Tr_ma4s_0

21

		15	2					z2 − 3z + 5
						(z + 1)(z − 2)2
		16	3										1
							z2			2− 7z + 12
									z
		17	0										+ z + 1
												z3 + z
		18	−1										2											2
								z2			2− 4z + 3
								2z
		19	−3										+ z + 5
									z		2(z + 3)
																					ВМ
		25	3								9 − 2z									МИРЭА
		20	−	1					z2				+ z		− 1								-
									z2(z					−		1)
							2z			2
		21	0						z		2(z + 4)
													1
Кафедра
	22		0					z2 −25z + 6
	23		0							3z				− 1
											2		(z	− 1)
									z
									2
	24		−1				2z						+ 4z + 1
									z(z + 1)2
Задача №9.	МГТУ
									z		(3 − z2)
	26		0											1
													zez
	27		0										z2
												z2 + 9
Функцию разложить в ряд Лорана в окрестности точки z0. Най-
ти вычет функции f(z) в точке z0.

22

№

1

f(z) = z cos

1

z0 = 2

z − 2

2

f(z) = sin

z

z0 = 1

z

− 1

3

f(z) = z sin

z

z0 = 5

z − 5

4

f(z) = sin

2z − 7

z

0

=

−

2

2

z + 2

-

5

f(z) = cos

3z

z0

= i

3z

8

f(z) = z cos

ВМz = 1

z − i

5z

МИРЭА

6

f(z) = sin

z

− 2i

z0 = 2i

7

f(z) = sin

3z − i

z

=

−

i

3z + i

0

3

14

Кафедраf(z) = sin

z0 = i

z − 1

0

9

f(z) = z sin

z

z0 = 1

z − 1

10

f(z) = (z

−

3) cos π

z − 3

z

0

= 0

z

11

f(z) = z2 sin π

z + 1

z

= 0

МГТУz − 3

0

z

12

f(z) = z cos

z

z0 = −2i

z + 2i

13

f(z) = cos

z2 − 4z

z0 = 2

(z − 2)2

z + i

z − i

15

f(z) = sin

z

z0 = 3

16

f(z) = ze

1

z0 = 2

z−2

23

17

f(z) = e

z

z0 = 3

z−3

18

f(z) = sin

2z

z0

= 4

2

− 4

z

19

f(z) = sin

z

− 4z

z0

= 2

2

(z − 2) 2

20

f(z) = exp

4z − 2z

z

= 1

(z − 1)2 o

n

0

-2

f(z) = z exp n

π

21

o

z0

= a

(z − a)2

ВМ

24

f(z) = z cos π

z + 3

z = 1

πz

МИРЭА0

22

f(z) = z exp nz − π o

z0 = π

23

f(z) = z sin π z + 2

z0

= 0

z

30

Кафедраf(z) = ze

z0

= 4

z − 1

0

25

f(z) = z2 sin

z + 3

z0

= 0

z

26

f(z) = z sin

z2 − 2z

z0

= 1

(z − 1)2

z

МГТУz − a

27

f(z) = z cos

z − 3

z

= 3

28

f(z) = z sin π

z − 1

z0

= 2

z − 2

29

f(z) = z cos

z

z0

= 5

z − 5

z

z−4

31

f(z) = z sin

πz

z0

= a

Задача №10.

24

Найти все особые точки функции f(z) и установить их тип.

№

№

1

f(z) =

z3

2

f(z) = e

1

z−2

1 + z4

sin z

1

1

3

f(z) =

4

f(z) = z2

− sin

z2

z

z

5

f(z) =

1 − cos z

6

f(z) =

1

z

+ z2

z3

z + 1

-

7

f(z) =

z

4

+ 16

8

f(z) =

z

3

(z + 2)

2

(1 −

)

z 2

ВМ

13

f(z) =

sin z

14

f(z) =

e − 1

cos

19

f(z) =

1

20

f(МИРЭАz) =

9

f(z) =

ez+2

10

f(z) =

1 + z2

z + 2

11

f(z) =

sin z

12

f(z) =

1

z(z

+ 1)

z

z− 4z

Кафедра

z3

(z

− 1)3

z2(3z + 1)

15

f(z) =

cos z

16

f(z) =

z

+ 1

(z3 + 1)z2

(z + 3)2(z + 1)

17

f(z) =

z2

18

f(z) =

1 − cos 2z

1 − cos z

z2(z + 1)

1

1

1

−

МГТУ

(z

2)(z + 3)3

z

3

z

z(1 − e2z)

z

21

f(z) =

e

22

f(z) =

1

(z2 + 4)(z − 1)

z4 − z2

23

f(z) =

sin(z − 3)

2

24

f(z) =

cos(z − 5) − 1

3

(z − 3)(z − 4)

(z − 5)

1(z + 3)

25

f(z) =

sin(z − 1)

26

f(z) =

e

z−2

(z − 1)3(z + 4)3

(z − 2)2(z + 3)3

1

1

−

ez−2

27

f(z) = (z 1)e(z−1)3

28

f(z) =

−

1

1

2

+ 3

z

29

f(z) = z2

− cos

30

f(z) =

z

z

z2 − z − 2

25

Задача №11.

