Типовой расчёт (ВМС)

														21
•	C R0		L E		•	C R0		L E		•	C R0		L E
1	1=2 1		1	3	2	1=2	1	1=5	2	3	1=2 1=2 2=5			2
4	1=4	1	1=5	1	5	1=6	1	1=3	1	6	1	1=2 1=5		2
7	1=2	1	1=13 1		8	1=2	1=2 1=4		2	9	1=5	5=6	1=5	5
10	1=4	1=2 1=5		1	11	1 1=4 1=13 1				12	1=8	1 1=4		2
13	1=2	1=3 1=5		1	14	1=10 1		1=5	2	15	1	1=2	1=17 1

Задача • 5.

1. Найти общее решение следующих систем ДУ:
(1)	µ y	¶	= A	µ y	¶;	(2)	µ y	¶	= B	µ y	¶.
	x			x			x			x

В системе (1) сделать это, используя собственные числа и собственные векторы матрицы A; в системе (2) с помощью мат-

ричной экспоненты eBt (операционным методом). 2. Найти решения следующих задач Коши:

Для системы (1)	Для системы (2)
à) x(0) = x1; y(0) = y1	à) x(0) = x4; y(0) = y4
á) x(0) = x2; y(0) = y2
â) x(0) = x3; y(0) = y3

3.Найти уравнение фазовых траекторий и построить их для решений указанных задач Коши (по выбору для системы (1) или (2)).

4.Для каждой из систем (1), (2) указать тип точки покоя и нарисовать эскиз фазового портрета.

At, опираясь на результаты теоретического упражненияe5*.Найти

12¤.

Указание 1.В вариантах 3, 5, 8, 10, 13, 14 для системы (1) и в вариантах 2, 4, 7, 9, 12 для системы (2) построение фазовых траекторий удобно вести в координатах u = x ¡ y, v = x + y.

Указание 2.В вариантах 1, 3, 6, 8, 11, 14 для системы (2) при построении фазовых траекторий перейти к полярным координатам (r; Á) и строить кривые на отрезке [0; 4¼] с шагом ¼=6.

22

•		A							B				x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4
1	µ ¡2		0			¶	µ	3		1/2 ¶			0	2	2	1	2	-1	1	0
	0		¡8					1/2		¡3
2	µ ¡2 1 ¶ µ ¡5 ¡3 ¶												-1 0 1 -1 0 1 1 1
		3	0					3		5
3	µ ¡1		3			¶ µ 5				¡1 ¶			1	0	-1 1 1 1 1 0
	3		¡1					¡1		¡5		¶
4	µ 1 ¡2 ¶ µ 5									4			-3 2 3 -1 0 1 2 2
	1		0					¡4		¡5
5	µ 1		¡2			¶ µ ¡4				0 ¶			1	1	1	-1 -1 0 1 0
	¡2		1		¶			0		1		¶
6	µ 1/3			0			µ ¡6			¡1			1	0	1	1	1	-1	1	0
		0		3				¡1		6		¶
7	µ 2		¡1			¶ µ 2				1			2	0	1	-2 0 1 1 1
	¡2		0					¡1		¡2
8	µ 1		2 ¶ µ ¡12 ¡2 ¶										1	0	1	1 1 -1 1 0
	µ	2	1					¡2		12
9		4	3 ¶				µ 5		¡3 ¶				1	0	0	1 -1		1 2 2
	¡1		0					3	¡5		¶
10	µ 1		3 ¶				µ 8 0						1	1	-1 1 0			1 1 0
	µ	3	1	¶			µ	0	¡2
11		4	0					2		-1/3 ¶			2	0	1	2	-1	2	1	0
		0	1					-1/3		¡2
12	µ ¡1 2 ¶						µ 5		¡4 ¶				1	0	1	1 0 1 1 1
		1	0					4	¡5
13	µ ¡3		1			¶ µ ¡1				0 ¶			1	1	-1 1 1 0 1 0
	1		¡3					0		9
14	µ 1		¡3			¶ µ ¡6				1 ¶			1	0	-1 1 1 1 1 0
	¡3		1					1		6
15	µ 2 ¡1 ¶						µ 2		¡1 ¶				1	2	-1 -1 0 1 2 2
	1		0					1	¡2

Задача • 6.

а) Найдите точки покоя системы ДУ.

б) Линеаризуйте систему в окрестностях точек покоя.

23

в) По корням характеристических уравнений линеаризованных систем укажите типы точек покоя и проиллюстрируйте геометри- чески поведение фазовых траекторий вблизи точек покоя.

г)* На основании пункта в) предложите качественную картину фазового портрета системы (без обоснования).

