TrAlg2s

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

"МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

РАДИОТЕХНИКИ, ЭЛЕКТРОНИКИ И АВТОМАТИКИ\

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

II семестр

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Для студентов очного обучения факультетов Электроники, ИТ, РТС

МОСКВА 2014

Составители: В.П.Барашев, Е.О.Сивкова Редактор Н.С.Чекалкин

Контрольные задания содержат типовой расчет по алгебре и геометрии. Представлены все основные типы задач, связанных с разложением многочленов на множители, вычислениями с комплексными числами, алгеброй линейных операторов, а также задачи по теории линейных и евклидовых пространств и теории билинейных и квадратичных форм. Все перечисленные типы задач включены в программу I курса дневного отделения. Типовой рас- чет выполняется студентами в письменном виде и сдается преподавателю до начала зачетной сессии.

Печатаются по решению редакционно-издательского совета университета.

Рецензенты: К.Ю.Осипенко, Д.Л.Кудрявцев

c МИРЭА, 2014

Контрольные задания напечатаны в авторской редакции Подписано в печать 00.00.2014. Формат 60 x 84 1/16.

Усл. печ. л. 2,09. Усл.кр.-отт. 8,37. Уч.изд.л. 2,25. Тираж 200 экз. С 16

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

"Московский государственный технический университет радиотехники, электроники и автоматики \

119454, Москва, пр.Вернадского, 78

3

II семестр ТИПОВОЙ РАСЧЕТ

Задача 1.1. Найти рациональные корни и разложить многочлен

P (z) = az3 + bz2 + cz + d

а) на линейные множители;
б) на линейные и квадратичные множители с действительными
коэффициентами.											2
		a	b	c	d			a	b	c		-
	•						•					d
	1	9	−4	9	−4		2	10	−73	114		119
	3	9	−53	156	18		4	10	−57	112		39
	5	4	−11	26	−15		6	9	−23	28		−10
			Кафедра						−ÂÌ37 76			−8
	7	6	−23	44	8		8	9
	9	9	−20	49	−10		10	4	−13	8		15
	11	9	−11	139	119		12	10	−23	56		−15
	13	9	−43 145 −91				14	9	−41	65		−25
									МИРЭА
	15	6	−37 114 −18				16	9	−4 9 −4
	17	6	−19	10	25		18	6	−17	22		−10
	19	9	−34	109	26		20	10	−47 158 −91
	21	9	−4	9	−4		22	10	−73	114	119
	23	9	−53	156	18		24	10	−57	112	39
	25	4	−11	26	−15		26	9	−23	28		−10
			ÌÃÒÓ
	27	6	−23 44 8 28					9	−37	76		−8
	29	9	−20	49	−10	30		4	−13	8	15

4

Задача 1.2. Разложить многочлен

P (z) = z4 + az3 + bz2 + cz + d

а) на линейные множители; б) на линейные и квадратичные множители с действительными

коэффициентами, если известен один из его корней z0.

	•	a	b	c	d			z0		2
	1	−14	71	−106	−102		5 + 3i
	2	−20	148	−480	551		5 + 2i
							ÂÌ
	3	−22	199	−942	1886		МИРЭА
							4	−	5i	-
	4	−16	89	−186	78		5 + i
	5	−12	60	−216	391		1 + 4i
	6	−16	109	−606	1628		1	−	6i
	7	−24	234	−1080	1769		6 + 5i
	8	−20	135	−314	50		7 + i
	9	−8	27	−44	−26		2 + 3i
	10	−14	83	−378	858		1	−	5i
	11	−20	165	−758	1598		3	−	5i
	12	−12	68	−192	175		3	−	4i
	13	−22	175	−586	666		6 + i
	14	−16	103	−266	82		5 + 4i
	15	−18	119	−360	442		3	−	2i
	16	−12	48	−60	−17		4 − i
	Кафедра
	17 −12 58 −108				25		4 + 3i
					2623		5	−	6i
	18	−24	244	−1284
	19	−16	108	−472	899		2	−	5i
		ÌÃÒÓ
	20	−18 143 −922			3050		1	−	7i
					−102
	21	−14	71	−106			5 + 3i
	22	−20	148	−480	551		5 + 2i

