Данная задача связана с вычислением логарифмической производной. Пусть задана функция y = f(x). Имеем:
ln y = ln f(x), |
1 |
· y0(x) = (ln(f(x)))0, |
y(x) |
следовательно:
y0(x) = y(x) · (ln(f(x)))0. |
(2) |
Формула логарифмической производной упрощает нахождение производной, если функция ln(f(x)) дифференцируется легче, чем ис-
ходная функция f(x) (f(x) содержит произведения, частное, степени и удобна для логарифмирования).
6
Пусть, например, функция задана в виде:
y = f(x) ≡ (f1(x))a(x) (f2(x))b(x) . (f3(x))c(x)
В этом случае
ln (f(x)) = a(x) ln (f1(x)) + b(x) ln (f2(x)) − c(x) ln (f3(x))
и, согласно формуле (2),
y0 = y(x) [a(x) ln (f1(x)) + b(x) ln (f2(x)) − c(x) ln (f3(x))]0 .
Дифференцировать каждое слагаемое внутри скобок проще, чем дифференцировать исходную функцию.
Пример 5
Найти производную функции
(1 + x2)2x · sin2 x y = √ .
1 + ln x
Решение
Имеем ln y = 2x ln 1 + x2 + ln sin2 x − 12 ln (1 + ln x) ;
y0 |
4x2 |
cos x |
|
1 |
|
1 |
|
|||
|
= 2 ln 1 + x2 + |
|
+ 2 · |
|
− |
|
|
· |
|
. |
y |
1 + x2 |
sin x |
2 (1 + ln x) |
x |
Отсюда находится производная y0.
Задача 6
В этой задаче требуется найти производную функции, заданной параметрически. Пусть функция y(x) задана параметрически:
x = x(t); y = y(t).
Для ее производной справедлива следующая формула:
yx0 = |
y0 |
|
|
t |
. |
(3) |
|
|
|||
|
xt0 |
|
Пример 6
Найти производную функции y(x), заданной параметрически:
x = sin4 t; y = cos4 t.
7
Решение
Имеем:
x0t = 4 sin3 t · cos t; yt0 = −4 cos3 t · sin t.
По формуле (3) находим:
yx0 = − 4 cos3 t · sin t = − ctg2 t. 4 sin3 t · cos t
Задача 7
Найти производную функции, заданной неявно. Пусть уравнение
F (x, y) = 0
определяет неявным образом некоторую дифференцируемую функцию y(x). Для ее производной справедлива формула:
|
|
|
|
F 0 |
(x, y) |
|
|
|
|
y0(x) = |
− |
x |
|
. |
(4) |
|
|
Fy0 |
|
||||
|
|
|
(x, y) |
|
|||
Здесь Fx0 |
è Fy0 |
производные функции F (x, y) по переменной x è y |
соответственно (при дифференцировании по x переменная y считается постоянной и наоборот).
Пример 7
Найти производную y0(x) неявной функции y(x) определенной уравнением:
Решение |
|
x2y − sin x − y3 − 5 = 0. |
|
|
|
|
||||||||||
Имеем: |
|
|
F (x, y) = x2y − sin |
x − y3 |
− 5; |
|
|
|
||||||||
|
x0 |
|
|
· −3 |
|
|||||||||||
|
= 2xy − cos |
x − y |
|
|
; Fy0 = |
|
− cos |
|
|
− |
y3 |
|
||||
F |
|
|
|
|
|
3 |
|
x2 |
|
x |
|
y2 |
|
|||
и по формуле (5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
находим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
y0 = |
− |
|
2xy − cos(x − y3) . |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
x2 + 3y2 cos(x − y3) |
|
|
|
|
|
Производную y0 можно найти, не прибегая к формуле (4).
Пример 8
Найти производную y0 функции, заданной неявно уравнением:
x2y3 − xy + sin y = 0.
8
Решение
Функция y(x) определяется исходным уравнением, поэтому, если подставить ее вместо y в левую часть равенства, получим тождество
x2y3(x) − xy(x) + sin y(x) ≡ 0. |
(5) |
Продифференцируем левую часть равенства (5) по правилу дифференцирования сложной функции:
2xy3(x) + 3x2y2(x) · y0(x) − y(x) − xy0(x) + cos y(x) · y0(x) ≡ 0.
Отсюда легко находим y0:
y0 = |
y − 2xy3 |
. |
|
3x2y2 − x + cos y |
Дифференцируя равенство еще раз, можно найти y00 è ò.ä.
Задачи 8, 9
Вычислить предел по правилу Лопиталя. Правило Лопиталя ис-
пользуется при вычислении пределов, содержащих неопределенно-
сти типов 00 , ∞∞, а также неопределенностей, сводящиеся к указанным типам.