Вычислить интеграл по замкнутому контуру f(z)dz с помо-

щью вычетов.

C

R

№

f(z)

C

1

cos πz

|z| = 1

(2z

−

1)2

z

1

2

|z| =

sh2 πz

2

-

sh πz

3

|z| = 5

2

(z + 4)(z2 + 4)

ВМ

6

2z − 1

z

1

=

1

9

z2(z

1

2)2

|z|МИРЭА= 1

4

z4 + 16

|z − 2| = 2

z

√

5

z3 + 8

|z − 2| = 2 2

Кафедраcos z

− 2

cos2zπz

2

e

7

z(z2 + 2z + 5)

|z + 1 − 2i| = 1

8

sin 2z

|z| = 1

z2(z2 + 4)

sin z

МГТУ

−3

10

z

|z + 1| = 1

z4 − 1

11

z

|z − 2| =

1

(z

−

1)(z

−

2)2

2

12

|z + 1| = 2

z3 − z2 − 2z

13

sh z

|z + 1 + 2i| = 1

z(z2 + 2z + 5)

14

ez

|z| = 2

z(z

−

1)2(z

−

4)

26

cos z

1

15

|z| =

z2(z + 1)

2

16

ez

|z| = 2

z4 + 8z2

−

9

17

ez

|z − 3i| = 1

z(z

−

πi)

18

z + 1

|z| = 2

z(z

1)2(z

3)

19

−

ez

−

|z − 2| = 1

-

z3(z

−z

2)2

2

ВМ

e

МИРЭА

20

(z

−

1)2z

|z − 2| =

2

z

y

21

z4 + 1

(x − 1)2 + 8

= 1

Кафедра

π

22

1

3)2

|z + 2| = 1

(z + 2)2(z

−

23

z

|z −

π

π

cos z

2

| =

2

24

ch2 z

|z + 1| =

3

z2(z + 2)(z

−

1)

2

z2

+ 1

πi

25

МГТУ

sh 2z

|z

− 2 | = 1

26

4

|z| = 2

ch z

27

1

(y − 1)2

+ x2 = 1

(z2 + 4)3

4

28

ctg 3z

|z −

| = 1

2

29

z

|z| = 2

e

(1−z)

30

z3ez1

|z| = 1

27

Задача №12.

С помощью теоремы Руше найти число корней уравнения в указанной области.

№
1			z5 − 5z2 + 2z + 1 = 0				1 < |z| < 2
2		z6 − 7z5 + 3z3 − z − 1 = 0					1 < |z| < 2
3			z4 − 5z3 − z2 − 1 = 0				1	< |z| < 1
						2
4		2z5 − 3z3 + 2z2 − 5 = 0				1		2
								< |z| < 2
						2
9	3z6 − 4z4 + 5z2 − 15z − 1 = 0ВМ1 < |z| < 2
						1		МИРЭА< |z| < 3
14		2z4	+ 3z3 − z2 + 11z − 1 = 0				2
5		3z4 + 2z3 − z2 − z + 3 = 0				2		< |z-| < 2
6		2z3 − 7z2 + 3z + 1 = 0					1 < |z| < 4
7	2z5 − 8z4 + z3 + 2z2 + z − 1 = 0						1 < |z| < 2
8		z5 − 4z3 − 10z2 + 3 = 0					1 < |z| < 3
19	Кафедра10z − z + 4z − z − 3 = 0					2		< |z| < 1
10	2z4		+ 4z3 − 17z2 + 3z − 7 = 0			1		< |z| < 5
11	5z5 + 4z4 − 3z3 − 2z2 − 17 = 0						1 < |z| < 2
12		z8 − 3z5 + 2z2 − 12z − 3 = 0					1 < |z| < 2
13	5z4 + 2z3 − 13z2 + 4z + 1 = 0						1 < |z| < 2
						1
21	z + 2МГТУz − z − 3z + 13z − 5 = 0						1 < |z| < 4
15		2z5		− 5z4	+ 5z − 1 = 0	2		< |z| < 3
16		z6 − 10z3 + 2z2 + 3z − 1 = 0					2 < |z| < 3
17			z7 − 5z5 + 2z4 + 1 = 0				1 < |z| < 3
18		3z7 + z6 − 9z4 + 2z2 − 2 = 0					1 < |z| < 2
			4	3	2	1
20		2z3 − 3z2 − 7z − 1 = 0					1 < |z| < 3
	5		4	3	2
22			z5 − 2z2 + 5z + 1 = 0				1 < |z| < 2
23		z4 − 6z3 + z2 − 10z + 1 = 0					1 < |z| < 2