•	система
1	x = 2x(1 ¡ x)
	½ y = (x + y)(1 ¡ 2x)
	x = x2	1
3	½ y = 1 ¡¡x2 ¡ xy

5½ x = (x ¡ y)(1 ¡ 2x) ½ y = 2x(x ¡ 1)

x = x2 ¡ 2x

7½ y = 2x ¡ x2 ¡ (x ¡ 1)y x = 2x + y2 ¡ 1

9	y = 6x ¡ y2 + 1
11	x = y2 ¡ 4x2
	½ y = 4y ¡ 8
13	x = 4 ¡ 4x ¡ 2y
	½ y = 2xy
15	x = x ¡ x2 + y
	½ y = 2y(1 ¡ 2x + y)

•	система
2	x = x2 ¡ y2 ¡ 1
	½ y = (x ¡ y ¡ 1)(1 + x ¡ y)
	x = 2 x
4	½ y = x2¡¡ 4y2
	½ y = y(1 ¡ 2x)
6	x = x(1 ¡ x)
8	x = (x ¡ y)2 ¡ 1
	½ y = (x ¡ y)y
10	x = ¡2x ¡ y2 ¡ 1
	½ y = 6x ¡ y2 + 7
12	½ x = 2y(x + 1)

½y = ¡4x ¡ 2y

x = 5x2 + 5y2 ¡ 10 14 y = x2 ¡ y

24

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Общая теория линейных дифференциальных уравнений

1.1. а) Каков общий вид линейного дифференциального уравнения (ДУ) n-го порядка? Как ставится для него задача Коши?

б) При каких условиях задача Коши для линейного ДУ n-ãî

порядка имеет единственное решение?

в)* Как понимать глобальный характер теоремы существования и единственности для линейных ДУ?

1.2. а)В чем состоит принцип суперпозиции для линейного ДУ n-ãî

порядка?

б)Как проявляется этот принцип для линейного однородного ДУ?

1.3. Дайте определение линейной независимости системы функций на отрезке; приведите примеры.

1.4. Что такое определитель Вронского W (t) для системы функций? Чему он равен для системы f1; et; e¡tg ?

1.5. а) Пусть W (t) 6= 0. Можно ли утверждать, что система функ-

ций линейно независима?

б) Пусть система функций линейно независима на отрезке. Верно ли, что W (t) 6= 0 всюду на отрезке? Хотя бы в одной точке

отрезка?

в) Система функций линейно зависима на отрезке. Верно ли, что W (t) = 0 на этом отрезке?

Ответы обоснуйте.

1.6. Дайте определение фундаментальной системы решений (ФСР) для линейного однородного ДУ n-го порядка.

а) Сколько ФСР может иметь данное уравнение?

б) Каков критерий ФСР для линейного однородного ДУ с непрерывными коэффициентами?

1.7.Какие свойства определителя Вронского для системы решений линейного однородного ДУ с непрерывными коэффициентами вы знаете?

1.8.Являются ли решения x1(t); x2(t) уравнения

25

x00 + 1t x0 + (1 ¡ t12 )x = 0

линейно независимыми на ]0; +1[, если известно, что

à) x1(1)

= 3,

x0

(1)

=

¡

1 x2(1)

= 0,

x0

(1) =

¡

2

1

2

á) x1(1)

=

¡

6, x0

(1)

=

2

x2(1)

= 1=3,

x0

(1) =

¡

1=9

1

2

1.9*. Пусть W (t) определитель Вронского двух решений x1(t); x2(t) уравнения x00 +a1x0 +a2x = 0 с непрерывными коэффициентами:

a1 = a1(t); a2 = a2(t).

а) Как найти W (t), çíàÿ W (0)?

á) Êàê, çíàÿ x1(t) 6= 0, найти решение x2(t) так, чтобы полу- чить ФСР fx1(t); x2(t)g?

1.10. Как составить линейное однородное ДУ по заданной ФСР?

à) f1; cos tg; á) ft; etg; â) ft; t2; etg.

1.11. Какова структура общего решения линейного неоднородного ДУ n-го порядка? Что вы понимаете здесь под термином общее

решение ?

1.12. Как найти частное решение линейного ДУ

L[x] = f1(t) + f2(t) по известным решениям уравнений

L[x] = f1(t), L[x] = f2(t).

1.13*. Какие понятия и факты из курса высшей алгебры использовались в теории линейных ДУ ?

2. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

2.1. а) Что называется комплексной экспонентой? Как связаны с ней функции sin t; cos t (формулы Эйлера).

