Shpora_2_1
.pdf1.Основное правило комбинаторики.
Комбинаторика-наука о конечных множествах, занимается подсчетом числа всех возможных способов расположения эл-тов конечного множ-ва. Основное правило– умнож.
n!-произведение первых n чисел натурального ряда. Сочетания-произвольное К элементное подмножество n элементного множества наз. сочетанием из n элем-тов по k.
n! )
k!(n k)!
Различные упорядоченные мн-ва, кот. отличаются лишь порядком эл-тов, т.е. полученные из того же множества наз перестанов ками
( P |
n!)n-кол-во |
|
n |
|
|
перестановок. |
|
|
Упорядоточенное |
К |
|
элементноеное |
подмножество, |
множ-во состоящее из n эл-тов наз.
размещением. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
A |
k |
C |
k |
K! |
|
|
|
|
n! |
|
||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n k)! |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Бином Ньютона C k |
-коэф. |
|||||||||||||||||||
(a b) |
|
|
a |
|
c |
a |
|
|
b |
n |
|
|||||||||
|
|
|
n 1 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
a |
n 2 |
b |
2 |
|
... c |
n k |
a |
n k |
b |
k |
|
||||||||
c |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... b |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
a, b R, n N , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n k |
|
|
|
|
|
|
||
(a b) |
n |
|
|
|
|
|
k |
|
b |
k |
|
|
|
|||||||
|
|
Cn a |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
C |
|
|
C |
|
|
|
k 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0 |
n |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
C |
n |
C |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
k |
n |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
C |
n |
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Классификация событий.
1)Случайное событие – может либо произойти, либо нет.(Об. А,В,С)
2)Достоверные события – обязательно произойдет при определенном комплексе условий.
3)Невозможное событие – событие которое никогда не произойдет
4)Несовместные события – такие события А и В, появление одного исключает появление другого.
5)Равновозможные – одно из них не является более возможным. 6)Единственно возможное событие – из нескольких событий обязательно должно произойти хотя бы одно из них(больше/равно 1)
Полную группу событий образуют несовместные и единственно возможные события (=1 и только одно событие)
Противоположные события –
два несовместных события из которых 1 обязательно произойдет.
3. Классическое определение вероятности
Вероятность случ. соб. – это численная мера объективной возможности его наступления.
Класс.Опр.Вер.: Пусть мн-во
содержит |
|
конечное |
число |
|
исходов |
|
и |
все |
они |
равновозможны. |
|
|
||
,..., |
n |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
Вероятностью |
случайного |
|||
события (А(Р(А)), |
наз. число m , |
n
т.е. отношение числа исходов, благоприятствующих появлению
события |
А |
к |
числу |
||
равновозможных исходов. |
|||||
Св-ва: |
|
|
|
|
|
1)Для |
|
любого |
случайного |
||
события |
A , |
P( A) 0 |
|
||
|
|
|
|
m n |
|
2) Для |
достоверного |
события |
|||
вероятность его появления =1 |
|||||
P( ) |
n |
1 |
|
|
|
n |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
3) Если случайное соб. А и В несовместны(нет общих исходов,
то |
AB ) |
Вероятность |
суммы |
|||||||||
этих |
|
|
|
|
|
|
|
|
событий |
|||
P( A B) =P(A)+P(B) |
|
|||||||||||
P( A B) |
m |
a |
m |
b |
|
m |
a |
|
||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
m |
b |
P( A) P(B) |
|
|
|
|
|||||
n |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
m благоприятствует А и В |
|
|||||||||||
Недостатки классики: |
|
|||||||||||
- |
|
|
имеет |
|
конечное |
число |
||||||
исходов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
- условия равновозмож- |
|
|||||||||||
ностей исходов |
|
|
|
|
||||||||
C |
m |
|
n(n 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Аксиоматическое, статистическое, геометрическое определение.
Статистическое:
Частота события А – это отношение числа опытов в которых наблюдалось событие А к общему числу опытов
r( A) |
n |
A ; P(A)~=r(A) |
|||
|
|||||
n |
|
|
|||
|
|
|
|||
P( A) lim |
n |
A В кач-ве вероятн. |
|||
|
|||||
n |
|||||
|
|
n |
соб. А приним.
предел частоты соб. А при неограниченном увеличении числа опытов.
Недостатки:
- невозм. повт. опыт. беск. число раз - заранее (до опыта) ничего
нельзя сказать о вероятности события
Геометрическое:
Геометр. вероятн. соб. А наз. отношение меры области благоприятствующей появлению события А к мере всей области.
*Вероятность попадания точки на отрезок l определяется равенством: P=Длина l/Длина L. *Вероятность попадания точки в
фигуру |
g |
определяется |
равенством: |
P=площадь |
|
g/площадь G. |
|
|
Аксиоматическое: |
|
|
Полем |
событий(W( )) наз. |
совокупность таких подмножеств
, удовлетворяющих след. условиям:
1) |
W ( ) |
2) |
А и В произвольные эл-ты из |
W( ) , |
__ |
__ |
|
A W ( ), B W ( ) |
|||
|
|||
|
AB W ( ), A B W ( ) |
||
Вероятность |
произвольного |
события А принадл. |
W( ) наз. |
||
любая |
функция |
P(A) |
со |
значениями |
в |
множестве |
|
действительных чисел R и удовл. |
|||
3-м аксиомам: |
|
|
|
- |
P( A) 0 |
|
|
- |
P( ) 1 |
|
|
- если АВ= |
, то |
|
P(A B) P(A) P(B)
5. Действия над событиями. Венн.