5

Продолжение задачи 1.2

•

a

b

c

d

z0

23

−22

199

−942

1886

4

− 5i

24

−16

89

−186

78

5 + i

25

−12

60

−216

391

1

+ 4i

26

−16

109

−606

1628

1

− 6i

27

−24

234

−1080

1769

6

+ 5i

2

28

−20

135

−314

50

7 + i

29

−8

27

−44

−26

2

+ 3i

ÂÌ

4

30

−14

(z

− 3 3 z

)

МИРЭА

Задача 1.3.

Решить уравнение. Корни уравнения изобразить на

комплексной

плоскости.

Кафедра( 8 √ 4 )

•

1

z6 − 2z3 + 4 = 0

2

z

8

−

√

4

√

2 3 + 2i z

+ 2 + 2i 3 = 0

6

(

√

√

2 z

3

+ 9i = 0

3

z

3

3i

2 + )

−

8

√

4

+ 9 = 0

ÌÃÒÓ8 √ 4

√

5

z6 + 2z3

+ 4 = 0

8

√

2i z

4

+ 2

√

6

z

+ 2 3

2i 3 = 0

7

z

6

(

√

−

) √

3−

+ 3 2 − 3i 2 z

− 9i = 0

8

z

+ 3 3 z

+ 9 = 0

9

z6 − 4z3 + 16 = 0

10 z − (4

+ 4i)z + 8 + 8i

= 0

3

3

6

			Продолжение задачи 1.3
	•							(z									5		3 z									)
	11		z	6			−			√											√										3		+ 25i = 0
								5 2 + 5i 2 z
	12								8		−							√					4					+ 25 = 0
	13		z				(			z6 + 4z3 + 16 = 0
																		− )															−
	14	z	8					√															4												√
				+ 4 3 − 4i z																								+ 8 − 8i 3 = 0													-
																																										2
	15			6						√											√										3			25i = 0
							+ 5 2 5i 2 z
	16								8									√					4 + 25 = 0
							−																										ÂÌ
							−		8									√					4					)
										8								√						4											МИРЭА
								(z			+ 5 3 z
	17									z6 − 6z3 + 36 = 0
	18	z8 − 6√3 + 6i z4 + 18 + 18i√3 = 0
	19		z	6		(		7√2 +)7i√2 z																							3 + 49i = 0
		Кафедра8 √ 4
	20							(z									7		3 z									+ 49 = 0
											−
	21										z6 − 2z3 + 4 = 0
	22	z	8	−				√															4												√
								2 3 + 2i z																				+ 2 + 2i 3 = 0
					6		(				√											√						2 z				3	+ 9i = 0
	23		z						3										3i
																2 + )
																																			√
		ÌÃÒÓ8 √ 4
	24							(z										3		3 z								+ 9 = 0
											−
	25										z6 + 2z3 + 4 = 0
	26	z	8					√															4												√
				+ 2 3 − 2i z																								+ 2 − 2i 3 = 0
					6						√											√										3			9i = 0
	27		z				+ 3 2 3i 2 z
							(											−	)														−
	28							(z																				+ 9 = 0
											+ 3								3 z
																												)
	29									z6 − 4z3 + 16 = 0
		z − (4										+ 4i)z + 8 + 8i																										= 0
	30										3																									3

7

Задача 1.4. Представить комплексное число z в алгебраической, тригонометрической и показательной форме.