б) Каковы основные свойства комплексной экспоненты?
2.2. а) Каков общий вид линейного однородного ДУ с постоянны-
ми коэффициентами?
б) Как выглядит характеристический многочлен для этого урав-
нения? Как он используется для решения уравнения?
2.3. Угадайте ФСР и выпишите общее решение для ДУ
à) x00 = 0	á) x00 ¡ x = 0	â) x00 + x = 0 ã) x00 ¡ 4x = 0
ä) x00 + 9x = 0	å) x00 ¡ x0 = 0	æ) x00 + x0 = 0 ç) x000 ¡ x0 = 0

26

2.4. а) Известна ФСР fe(3+i)t; e(3¡i)tg для линейного однородного

ДУ 2-го порядка. Как построить вещественную ФСР для этого уравнения?

б) Имеет ли уравнение y00 ¡ iy = 0 нетривиальные веществен-

ные решения?

2.5. Как вы будете искать частное решение уравнения L[x] = f(t) ?

1) L[x] = x00 ¡ x0 ¡ 6x 2) L[x] = x00 ¡ 6x0 + 9x 3) L[x] = x00 + 9x

	à) f = tet	á) f = e¡2t	â) f = e3it
	ã) f = tg2 t	ä) f = cos t	å) f =	1
				sin 2t
	æ) f = (t + 2)e3t	ç) f = t¡2et

Рассмотреть различные сочетания: 1 а), 1 б), . . . , 3 з). Указание:

а) При использовании метода подбора достаточно указать вид решения (не определяя коэффициентов).

б) При использовании метода вариации постоянных (Лагранжа) достаточно выписать систему для их нахождения и обосновать ее разрешимость (не решая систему).

2.6.Выпишите уравнение гармонических колебаний частоты !0 ïðè наличии вынуждающей силы f(t).

а) Пусть f(t) периодическая сила с частотой ! 6= !0. Какова частота собственных колебаний? Вынужденных колебаний?

б) В чем состоит явление резонанса?

2.7.Выпишите ДУ колебаний пружинного маятника в среде с трением (без вынуждающей силы).

а) Какие физические законы используются для его вывода? Каков физический смысл коэффициентов уравнения? При каком условии оно перейдет в уравнение гармонических колебаний?

б) При каких условиях возникают затухающие собственные колебания? Как зависит их частота от коэффициента трения? Каков коэффициент затухания?

27

в) При каких условиях решение имеет апериодический характер?

2.8.Выпишите ДУ электрических колебаний тока в контуре, состоящем из последовательно соединенных источника напряжения U(t), сопротивления R, катушки с индуктивностью L и конден-

сатора емкости C.

а) Какие физические законы используются для его выводов? Каков физический смысл коэффициентов уравнения?

б) При каких условиях в контуре возникают затухающие собственные колебания? Каков коэффициент затухания?

в) Какие еще колебания возникают в контуре? Что такое установившийся режим колебаний?

г) В чем состоит в данном случае явление резонанса?

2.9.Приведите механические аналоги параметров, определяющих колебаний в электрическом контуре? Что дает основание для проведения этих аналогий?

3. Преобразование Лапласа. Операционный метод

3.1.Что называется оригиналом? Что такое показатель роста оригинала?

3.2.Пусть f1(t); f2(t) - оригиналы с показателями роста s1; s2.

а) Будут ли оригиналами f1 + f2; f1 ¢f2; c1f1 + c2f2? Что можно сказать о показателях роста этих функций?

б)* Что произойдет с показателем роста оригинала f(t) при умножении оригинала на t; íà t3; íà e2t; íà e(¡2+i)t ?

3.3. а) Какие из следующих функций являются оригиналами (счи-
òàåì, ÷òî ïðè t < 0 эти функции равны нулю):
1)	et; 2) cos t; 3) t sin t; 4) e(2¡i)t; 5) t2 + 21e¡t; 6) et+1t ; 7) ¡et2;
8)	et ln t; 9) t3e¡t; 10) sign(sin t) ?

б)* Для приведенных выше оригиналов найти их показатели роста.

28

3.4. а) Как понимать определенный интеграл для комплексной функции вещественного аргумента? Верны ли для него функции Ньютона-Лейбница; замены переменных; интегрирования по частям?

б) Что называется несобственным интегралом по полупрямой ]0; +1[ для комплексной функции вещественного аргумен-

та? Как формулируется для него признак сравнения?

3.5. а) Что называется изображением (преобразованием Лапласа) F (p) для оригинала f(t)? Для каких значений заведомо опре-

делено изображение? Как ведет себя изображение при p !

+1 ?

б) Поясните, каким образом условия на оригинал обеспечивают существование преобразования Лапласа.

3.6. а) Какие изображения имеют следующие оригиналы (считаем, что при t < 0 эти функции равны нулю):

1) 1; e¸t, ãäå ¸ = ® + i¯;

2) cos !t; sin !t (! > 0);

3) t; tne¸t, ãäå n ¸ 0 - целое число;

4) e¡®t cos !t; e¡®t sin !t (! > 0; ® 2 R1); 5) ch !t; sh !t (! > 0) ?