При |
общем |
определении |
вероятности |
используется |
|
пространство |
элементарных |
событий, при этом элементарные
события |
являются |
неопределяемым |
понятием, но |
относительно |
них |
предполагается, что в результате
испытаний |
|
обязательно |
|
происходит |
одно |
из |
этих |
элементарных |
|
событий. |
|
Элементарные |
события попарно |
не совместны и образуют группу
событий. |
События, |
не |
|
являющиеся |
элементарными, |
||
отождествляются |
с |
теми |
|
элементарными |
событиями, |
||
которые |
благоприятствуют |
ему, |
|
следовательно, |
случайные |
||
события |
можно |
рассматривать |
как подмножество в пространстве элементарных событий, поэтому
операции |
над |
случайными |
событиями: |
|
объединение |
(сложение), |
|
пересечение |
(умножение), эквивалентность,
отрицание |
– |
полностью |
|
совпадают с |
соответствующими |
||
операциями |
над |
множествами. |
|
Операции |
объединения |
и |
|
пересечения |
|
множеств |
|
симметричны, т.е. |
|
|
A |
|
B |
|
= |
B |
|
A |
||
|
|
|
|
||||||
A |
B = B |
A |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
АВ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Диаграмма Венна
6. Теорема сложения вероятностей.
Для 2-х произвольных событий А и В вероятность появления хотя бы одного из них = сумме их вероятностей минус вероятность совместного появления этих событий.
( Пусть есть 2 события А и В, тогда вероятность сумм этих событий равна)
P( A B) P( A) P(B) P( AB)
АВ
Диаграмма Венна
Например, для трех совместных событий Р(А+В+С)=Р(А)+Р(В)+Р(С)-
Р(АВ)-Р(АС)-Р(ВС)+Р(АВС).
7. Условная вероятность. |
8. Незав. соб., Несовм. |
||
Теорема умножения. |
соб.,Полная группа соб. |
||
Условной вероятностью события |
|
||
А при условии, что событие В |
|
||
произошло Например, для трех |
|
||
совместных |
событий |
|
|
Р(А+В+С)=Р(А)+Р(В)+Р(С)- |
|
||
Р(АВ)-Р(АС)-Р(ВС)+Р(АВС). |
|
||
P B | A |
P( AB) |
|
|
P( A) |
|
|
|
|
|
|
Случайное событие наз. независимым, если условная вероятность соб. А при условии В совпадает с безусловной вер. соб. А.
P(A|B)=P(A)
P(B|A)=P(B)
Теорема умножения
Для произвольных соб. А и В вероятность их произведения равна произведению условной вероятности одного из событий при условии В.
P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)
Если события А и В независимы, то Р(АВ)=Р(А)Р(В)
9. Формула полной вероятности.
Пусть А может произойти с одним из событий Н1, Н2, …, Нn. (А и Н образуют полную группу событий)
Вероятность события А, которое может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий (гипотез) Н1,Н2,…,Нn , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события А:
P( A) P(H |
)P( A | H |
) |
||||
|
|
1 |
|
|
1 |
|
P(H |
2 |
)P( A | H |
2 |
) ... |
|
|
P(H |
n |
)P( A | H |
n |
) |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
P(H i )P( A | |
H i ) |
|
||||
i 1 |
|
|
|
|
|
|
Д-во: |
|
|
|
|
Н1+Н2+…+Нn=
А=А =А(Н1+Н2+…+Н3)
А=АН1+АН2+…+АНn
Р(А)=Р(АН1)+Р(АН2)+…+
Р(АНn)
P( A) P(H |
)P( A | H |
) |
||||
|
|
1 |
|
|
1 |
|
P(H |
2 |
)P( A | H |
2 |
) ... |
|
|
P(H |
n |
)P( A | H |
n |
) |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
P(H i )P( A | |
H i ) |
|
||||
i 1 |
|
|
|
|
|
|
10. Формула Байеса.
P(H |
i| |
| |
A) |
|
P(H |
)P( A | H |
) |
||
|
|
i |
i |
|
n |
|
|
|
|
P(H i )P( A | H i ) |
||||
i 1 |
|
|
|
|
Р(Нi|A)-апостериорные вероятности
Р(Нi)- априорные вероятности
11. Повт. испыт. Ф-ла Бернулли.
Повт. испыт. – это последовательно проведенные n- раз одинаковые опыты или одновременно проведенные n одинаковых опытов.
Биноминальная схема испыт.-
последовательность |
испытаний |
||
отвечающих |
|
следующим |
|
условиям: |
|
|
|
- при |
каждом |
испытании |
|
возможны лишь 2 исхода |
|||
|
__ |
|
|
А-успех, |
A |
-неуд. |
|
|
|
|
- испытания явл. независимыми , т.е. вер. успеха в К-м испытании не зависит от исхода любого i-го испытания при i меньше К
-вер. усп. в люб. испыт. постоянна.