28

24	z3 − 17z2 + 25z − 5 = 0		1 < |z| < 2
25	4z3 + 10z2 − 3z + 1 = 0		2 < |z| < 3
26	3z3 + 9z2 − 5z − 1 = 0		2 < |z| < 4
27	2z4 − z3 + 6z2 − z − 1 = 0		1	< |z| < 1
		4
28	z6 − 5z3 + z2 + 1 = 0		1	< |z| < 1
		2

Задача №13.																	-
																	2
														ВМ
						1									p + 1
С	помощью вычетов найти оригинал											МИРЭА
											изображения g(p).
	№								№
	1					1			2						p + 1
			(p + 1)2(p + 2)											p2(p − 2)
	Кафедра(p + 1)												(p			− 4p)
	3		(p	− 4)(p2 + 9)					4			(p − 1)(p + 22)
	5				p − 1				6							1
			(p	+ 1)(p2 + 1)							(p − 1)(p2 − 2p + 2)
	7				p + 1				8							1
		(p − 1)(p + 2)(p − 3)										p3 + 2p2 + p
					МГТУ
	9				p	− 1			10							p
			(p2 + 4)p2												p4 − 1
	11				p2 + 1				12							1
			p2(p − 1)2									(p2 + 4)(p + 4)
	13					p			14							1
				2		2						2					2
	15					1			16							1
			(p	− 1)2(p + 2)									p2(p2 + 1)
	17					1			18							p
			(p	+ 3)(p + 2)2								(p2 + 4)(p − 1)

29

	19										1														20									p + 1
						(p2 + 9)p2																								p3 + 4p2 + 4
	21										p														22											p
				(p − 2)(p + 4)(p + 1)																												(p2 − 9)2
	23										p														24										1
							(p2 − 4)2																					(p2 + 1)(p + 1)2
	25										p														26										1
					(p	− 1)(p + 2)2																							(p + 3)(p + 4)2
											1																								1											2
	27																								28				ВМ
								√						2
																														∞МИРЭА
							p2(p − 4)																					(p2				+ 1)(p2									+-9)
	29										p														30										1
								p4 − 81																				(p2 − 1)(p2 + 4)
	Кафедра1 R − R2
Задача №14.
Вычислить интеграл с помощью -, B- функций.
			№																						№
							1				2 1																	1						x dx
			1				1 R			ln				x dx											2			R+			√			1	dx−				4
							0																					0									x
											МГТУ
					R+∞									2															R					3	1
			3								x − x dx														4
						0																							0 1 + x3
										x4e−x dx																		1
			5				R1																		6	2			R		ln						dx
												x2dx																								x
							0																					0
																											π
			7							√															8	sin2 x cos4 x dx
																				6
							0				1					x										0
								√																			R		2√
														dx				3																4 1				2
					R+∞				3																			1
			9		0			x				1 − x dx													10	0		x 4 − x dx
			11				R					1 + x													12				R		ln						dx
																		2				4														x
							0																					0

30

		1 √																		+∞							6		e−			x2
	13								1		x	4	dx			14																		dx
		2R		x						−											R2					x
		0																			0
		π																				π
	15	R1														16		4			R				tg1/2 x dx
		sin4 x cos2 x dx
		0																			0
					3√													R					2√
										dx		5																						2
		R+∞				5																	1				5 1
	17	0	x						1 − x dx							18		0		x							16 − x dx
	19		R						1 + x							20			π			R				ln							dx							2
		1			2√							2		3																	x
			0									6						2				0			2							6
																												ВМ
	25	0								−						26		0										1 −
	21	R1	x						1 − x dx							22		R +							МИРЭА
																														dx
		0			4	√						3						0				∞
		R1				3												1									1 + x
	23		x						1 − x dx							24					x7√													2				2
		0		x√x x2 dx																													x3 dx
		R																	R						3
четов.		Кафедра№ f(x)																		R				(a, b)
		3				√													π
	27	R			2						2	2				28		R					1		6		6					2		x dx
			+∞																											1
		0	x						9 − x dx									0			sin						x cos
	29		R					x8e−x dx								30						R				ln							dx
			0																			0									x
Задача №15.			МГТУ
Вычислить несобственный интеграл																					b		f(x) dx с помощью вы-
																					a
		1										x2									(0, +∞)
							(x2 + 1)(x2 + 9)
		2								(x2 + 2)									(−∞, +∞)
							(x2 + 1)(x2 + 9)