б)* Для каждого из приведенных оригиналов укажите, для каких Р заведомо определено его изображение.

3.7. Что называется сверткой двух оригиналов? Что означает коммутативность, ассоциативность свертки? Будет ли свертка оригиналов снова оригиналом?

3.8*. Пусть f1(t); f2(t) - оригиналы с показателями роста s1; s2. Êàê

оценить показатель роста свертки f1 ¤ f2(t) ? Ответ обоснуйте.

3.9. Сформулируйте основные свойства преобразования Лапласа: 1±: Линейность. 2±: Теорема о дифференцировании изображе-

íèÿ. 3±: Теорема смещения. 4±: Теорема запаздывания. 5±: Теорема о дифференцировании оригинала. 6±: Теорема подобия. 7±:

Теорема о свертке.

3.10. Используя таблицу изображения (см. п. 3.6) и свойства преобразования Лапласа, найдите изображенияt для следующих оригиналов: 1) cos 3t sin 5t; 2) t sin 4t; 3) te cos 2t.

29

3.11. а) Что называется периодическим оригиналом? Как записать его изображение с помощью интеграла по периоду?

б) Найдите ошибку в расñóæдении: Известно, что sin x = 21

p +1; тогда по теореме запаздывания

e¡2p¼

sin (x ¡ 2¼) = p2+1 (õîòÿ sin (x ¡ 2¼) ´ sin x).

	3.12. Обязаны ли совпадать два оригинала, если совпадают их изоб-
	ражения?
	3.13. а) Как найти оригинал для правильной рациональной дроби?
	Сделайте это для дробей:	p2¡2	;	2		p
					¡2p+5.
		p +1		p
	б) Существует ли оригинал у дроби					p2
						p2+4p¡2	? Ответ обоснуйте.

3.14.В чем состоит операционный метод решения дифференциальных уравнений и систем? Какое значение имеют начальные условия для использования операционного метода?

3.15.Что такое формула Дюамеля? Как она используется при решении линейных неоднородных ДУ с постоянными коэффициентами?

3.16.Ответьте на следующие вопросы об электрических колебаниях тока в контуре (см. вопрос 2.8) при нулевых начальных условиях:

а) Что такое операторный ток, операторное напряжение? б) Что называется операторным сопротивлением контура? в) Как формулируется закон Ома в операторной форме?

3.17*. По каким формулам ищется операторное сопротивление участка цепи для случаев последовательного; параллельного соединения? Результат объясните.

4. Теория систем дифференциальных уравнений

4.1. а) Что такое матричная фунция скалярного аргумента? Что называется производной матричной функции? Чему равна производная суммы, произведения матриц?

б) Что называется вектор-функцией скалярного аргумента? Каков геометрический смысл вектор-функции и ее производной?

30

4.2. а) Что называется линейной системой ДУ 1-го порядка? Ка-
кова ее вектор-матричная запись?
б) Как ставится задача Коши для линейной системы ДУ 1-го
порядка? Как формулируется для нее теорема существова-
ния и единственности?
в) В чем состоит принцип суперпозиции для линейных систем
ДУ? Как он проявляется в случае однородных систем?
4.3. а) Как понимать линейную зависимость (или независимость)
системы вектор-функций на некотором отрезке?
б)* Будет ли линейно независима на прямой система
80	0 1et;	0	1 1e¡t;	0 1	1e¡t9
<	1		1	1	=
	0	@	0	1
@	A		A	@	A
:					;

и почему?

4.4. Что такое определитель Вронского W (t) для системы вектор-

функций? Чему он равен для системы из вопроса 4.3?

4.5. а) Что называется фундаментальной системой решений (ФСР) для линейной однородной системы ДУ 1-го порядка?

б) Каков критерий ФСР для линейной однородной системы ДУ 1-го порядка с непрерывными коэффициентами?

4.6. а) Какова структура общего решения линейной однородной системы ДУ 1-го порядка? Тот же вопрос для неоднородной системы. Как Вы понимаете здесь термин ½общее решение\?

б)* Как найти частное решение неоднородной системы ДУ, зная
ФСР для однородной системы?
4.7. Как найти частное решение системы _
~x = A~x с постоянной мат-
рицей А, если известны собственное значение	матрицы
¸ = 2 и отвечающий ему собственный вектор ~h = µ	31 ¶? Îò-

вет обоснуйте.

4.8. Пусть А - диагонализуемая матрица (что это значит?). Как построить ФСР для системы ~x_ = A~x ?

4.9. а) Что такое матричная экспонента X(t) = eAt ? Чему равен

det X(0) ?