Ф-ла Бернулли:
Если вер. Р в каждом испытании постоянна, то вер. того, что
событ. |
A K |
|
n |
наступит К раз в n испытаниях |
Pn (K) Cnk Pk qn k
Док-во:
Аn(К)-соб. (в n незав. испыт. ровно К раз)
К=0,1,…,n
P |
k |
q |
n k |
-вер. появления суммы |
|
|
вер. из таких событий Аn(4) – сумма 4-х событий
Кол-во исходов C k (состоит из 4- |
|||||
|
|
|
|
|
n |
х таких событий) |
|
||||
P (K) C |
k |
P |
k |
q |
n k |
n |
|
|
|||
n |
|
|
|
|
12. Случайные величины Типы.
Случайной наз. величина кот. в результате испытания принимает одно и только одно возможное значение наперед известное и зависящее от случ. причин кот. заранее не могут быть учтены.
Случ. величина Х – это числовая ф-ция, заданная на пространстве
элемент. событий ТИПЫ
1)Непрерывные
2)Дискретные:
-принимают 1 из множества различных значений с вер. появления какого-либо одного значения больше 0.
х1,х2,…,хn
Р(хi)>0 i=1,2,3
13. Закон распр. вероятн. Д.С.В. Многоуг. Распр. xi, i=1,…,n, P(X=xi)
Законом распр. дискр. случ. величины наз. соответствие между возможными значениями и их вероятностями.
Способы задания: 1)Табличный:
х |
х1 |
х2 |
хi |
хn |
|
|
|
|
|
P |
P1 |
P2 |
Pi |
Pn |
|
|
|
|
|
Х=хi |
X=xj i,j= 1,…,n i j |
2) Формула бином. распр.
P (K) C |
k |
k |
q |
n k |
n |
P |
|
||
n |
|
|
|
3)Графический(многоуг)
(xi;pi)
Р
x
14. Гипергеометрическое распределение
Дано N деталей, бракованные n, выбрали M
Найти вер. того, что среди выбр. дет. М, m- брак.
n N , M N, n=0,1,…,min
стандартн. детали. N-n, M-m X-кол-во брак. дет. среди М выбр.
|
C |
m |
C |
M m |
||
P(x m) |
n |
N n |
||||
|
|
|
||||
|
C |
M |
||||
|
|
|||||
|
|
N |
||||
|
|
|
|
15. Геометрическое распределение
Испытания проводят до первого появления события А Х-кол-во провед. испыт.
х-1,2,3,…,к,…
Р(х=к)= q |
k 1 |
P -геометрическая |
|
||
прогр. |
|
|
16. Биноминальное распределение.
Формула бином. распр.
P (K) C |
k |
k |
q |
n k |
n |
P |
|
||
n |
|
|
|
х-кол-во появлений событий А в n испытаниях
х-1,2,3,…,к,…n
17. Распределение Пуассона.
P (K) C |
k |
k |
q |
n k |
n |
P |
|
||
n |
|
|
|
|
Когда n велико, Р мала ,а |
произведение np= const
lim Cnk Pk q n k
k e
k!
n
np p 0
P( X K ) k e k!
,где К не более 5 Х- кол-во появлений успехов К=0,1,2,3,..
18. Математические операции над случайными величинами
Две случайные величины наз. независимыми, если закон распределения одной из них не меняется от того какие возможные значения приняла другая величина.
Х |
Х1 |
Х2 |
… |
Хn |
|
|
|
|
|
Y |
Y1 |
Y2 |
… |
Yn |
|
|
|
|
|
Если Х и Y независ., то Х=хi, i=1,n
Y=yj, j=1,…,m
1)Случ. величена Кх=кх, i=1,…,n
2)x k наз. случ. велич. xik ,
i=1,…,n , с вероятн. pi
3)Суммой (разностью/произведением) случайных величин Х и Y наз. случ. величину Z (Z=X+Y)((Z=X-Y;Z=XY)),
кот. принимает все значения
Zj=Xi+Yj
i=1,…,n
j=1,…,m
Pij=P(X=xi;Y=yj)
Если X и Y независ., то Pij=PiPj
19. Математич. ожидание Д.С.В. Св-ва.
Математическое ожидание дискретной случайной величины Х, наз. сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.
M ( X ) X |
1 |
P X |
2 |
P ... |
|||
|
|
|
|
1 |
2 |
||
|
|
|
n |
|
|
|
|
X |
P |
|
|
X P |
|
|
|
|
n n |
|
|
i i |
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
Св-ва:
1)М(С)=С
М(С)=С*1=С
2)М(КХ)=КМ(Х)
М(КХ)= n KX i Pi
|
|
i 1 |
|
|
|
|
n |
|
i |
i |
|
K |
|
|
|
||
|
X |
P |
|||
|
i 1 |
|
|
|
|
KM (X ) |
|
|
|
3) М(Х) алгебраической суммы конечного числа случайной величины = алгебраической сумме их мат. ожиданий
М(Х |
Y ) =М(Х) |
|||||||
|
|
|
|
|
n |
|
m |
|
M ( X Y ) ( X |
||||||||
|
|
|
|
|
i 1 |
j 1 |
||
|
i |
|
|
n |
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
P |
|
Xi |
|
|
Pij |
|||
|
|
|
|
i 1 |
|
|
j 1 |
|
|
m |
|
Y ; |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
||||
|
|
|
|
Pij |
||||
|
|
|
|
|
||||
|
j 1 |
|
|
|
i 1 |
|
|
|
nm
X i Pi Yj Pj
i 1 |
j 1 |
|
|
i |
|
|
|
|
М(Y)
Y |
) |
j |
|
M (X ) M (Y )
4)Мат.ожид. произведения конечного числа независимых
случ. величин равно произведению их мат. ожиданий.
