lab_1-43

Лабораторная работа 1.43 ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ МАХОВИКА

А.М. Бишаев, М.В. Козинцева

Цель работы: определение момента инерции маховика по периоду его совместных колебаний с телом, момент инерции которого известен.

Задание: по периоду малых колебаний маховика с небольшим магнитом вокруг неподвижной оси найти момент инерции маховика и убедиться в том, что значения моментов инерции, полученные в опытах с разными магнитами, в пределах ошибок измерений совпадают друг с другом.

Подготовка к выполнению лабораторной работы: изучить понятия момента инерции точки, тела, момента силы, уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси, дифференциальное уравнение гармонических колебаний, изучить описание установки и вывод расчетной формулы для определения момента инерции маховика.

Библиографический список

1.Савельев И.В. Курс общей физики. –М.: Наука, 1987.-Т. I,

гл.V, §§ 38, 39; гл. VII, §§ 53, 54.

Контрольные вопросы

1.Дайте определение момента инерции материальной точки и твердого тела относительно некоторой оси.

2.Выведите уравнение колебаний, которому подчиняется система тел 1 и 2, используемых в лабораторной работе.

3.Получите выражение для частоты колебаний маховика с магнитом, рассматривая систему этих тел как физический маятник.

4.При каком условии маховик с магнитом совершают гармонические колебания?

5.Выведите расчетную формулу для определения момента инерции I1 маховика.

6.Оцените погрешность приближения материальной точки для магнита.

2

Описание аппаратуры и метода измерений

Рассмотрим твердое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной оси OO′(рис. 1). Разобьем его на элементарные массы mк(масса тела m = ∑ mк ), которые можно считать ма-

к

териальными точками. Расстояние каждой из них от оси вращения обозначим буквой Rк. Моментом инерции Iк материальной точки mкотносительно данной оси называется произведение ее

массы на квадрат расстояния от оси вращения:

I	к	=	m R2.	(1)
			к к

Рис. 1

Величина I, равная сумме Iк произведений элементарных масс на квадраты их расстояний от некоторой оси, называется моментом инерции тела относительно данной оси:

I = ∑Iк = ∑ mкRк2.	(2)
к к

Суммирование производится по всем элементарным массам mк, на которые можно разбить тело. Из определения I видно,

что момент инерции есть величина аддитивная. Это означает, что момент инерции тела равен сумме моментов инерции его частей.

Элементарная масса mк равна произведению плотности тела

ρк в данной точке на соответствующий элементарный объем Vк:

mк = ρк Vк.

Следовательно, момент инерции можно представить в виде:

3

I = ∑ρкRк2 Vк.	(3)
к

Если плотность тела постоянна, ее можно вынести за знак суммы:

	I = ρ∑Rк2	Vк.	(4)
	к
Соотношения (2), (3), (4) являются приближенными, причем,
тем более точными, чем меньше элементарные объемы			Vк и соот-
ветствующие им элементарные массы		mк . Следовательно, задача
нахождения моментов инерции сводится к интегрированию:
I = ∫R2dm = ∫ρR2dV.			(5)
V	V

Интегралы в (5) берутся по всему объему тела. Величины ρ и R в этих интегралах являются функциями точки, т.е., например, в декартовых координат x, y и z.

Таким образом, нахождение моментов инерции тел сложной формы по формулам (5) является непростой задачей. В таких случаях большую роль приобретают экспериментальные методы определения этой величины.

Схема установки, используемой в настоящей работе для определения момента инерции I1 маховика 1, показана на рис. 2. Тело 1 массы М может вращаться вокруг неподвижной оси O, проходящей через его центр масс.

Рис.2

4

r Действующие на тело 1 сила тяжести Mg и сила реакции оси

N вращательного момента относительно оси O не создают, и тело находится в состоянии безразличного равновесия. Закрепим на расстоянии R от оси вращения небольшое тело 2 массы m. Тогда у системы тел 1 и 2 появится устойчивое положение равновесия (ϕ = 0, см. рис. 1), при выходе из которого система будет совершать колебания под действием момента силы тяжести mg . Найдем частоту

этих колебаний.