•																											z																									•																							z
						(										−													)																		14												(												i√						)														21
																							i15								2ei =7																														1														3							e			i =7
1			(							−1 +√																			+ i															)								2		(											−																			−					)
																										3																																													1 + i19
						(															)																																				(								−												)
									2 − 2i17																				5e−i =5																			20												√											+ i√												ei =5									20
																																																																	6															2
																																																																																					2
3			(							√						150									+ i√											50									)							4	(																			2 + 2i21																		)
										(											)																																	(											−												)
													1						i23											e2i =5																10										√						18						+ i√								6								e−2i =5									10
5					(											−√											+ i															)										6	(																			-																			)
																																																																								2 + 2i25
																							3
								(					−																)																									(					МИРЭА
																																																														−															)
				(							2 + 2i27																				e3i =5												)				15						(			√						15					+ i√									5								e−3i =5							)		15
7															√			6				+ i√											2																			8													√							5		+ i29√												5
								(															− )																															(								−															)
											2 + 2i31																				e4i =5																40									√					21												i√					7						e−4i =5									20
9				(											√		2								i√									6									)									10	(				ÂÌ√−7 + i29√																													7					)
						(							−																)																		14												(		1 i√																)														21
									−						1 + i31																2ei =7																																												3				e−i =7
11			(													√			6						+ i√												2							)								12		(										√−							2		+ i35√												2				)
			(																										)																												(					−															)
					√				2					i33√															2			5e−i =5																		20										√					6					+ i√										2			ei =5									20
13	(									√														+ i√																								)				14	(												√									+ i37√																)
																150																				50																																				8														8
				(				(																					)														)										(	(					−																		)														)
										2					−√			2i39													e2i =5																10									√						18					+ i√									6								e−2i =5									10
15																						+ i√																														16											√											+ i41√
																		6															2																																					12																12
				(																									)																									(					−																		)
					√									Кафедра43√ 3i =5 15																																										√																		√										e−			3i =5						15
	(										2 + i																			2 e																	)						(									15 + i 5																													)
17															√							+ i√																														18											√											+ i45√
																		6															2																																					10																10
		(																					−						)																									(			−																				)
				√5				64 + i													47√5																				4i =5										40					√					15													√			5							e−			4i =5						20
																											ÌÃÒÓ64 e																																										−					i
19	(														√					i√																													)			20	(										103=5 + i45103=5																												)
																	2																	6

8

														Продолжение задачи 1.4
	•																z																•																		z
						−		1 + i15 2ei =7																							14																	i√									e		i =7							21
																																											1								3
	21	(									√							+ i									)						22			(									− −																			)
				(																																					(							1 + i19
																3
									−					)																																			)
					2 − 2i17 5e−i =5																											20										√						+ i√										ei =5									20
																																													6										2
	23	(				√									+ i√													)					24		(																														)
				(																																			(						−				2 + 2i21
									150												50
														)																																										)
		(													23 2i =5										)				10						(			√									+ i√										e				2i =5					)		10
																																												18								6
	25						1 −√i										+ei																26																								−
						(																														(									−				2 + 2i25
														3
														)																																										)			2
																																																							-
		(				2 + 2i27 e3i =5																				)				15					(			√									+ i√										e−3i =5									)		15
																																												15								5
	27				(			√					+ i√																				28			(									√					+ i29√
											6								2																														5											5
														)																														−												)
						2 + 2i31 e4i =5																								40								√								i√											e−4i =5											20
																																											21										7
	29	(			(			√										i√								)							30		(	(			ÂÌ√−7 + i29√																											)
										2										6																																								7
														− )																														−												)
Задача 2.1. Векторы a, b, c, d заданы своими координатами в
каноническом базисе i, j,																										k пространства V3.
1) Показать, что векторы a,																																b, c образуют базис
пространства V3.																																									МИРЭА
2) Найти координаты вектора d в базисе a,																																												b, c (с помощью мат-
рицы перехода). Сделать проверку.
			•																														•
							a = (−1, 5, −3)																												a = (4, −1, −3)
			1			b = (3, 1, 2)																											2	b = (−6, 1, 4)
						Кафедраc = (3, 4, 1)																												c = (−1, 5, 1)
							d = (4, 15, −3)																												d = (−20, 14, 15)
							a = (−6, −4, 1)																												a = (−3, 4, 3)
			3				b = (−ÌÃÒÓ2, −1, 2) 4																											b = (−1, 2, 3)
							c = (3, 3, 3)																												c = (1, 0, −1))
							d = (5, 5, 6)																												d = (1, 0, −9)