M ( XY ) M ( X )M (Y )
Pij PiPj __ X ;Y независ.
|
n |
m |
|
M ( XY ) XiYjPij |
|||
|
i 1 |
j 1 |
=M(Х)М(Y) |
n |
m |
|
|
XiPi YjPj |
|
||
i 1 |
j 1 |
|
|
5)Если все значения случайной величины изменить на пост. вел. С, то на эту же величину изменится и М`(X)
М(Х+С)=М(Х)+С М(Х+С)=М(Х)+М(С)= =М(Х)+С
6)М(Х-М(Х))=М(Х)-М(Х)=0
20. Дисперсия Д.С.В. Свойства.
Д(Х)=М(Х-М(Х)) |
2 |
|
|
Дисперсией случайной величины |
Х наз. мат. ожидание квадрата её отклонения от математического ожидания.
Д(Х)= |
n |
|
|
|
|
( Xi M ( X )) |
2 |
Pi |
|||
|
|
|
|||
|
|
i 1 |
|
|
|
|
x |
|
D( X ) - |
|
|
|
|
|
|
|
|
среднеквадратическое |
|
|
|||
отклонение |
|
|
|||
Дисп. |
|
и |
отклонение |
||
положительные величины. |
Свойства: 1)Дисп.пост.величины=0
D(C) M (C C) |
2 |
|
||
|
||||
M (0) |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
2)Пост. множ-во можно вынести за дисп.путем возведения его в квадрат.
2 |
D( X ) |
D(KX ) K |
3)Упрощенная ф-ла вычисления дисперсии:
2 |
2 |
(X ) |
D(X ) M (X |
) M |
4)Дисперс. алгебраической суммы конечного числа независимых случ. величин = сумме их дисперсий.
D(X Y ) D(X ) D(Y )
21. Ф-ция распределения вероятностей одномерной случ. велич. Св-ва. Геометрич. интерпр.
Ф-цией распределения случ. величины Х, наз ф-ция F(x), выражающая для каждого х вероятность того, что Х примет значение х.
F |
( X ) P(X x) |
x |
|
Закон распределения дискретной случайной величины.
Х |
1 |
3 |
4 |
|
|
|
|
Р |
0.1 |
0.6 |
0.6 |
|
|
|
|
Св-ва: |
|
|
1) |
Ф-ция |
распределения |
неотрицательна |
|
|
0 F(X ) 1 |
|
2) Ф-ция распр. случ. величины
неубывающая на всей числовой оси
Если Х2>X1, то F(X2) |
F(X1) |
3) Вероятн. попадания случ. величины в интервал [X1;X2) равна приращению её ф-ции распределения на этом интервале.
P( X1 X X 2 )
F ( X 2 ) F ( X1 ) [ X1 ; X 2 )
4) |
F( ) 0 , |
т.к. это |
|
вероятность |
невозможного |
||
события (Х<- ) |
|
||
F(+ )=1 |
т.к. |
(X<+ )- |
|
достоверное событие. |
|
Случайную величину Х наз.
непрерывной, если её ф-ция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду кроме, быть может отдельных точек.
Т: Вероятность любого отдельно
взятого значения |
непрерывной |
случайной величины равна 0. |
|
Док-во: |
|
P( X x ) lim P(x1 x x2) |
|
1 |
|
x |
x1 |
2 |
lim (F(x2) F(x1))
x2 x1
lim F(x2) F(x1) 0
x1x2
22. Ф-ция плотности распределения. Геометрическая интерпр.
Ф-цией плотности распределения (f(x)) непрерывной случайной величины Х, наз. производная её ф-ции распределения.
[x, x+ x]
P(x<X<x+ x) =F(x+ x) ---
F(x)
lim |
P(x X x x) |
|
|
x |
|||
x 0 |
|
lim |
F (x x) F (x) |
|
||
x |
|
|
||
x 0 |
|
|
|
|
F (x) |
|
|
|
|
Свойства: |
|
|
|
|
1) |
f (x) 0 |
, |
неотрицат. |
|
производная |
|
монотонной |
||
неубывающей ф-ции. |
|
|
2) Р(а x b) F(b) F(a)
b
f (x)dx
a
f(x)
x
a b
F(x)
F(b)
F(a)
|
a |
b |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
3) |
F ( X ) |
|
f (x)dx |
|
|||
|
|
|
|
X
F(x)=P(X<x)
4) |
|
|
|
|
f (x)dx 1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
x |
-достоверное |
событие
23. Начальные и центральные теоретические моменты. Асимметрия и эксцесс.
Начальным |
моментом |
k-го |
|||||
порядка, |
|
который обозначается |
|||||
как |
|
k |
, |
|
наз. математическое |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
ожидание |
|
k-ой |
степени |
||||
случайной величины: |
|
||||||
|
|
MX |
k |
, _ k 1,2,... |
|
||
k |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Центральным моментом k-го
порядка, |
который |
обозначается |
||
как |
|
k |
, |
называется |
|
|
|
|
математическое ожидание k-й степени отклонения случайной величины от своего математического ожидания:
|
|
M (X MX ) |
k |
|||
k |
|
|||||
Ассиметрия: |
|
|||||
ˆ |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||
A |
|
|
|
|
||
|
s |
|
S |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||
|
|
|
|
|
||
Эксцесс: |
|
|||||
ˆ |
|
ˆ |
4 |
|
||
|
|
|
|
|||
Ex |
S |
|
|
|||
|
|
|
4 |
|
||
|
|
|
|
|
|
24. Мода, медиана, квантили распределения
Модой случайной величины Х наз. её наиболее вероятное значение. В дискретном случае – это такое значение Хi, возможность принять которое является наименьшей (Pi=max)
В непрерывном случае – это значение в кот. ф-ция плотности достигает max.