Пусть система отклонилась на небольшой угол ϕ от положения равновесия. Уравнение движения системы тел 1 и 2 относительно оси O в этом случае запишется в виде:

−mgR sinϕ = (I1	+ I2 )ϕ,	(6)
	&&

где I1 и I2 - моменты инерции, соответственно, тел 1 и 2 относительно оси O. Размеры тела 2 на порядок меньше расстояния R, поэтому его можно считать материальной точкой и вычислять его момент инерции I2 по формуле (1):

I2 = mR2.

Знак (-) в уравнении (6) перед вращательным моментом появился потому, что вектор момента направлен противоположно

вектору ϕr 1. Если угол ϕ достаточно мал, то справедливо приближенное равенство

sinϕ ≈ ϕ.

Тогда уравнение (6) перепишется в виде:

&&	mgR			ϕ = 0
	I	+ I
ϕ +			2
	1
или
&&		2			(7)
ϕ +ω ϕ = 0,

где введено обозначение

1 При малых углах отклонения можно рассматривать ϕ как вектор, связанный с направлением поворота правилом «правого винта».

5

ω2 =		mgR			.	(8)
	I
			+ I	2
	1

Мы получили уравнение гармонических колебаний (7), решением которого будет функция:

ϕ = Acos(ω t +α),

где А – амплитуда колебаний (зависит от начальных условий), ω - частота колебаний, α – начальная фаза колебаний.

Итак, при малых колебаниях угловое отклонение системы тел 1 и 2 изменяется со временем по гармоническому закону. Измерив на опыте период колебаний T (T = 2πω) системы тел 1 и 2

и зная константы m, g, R, можно найти неизвестный момент инерции I1. Действительно, из формулы (8) получаем

I =	mgRT 2	−mR2.	(9)
1	4π2

Можно убедиться в том, что, рассматривая систему тел 1 и 2 как физический маятник, подвешенный на расстоянии OO1 = (mmR+ M ) от

его центрамасс O1 (см. рис. 2), мыполучим формулу(8) длячастоты колебаний и, соответственно, формулу (9) для вычисления момента инерцииI1 тела1.

Порядок выполнения работы

1.Укрепить небольшой магнит на ободе маховика и измерить расстояние от центра масс маховика до центра масс магнита.

2.Измерить не менее пяти раз время t 3÷5 полных колебаний маховика с магнитом. Результаты измерений занести в таблицу.

3.Повторить измерения п.п. 1, 2, изменив условия эксперимента (например, закрепив тот же магнит на другом расстоянии от оси, либо использовав магнит другой массы).

6

Таблица 1

Масса			t, c				tср, с	Тср, с	Icp,	2
									кг м
магнита, г
	1	2		3	4	5
m1=
m2=

Обработка результатов измерений

1.Найти средний период колебаний маховика с магнитом по формуле

Tср. = tсрn. ,

где n – число колебаний.

2.Вычислить среднее значение момента инерции I1ср. маховика по формуле (9). При расчетах ускорение свободного падения g

принять равным g=(9,81±0,05)м/c2.

3.Рассчитать относительную погрешность E измерения момента инерции по формуле:

I

m

g

π

2 T

mR2

R

E =

1

=

+

+

+

+ 1

−

.

m

g

π

T

I

R

I

1

1

Учитывая, что mR2I1 <<1, можно воспользоваться приближенной формулой:

E = mm + gg + ππ + 2 T T + RR . 4. Найти абсолютную погрешность измерения

	I1 = I1 E
и записать числовой результат в виде:
I = (I		± I )кг м2 .
1	1ср.	1

5.Сравнить значения моментов инерции маховика, полученные в опытах с магнитами разных масс (либо с магнитами, закрепленными на разных расстояниях от оси), и убедиться в том, что в пределах ошибок измерений они совпадают друг с другом.