Пример 9 |
|
|
|
|
|
arcsin x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Найти предел |
A = lim |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Решение |
|
|
|
x→0 ln2(1 + x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
00 . Используем правило Лопиталя: |
||||||||||||||||||
Неопределенность типа |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
arcsin x2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2x |
(1 + x) |
|||||||
A |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
ln2(1 + x) |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
= x→0 |
|
|
|
= x→0 |
√1 − x4 · 2 ln(1 + x) |
||||||||||||||||
|
|
|
2(1 + x) |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
= lim |
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
= 2 lim |
|
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x→0 |
√1 − x4 |
· x→0 ln(1 + x) |
x→0 ln(1 + x) |
||||||||||||||||||
Снова имеем неопределенность типа |
00 . |
Повторно применяем пра- |
||||||||||||||||||||
вило Лопиталя: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = 2 lim
(x)0
x→0 (ln(1 + x))0
Пример 10
Найти предел A = lim ln x.
x→+0 x−2
= 2 lim (1 + x) = 2.
x→0
9
Решение
Неопределенность типа ∞ ∞. Применяем правило Лопиталя:
A = lim (ln x)0 = lim − x2 = 0.
x→+0 (x−2)0 x→+0 2
Пример 11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||||
Найти предел A |
lim |
1 |
. |
|||
|
|
|
|
|||
x |
|
|||||
|
= x 0 |
− sin x |
||||
Решение |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Неопределенность типа ∞ − ∞. Преобразуем к неопределенности
òèïà 0 0 и применим дважды правило Лопиталя:
A = lim |
sin x − x |
= lim |
cos x − 1 |
= lim |
− sin x |
= 0. |
x→0 x sin x |
x→0 sin x + x cos x |
x→0 |
2 cos x − x sin x |
|
Пример 12
Найти предел A = xlim x · ln |
1 + x |
|
|
. |
|
x |
||
→∞ |
|
|
Решение
Неопределенность типа 0·∞. Преобразуем к неопределенности типа
0
0 и применим правило Лопиталя:
A = lim |
ln |
|
1 + x−1 |
|
lim |
|
1 + x−1 |
−1 · |
−x−2 |
|
|
|
|
|
x−1 |
|
|
( |
|
x−2) |
|
= |
|||
x→∞ |
|
= x→∞ |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
1
= lim = 1.
x→∞ 1 + x−1
Пример 13
Найти предел A = lim (cos x)1/x .
x→0
Решение
Неопределенность типа 1∞. Преобразуем к неопределенности типа
0
0 и применим правило Лопиталя:
A = lim eln(cos x)/x = eB; |
B = lim |
ln(cos x) |
; |
|
x |
||||
x→0 |
x→0 |
|
B = lim − tg x = 0 A = e0 = 1.
x→0 1
Задача 10
Разложить функцию по формуле Тейлора. Если x0 6= 0, полезно
10
сделать замену x − x0 = t и далее воспользоваться разложениями основных элементарных функций.
Пример 14
5x − 8
Разложить по формуле Тейлора функцию y = 3x + 12 в окрестности точки x0 = 2 äî o((x − 2)4).
Решение
Делаем замену x − 2 = t; x = 2 + t :
y = |
10 + 5t − 8 |
= |
2 + 5t |
· |
|
1 |
. |
||
6 + 3t + 12 |
|
18 |
|
|
|||||
|
|
|
1 + t/6 |
Используем стандартное разложение:
= 2 + 5t 1 − t + t2 − t3 + t4 + o(t4) = 18 6 62 63 64
= 19 + 277 t − 1627 t2 + 9727 t3 − 58327 t4 + o(t4).
Возвращаясь к старой переменной, окончательно находим:
y = 19 + 277 (x − 2) − 1627 (x − 2)2 + 9727 (x − 2)3 − 58327 (x − 2)4+ +o (x − 2)4 .
Пример 15
Разложить по формуле Тейлора функцию
y= (2x2 − 3x) · ln(7x + 8)
âокрестности точки x0 = −1 äî o((x + 1)4).
Решение
Делаем замену x + 1 = t; x = t − 1 :
y = 2(t2 − 2t + 1) − 3t + 3 · ln(1 + 7t) = 2t2 − 7t + 5 · ln(1 + 7t).
Используем разложение для логарифма:
y = (2t2 − 7t + 5) · 7t − |
7 |
2 |
|
2 |
|
7 |
3 |
3 |
|
7 |
4 |
4 |
+ o t4 = |
|||||
|
t |
|
+ |
t |
|
− |
t |
|
||||||||||
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|||||||||
|
73 |
|
73 |
601 |
|
|
|
74 |
607 |
t4 + o t4 ; |
||||||||
= 35t − |
|
t2 + |
|
· |
|
|
t3 − |
|
|
· |
|
|||||||
2 |
|
6 |
|
|
|
|
12 |
|