Медианой случ. величины Х наз. такое её значение для которого выполняется Р(Х<Xme)=P(X>Xme)=1/2 F(Xme)=1/2
(Середина графика)
Квантилью уровня Р непрерывной случайной величины Х наз. такое значение Хр при котором её ф-ция распределения F(x) принимает значение равное Р Хр – критическая точка, процентная точка.
25. Равномерное распределение.
Равномерное (прямоугольное) распределение.
Если
|
1 |
, приX a, b |
f(x)= |
a |
|
b |
|
|
|
|
|
0, приX a, b |
||
|
|
|
26. Нормальное распределение.
f (x) |
1 |
2П |
|
|
2 |
Нормированное
распределение
m=0
x~N(0,1) ; 1
|
1 |
x |
|
(x) |
e |
||
|
|||
|
2П |
||
|
|
|
Лапласа-четная,
Ф(х)=Р(Х<х)
e
с
t 2
2
( x m) |
2 |
|
|
||
2 |
2 |
|
|
|
нормальное
параметрами
dt |
-ф-ция |
|
27. Показательное распределение
f (x) e |
x |
, x 0, |
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Правило 3-х сигм: Практически достоверно, что все значения норм. распр. случ. величины заключены в интервале
(m 3 ; m 3 )
28. Неравенство Чебышева.
Если известна дисперсия С.В., то с ее помощью можно оценить вероятность отклонения этой величины на заданное значение от своего мат. ожидания, причем оценка вероятности отклонения зависит лишь от дисперсии.
Соответствующую |
оценку |
|
вероятности |
дает неравенство |
|
Чебышева. |
Неравенство |
|
Чебышева |
является |
частным |
случаем |
более |
общего |
неравенства, |
позволяющего |
|
оценить вероятность |
события, |
состоящего в |
том, |
что С.В. Х |
превзойдет |
по |
модулю |
произвольное число |
>0. |
Оно справедливо для любых С.В., имеющих дисперсию; оценка вероятности в нем не зависит от закона распределения С.В. Х.
DX – неравенство Чебышева.
|
|
2 |
- оценка |
|
|
|
|||
P(| X M (x) | ) |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
сверху |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
- |
P(| X M (x) | ) 1 |
|
|||
|
|
|||
|
|
|
2 |
|
оценка снизу
29. Закон больших чисел.
ффЛемма: |
Пусть |
Хi |
взаимонезависим. |
случайные |
величины i=1,…,n, с одной и той
же дисперсией |
Д (xi) |
2 |
|||||
|
|||||||
и мат. ожиданием M(x)=m |
|
||||||
|
1 |
|
n |
|
, тогда |
|
|
x |
|
|
|
||||
n |
|
|
|
|
|||
|
i 1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
M ( X ) m |
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
D( X ) |
|
|
|
|
|||
n |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
Из Леммы следует:
-Мат. ожидание среднего арифм. и значение случайной величины независят от числа опытов
-Дисперсия среднего арифм. в n раз меньше дисперсии каждой из этих случайных величин, зависит
от числа опытов
30. Теорема Бернулли
Пусть производится n независимых опытов, в каждом из
которых |
событие |
А |
может |
|
появляться |
с |
вероятностью |
||
Р(А)=Р. |
|
Тогда |
при |
|
неограниченном |
количестве |
|||
опытов |
частота |
сходится по |
||
вероятности |
к |
вероятности |
||
события А ( |
ˆ |
|
|
|
p -частота события |
||||
А) |
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
p -сходится к- р. |
|
|
||
P(| pˆ p | E) 1 |
|
т.е. показана связь между частотой и вероятностью события.
Теорема утверждает, что вероятность больших отклонений частоты случайного события от
его вероятности стремится к 0 |
|||||||||
при |
n . |
|
|
||||||
Доказательство: |
|
|
|||||||
|
|
|
1, если _ в _ i ом _ |
||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
||
i |
|
испытании _ А; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
0, в _ противн. _ случае |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
i=1,…,n |
|
|
|
|
|||||
|
Xi |
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
1-P |
|
|
P |
|
|
|
|
||||||
M(Xi)=P, i=1,…,n |
|
|
|||||||
ˆ |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
p |
=m/n |
m= |
xi |
, |
|||||
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
xi |
|
|
||
тогда |
= i 1 |
|
|
|
|||||
p |
x |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
= |
X |
, M ( pˆ ) M (X ) p |
||||||
p |
31. Центральная предельная теорема
(количественная форма закона больших чисел)
Т-№1: Если х1,…,хn независимые случайные величины имеющие один и тот же закон распределения с мат. ожиданием
равным |
|
2 |
, |
то |
при |
|
неограниченном увеличении n закон распределения n равен сумме неограниченно приближенной к нормальному.
M (xi ) m; _ D(xi ) 2 то _ при _ i 1,..., n,
n
при _ n _ Yn xi
i 1
Т-№2: Начало тоже, тогда при |
|||
n |
функция распределения |
||
F |
|
(x) |
стремится к функции |
x |
|
|
|
|
n |
|
|
распределения стандарт. Ф(х), при любом Х.