		9
	Продолжение задачи 2.1
	a = (2, −5, 1)			a = (1, −4, −3)
5	b = (2, 3, −3)		6	b = (1, −1, 2)
	c = (−1, 4, −1)			c = (4, −6, −1)
	d = (6, −26, 8)			d = (11, −24, −11)
	a = (−3, 2, 3)			a = (4, 6, 7)
7	b = (5, −4, 2)		8	b = (3, 1, 2)
	c = (1, −2, 4)			c = (3, −2, 2)
	d = (23, −20, −1)			d = (9, −26, −7)
	a = (3, −2, 1)			a = (5, 3, 1)		2
9	b = (1, 2, 4)		10	b = (−1, 2, 3)
	c = (2, −4, −4)			c = (2, 2, 2)	-
	d = (−2, −12, −24)			d = (−3, 11, 17)
	a = (2, 1, 1)			a = (1, 3, 2)
11	b = (2, 2, −1)		12	b = (1, −2, 0)
	c = (1, −1, 3)			c = (−4, 3, 1)
	d = (3, −2, 7)			d =ÂÌ(−19, 8, 0)
	a = (4, 3, 2)			a = (0, 3, 1)
13	b = (3, −5, 1)		14	b = (1, −1, 2)
	c = (2, 1, 1)			c = (2, −1, 0)
	d = (19, −8, 8)			d = (8, −8, 3)
	ÌÃÒÓ			a = (2МИРЭА, −1, 4)
	a = (1, 4, 2)
15	b = (−5, 3, 1)	16		b = (1, −1, 2)
	c = (1, 2, 1)			c = (3, 2, 0)
	d = (7, 20, 10)			d = (2, 4, −2)
	Кафедра
17	a = (−1, 1, 2)			a = (1, −2, 0)
	b = (3, 1, −1)	18		b = (−1, 1, 3)
	c = (1, 2, 2)			c = (1, 0, 4)
	d = (18, 11, 1)			d = (2, 2, 12)
	a = (5, 1, −2)			a = (2, −3, 1)
19	b = (−2, 3, 1)	20		b = (1, 1, 0)

		10
	Продолжение задачи 2.1
	c = (3, 2, −1)				c = (4, 1, 2)
	d = (5, 14, −1)				d = (4, 6, 1)
	a = (2, −1, 1)				a = (2, −2, 4)
21	b = (2, 1, −2)			22	b = (0, −1, 1)
	c = (4, 3, −2)				c = (3, 1, −2)
	d = (10, 11, −12)				d = (−3, 0, −7)
	a = (0, −2, 3)				a = (3, 1, −2)	2
23	b = (1, −1, 1)			24	b = (0, 1, 3)
						-
	c = (4, 0, 3)				c = (2, 2, −1)
	d = (32, 6, 15)				d = (5, 8, 1)
25	a = (1, −1, −2)			26	a = (3, 0, 1)
	b = (2, −1, 4)				b = (−2, 1, −1)
	c = (1, 0, 2)				c = (4, 2, 2)
	d = (11, −2, 22)				d = (−2, 7, 1)
	a = (−2, 1, −1)				a = (4, 2, −1)
	Кафедра				4 к построенному базису.
27	b = (3, 2, 1)			28	b =ÂÌ(2, −3, −1)
	c = (−2, 0, 1)				c = (1, 2, 1)
	d = (14, 6, 7)				d = (−6, 15, 8)
	a = (3, 2, −1)				a = (1, 3, 2)
29	b = (2, 0, 1)			30	b = (1, −3, 1)
	c = (−3, 1, −1)				c = (0, −2, 2)
	d = (−3, 10, −7)				d = (МИРЭА−1, 5, 4)

Задача 2.2. Доказать, что векторы вида (x1, x2, x3, x4) образуют линейное подпространство в пространстве R4. Найти базис

и размерность этого подпространства. Дополнить базис подпространства до базиса всего пространства. Найти матрицу перехода

от канонического базиса пространства R

• âàð.	(x1, x2, x3, x4)
	ÌÃÒÓ
1	(2a, 3b − a, a, −b)
2	(5b, c − a, 2a + b, c)