P(x |
|
x), _ г де |
|
|
||||
n |
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
(x |
... x |
|
) m |
|
|
|
|
|
n |
|||
|
|
|
|
n |
1 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||
n |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
x m
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
M (x) m, _ D(x) |
n |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D(x) |
|
|
|
|
|
|
|
x |
n |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
F |
|
(x) P(x |
|
x) |
|
|
|||||
|
n |
|
|
||||||||
|
x |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|||
Ф(x) |
2П |
|
|
|
dz |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32. Интегральная теор. Лапласа.
Т: Если вероятность наступления события А в каждом испытании постоянна и равна Р (0<p<1), то вероятность того, что событие А в n независимых испытаниях появится от К1 до К2 раз при больших N приближенно равна определенному интегралу, где пределы интегрирования записаны
x |
|
K |
1 |
np |
|
|
|||
1 |
|
|
|
npq |
|
|
|
|
Knp
x2 2npq
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
P (K |
, K |
2 |
) |
|
|
|
e 2 |
|
|
|||||
n |
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Pn(K |
, K |
2 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P (K |
1 |
K K |
2 |
) |
|
|
|
|
|
|||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
( |
K |
2 |
np |
) ( |
K |
1 |
np |
) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
npq |
|
|
|
|
|
npq |
|
33. Основные |
понятия |
||
математической |
|
||
статистики. |
|
||
Генеральной |
совокупностью |
||
называется |
|
|
множество |
результатов |
|
всех |
мыслимых |
наблюдений |
|
над |
значениями |
одного |
или |
нескольких |
признаков, которые могли бы быть произведены при данном реальном комплексе условий. Часть объектов генеральной совокупности называется выборкой. Значения признака Х, измеренные на n объектах, называются выборкой объема n и обозначаются:
X : x , x |
,..., x |
|
1 |
2 |
n |
|
Основные задачи математической стат:
-оценка параметров; -проверка статистических
гипотез. В основе статистических выводов о свойствах генеральной совокупности лежит выборочный метод. Сущность его состоит в том, что выводы распространяются на всю генеральную совокупность Выборка должна быть репрезентативной (представительной), то есть она должна давать обоснованное представление о генеральной совокупности. Репрезентативность обеспечивается случайностью отбора элементов выборки.
Вариационный ряд- это такая последовательность выборки в которой эл-ты упорядочены по возрастанию.
ni-частота i-го появляемого значения.
Wi-относительная частота
Wi=ni/n
34. Вариационные ряды
Пусть дана выборка наблюдений объема n
X : x , x |
,..., x |
|
1 |
2 |
n |
|
Вариационным рядом выборки называется такая последовательность наблюдений
x |
, |
в |
которой |
элементы |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
упорядочиваются |
по |
возрастанию. |
Число |
|
n |
, |
|
|
|
i |
|
показывающее, |
сколько |
|
раз |
|
встречается значение |
z |
|
в |
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
выборке, называется частотой i-го значения признака. Дискретным вариационным рядом называют расположенные в возрастающем порядке значения признака, указанные вместе с соответствующими частотами. Дискретный вариационный ряд представляют в виде таблицы.
Значение |
Количество |
|
Признака |
наблюдений |
|
|
|
|
z1 |
n1 |
|
. . . |
. . . |
|
zi |
ni |
|
. . . |
. . . |
|
zk |
nk |
|
|
|
|
Всего |
n |
|
|
|
|
Wi-относительная частота
Wi=ni/n
Интервальным вариационным рядом называют расположенные в возрастающем порядке границы интервалов группирования, указанные с соответствующими частотами.
|
|
Граница |
|
|
Серед |
Кол-во |
||
|
|
Интерва |
|
|
интерв |
наблю |
||
|
|
ла |
|
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
c0 - c1 |
|
|
z1 |
n1 |
||
|
|
c1 – c2 |
|
|
z2 |
n2 |
||
|
|
. . . |
|
|
|
. . . |
. . . |
|
|
|
ci-1 - ci |
|
|
zi |
ni |
||
|
|
. . . |
|
|
|
. . . |
. . . |
|
|
|
ck-1 - ck |
|
|
zk |
nk |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Всего |
|
|
|
n |
||
|
|
|
|
|
|
|||
Середина: |
Zi |
Ci 1 Ci |
|
|||||
|
|
|
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Накопленная |
|
частота: |
||||||
|
|
н |
|
i |
|
|
|
|
n |
n |
j |
|
|
||||
|
|
|
||||||
|
i |
|
j 1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Относит. накопл. част.: wiн niн
n
35. Основные выборочные числовые характеристики-это приближенные значения соответствующих числовых характеристик генеральной совокупности определяемые по выборочным значениям х1,…,хn ДВР: Zi-i-ое наблюд. знач. ni-кол-во набл zi ИВР:Zi-середина i-го интервала группирования
ˆ |
|
-Выборочная мода – это |
X |
Mo |
|
|
|
такое значение признака которое наблюдается с большей частотой.
ˆ -Выборочная медиана-это
X Me
серединное значение вариационного ряда.
36. Начальные и центральные моменты Вариац. Ряда.
Центральный |
момент |
m-го |
||||
порядка: |
|
|
|
|
||
|
1 |
k |
|
|
|
|
ˆ m |
(Zi |
X ) |
m |
ni |
|
|
|
|
|||||
n |
|
|
||||
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Начальный момент: |
|
|
||||
ˆ |
1 |
n |
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
Vm |
n |
xi |
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
37.Графическое представление вариационного ряда.
Графические изображения вариационных рядов:
-полигон частот;
-гистограмма;
-график эмпирической функции распределения.
a) Полигон частот служит для
изображения |
|
дискретного |
||
вариационного |
ряда. |
Для |
||
построения |
полигона |
в |
||
прямоугольной |
|
|
системе |
|
координат наносят |
точки с |
|||
координатами |
(z ,n ) |
, |
затем |
|
|
|
|
||
|
i |
i |
|
|
соседние точки соединяют отрезками прямых. В результате получают ломаную линию.
рабочих |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
Количество |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
Тарифный разряд
b) Гистограмма служит для изображения интервального вариационного ряда. Для ее построения в прямоугольной системе координат по оси абсцисс откладывают отрезки, изображающие интервалы, и на этих отрезках как на основании строят прямоугольники с высотами, равными частотам соответствующего интервала (абсолютным или относительным). В результате получается ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников и называемая гистограммой.
частота |
0,4 |
|
|
|
Относительная |
0,3 |
|
|
|
|
0,2 |
|
|
|
|
0,1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
3.7-4.6 |
4.6 - 5.5 5.5 - 6.4 6.4 - 7.3 |
7.3 - 8.2 |
|
|
|
|
Размер прибыли |
|
c) График эмпирической функции распределения для дискретного вариационного ряда представляет собой кусочно-постоянную функцию, по аналогии с функцией распределения дискретной случайной величины. График имеет скачки в точках zi ,
соответствующих наблюдаемым значениям признака.
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 10 11 |
|
|||
При |
|
построении |
|
|
|
графика |
|||||||
функции |
|
|
|
|
|
Fn(x) |
|
|
для |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
интервального |
|
|
вариационного |
||||||||||
ряда |
|
наносят |
|
|
точки |
с |
|||||||
координатами |
|
(c |
, w |
н |
) |
, то |
есть |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
i |
|
|
|
по оси абсцисс откладывают правую границу интервала, а по оси ординат относительную накопленную частоту интервала.
(ломаная прямая )
38. Понятия оценки параметра, требования.
Обозначим |
F(x, ) |
- |
функцию |
||
|
|
|
|
||
распределения |
|
|
случайной |
||
величины Х, |
где |
- |
параметр |
||
распределения, |
|
|
значение |
||
которого |
|
|
неизвестно. |
||
Определение. |
Точечной |
оценкой |
|||
~ |
|
|
параметра |
||
|
неизвестного |
называется приближенное значение этого параметра, полученное по выборке.
О: Любая функция от результатов наблюдения
|
|
, ~ ~ |
|
называет |
x , x ,..., xn (x , x ,..., xn) |
||||
1 |
2 |
1 |
2 |
|
ся |
|
статистикой. |
Основными |
|
свойствами |
|
оценок: |
||
несмещенностью, |
|
|||
состоятельностью |
и |
|||
|
|
|
|
~ |
эффективностью.О: Оценка |
называется несмещенной оценкой |
|||||||||
параметра |
|
, |
если |
|
ее |
||||
математическое |
ожидание |
равно |
|||||||
оцениваемому |
параметру, |
|
т.е. |
||||||
|
~ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
M[ ] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О:Оценка |
~ |
~ |
|
~ |
|
|
|
||
|
|
n |
(x , x ,..., xn) |
||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
называется |
|
|
состоятельной |
||||||
оценкой параметра |
, если по |
||||||||
мере |
|
увеличения |
|
числа |
|||||
наблюдений |
|
n |
(т.е. |
|
при |
||||
n |
) |
она |
стремится |
по |
|||||
вероятности |
к |
|
оцениваемому |
||||||
значению |
|
. То есть для любого |
|||||||
малого >0 |
|
~ |
|
|
|
при |
|||
|
|
|
|
P{ } 0 |
|
|
|||
n . |
Достаточное условие |
||||||||
состоятельности |
: |
оценки |
|||||||
~ |
параметра |
|
|
|
если |
||||
|
|
|
|
||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
математическое |
|
ожидание |
и |
дисперсия оценки удовлетворяют условию
|
~ |
|
|
~ |
|
|
|
|
M[ n] |
и D[ n] 0 при |
|
n , |
|||||
то |
~ |
- |
состоятельная |
оценка |
||||
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
параметра |
. Из |
двух |
оценок |
|||||
параметра |
|
лучшей считается |
||||||
оценка, |
обладающая наименьшей |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
дисперсией. О: Оценка |
|
|||||||
параметра |
|
|
называется |
эффективной, если среди всех прочих оценок этого параметра она обладает наименьшей дисперсией.
Эффективность является решающим свойством в определении качества оценки.
39. Выборочная оценка математического ожидания.
Обозначим |
математическое |
||||||
ожидание |
признака |
Х |
|||||
M[ X ] m; |
и |
дисперсию |
|||||
D[ X ] |
2 |
. Теорема |
: |
Оценка |
|||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
является несмещенной, |
|||
X |
1 |
n |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||
n |
|
|
|
|
|||
|
i 1 |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
состоятельной и эффективной оценкой математического ожидания m в классе всех линейных оценок, т.е. оценок вида:
~ |
n |
|
, |
|
n |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
m c x |
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
i 1 |
i i |
|
|
|
i 1 |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Доказательство. |
Выборочные |
|||||||||||||||||||||
значения |
|
x |
|
|
|
- независимые |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
случайные |
|
величины, |
|
|
имеющие |
|||||||||||||||||
один |
|
закон |
|
|
распределения |
с |
||||||||||||||||
математическим |
ожиданием |
|||||||||||||||||||||
M[x ] m |
и дисперсией |
|
|
|
|
|
] |
2 |
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
D[x |
|
|
||||||||||||
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
1. |
|
Покажем, |
|
|
|
несмещенность |
||||||||||||||||
используя |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
свойства |
|||||||||||
математического ожидания. |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
1 |
|
n |
|
1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|||
M[X ] M[ |
x ] |
M[x ] |
|
m m |
|
|||||||||||||||||
n |
n |
n |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
i 1 |
|
i |
i |
1 |
i |
i 1 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2. |
|
|
|
|
Найдем |
|
|
дисперсию |
||||||||||||||
выборочного среднего, |
|
используя |
||||||||||||||||||||
свойства |
|
|
|
|
|
|
|
|
дисперсии |
|||||||||||||
(состоятельность): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
D[X ] D[ |
1 |
|
n |
|
] |
1 |
n |
D[x ] |
|
1 |
n |
2 |
|
2 |
||||||||
n |
|
x |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
n |
||||||||||||
|
|
|
i 1 |
i |
|
n |
i 1 |
i |
|
n |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда видно, что выполняется
достаточное |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
условие |
||||||||||
состоятельности |
|
|
|
|
|
|
|
оценки, |
||||||||||||||
D[X ] 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
при |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. |
|
Докажем |
|
|
|
эффективность |
||||||||||||||||
оценки |
X . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Используя |
|
|
свойства |
дисперсии, |
||||||||||||||||||
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
~ |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
] D[c x ] |
c |
|||||||||||||||
D[m] D[ c x |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
i 1 |
|
i |
i |
|
|
i 1 |
|
i |
i |
|
|
|
|
i 1 |
i |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Требуется |
|
|
|
|
найти |
|
|
|
минимум |
|||||||||||||
функции |
|
|
n |
|
|
|
|
при |
|
|
|
ограни- |
||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
i 1 |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
чении |
n |
|
|
|
|
|
|
|
Для |
нахождения |
||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
i 1 |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
условного экстремума |
|
составим |
||||||||||||||||||||
функцию Лагранжа: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
L(c ,c ,...,c |
|
; ) |
n |
c2 |
( |
|
n |
c 1) |
||||||||||||||
1 |
|
2 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
i |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
i 1 |
|
|
|||||
Необходимые |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
условия |
|||||||||||
экстремума |
|
задаются |
|
системой |
||||||||||||||||||
уравнений: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
L |
2c 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
c 1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Откуда |
|
|
|
|
|
|
|
получим |
c |
|
, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
подставим |
|
|
|
в |
|
|
последнее |
|||||||||||||||
уравнение системы |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
n |
|
1 |
0; |
|
|
n |
1; |
|
|
2 |
; |
c |
1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
i 1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
i |
n |
т.е. для всех |
i 1,...,n |
|
с |
1 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
n |
|
40. Выборочная оценка дисперсии, свойства.
Теорема. Выборочная дисперсия
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
является |
|
|
|
||||||
S |
2 |
|
1 |
|
|
(x |
|
X ) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
i 1 |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
смещенной |
|
|
оценкой |
дисперсии, |
|||||||||||||||||||||
т.к. |
|
|
|
|
2 |
|
|
n 1 |
(мат. ожид) |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
M[S |
] |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Доказательство. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Для |
|
|
|
доказательства |
|
теоремы |
|||||||||||||||||||
понадобятся |
|
|
|
|
|
|
|
следующие |
|||||||||||||||||
очевидные равенства: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
(x |
m) nx nm; M [x |
|
2 |
D[x |
] |
2 |
; |
|
|
|||||||||||||||
m] |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M [ X m] |
D[ X ] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Вычислим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
n |
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
n |
|
|
|
2 |
|
M[S |
|
] |
M[ |
n |
|
(x |
X ) |
] |
n |
M[ ((x m) (X m)) |
] |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
i |
|
|
|
|
|
|
i 1 |
i |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
2 |
|
|
|
|
M[ |
(x |
m) |
2 (x m)( X m) |
] |
|
|||||||||||||||||||
n |
|
|
(X m) |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
i 1 |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
i |
|
|
|
i 1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 (n 2 2M[n(X m)( X m)] nM[( X m)2] n
1 (n 2 nM[( X m)2]) 1 (n 2 n 2 ) n 1 2 n n n n
На основании утверждения теоремы 2 несмещенная оценка дисперсии:
~ |
2 |
|
1 |
n |
|
X ) |
2 |
|
S |
(x |
|||||||
|
n 1 |
|
||||||
|
|
|
i 1 |
i |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
Теорема. Оценка дисперсии |
S |
2 |
|
является несмещенной, состоятельной и эффективной в классе всех квадратичных оценок вида:
~ |
2 |
n |
|
|
|
2 |
n |
|
|
n |
|
S |
c |
(x |
X ) |
, c |
|
||||||
|
|
n 1 |
|||||||||
|
|
i 1 |
i |
i |
|
|
i 1 |
i |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|