Типовой расчёт (ВМС)

31

б) Как с помощью матричной экспоненты получить ФСР для системы ~x_ = A~x ? Как записать через нее общее решение

этой системы? Как найти решение, удовлетворяющее условию ~x(0) = ~x± ?

в)* Как найти частное решение системы _	~
~x = A~x + f с помощью

матричной экспоненты?
4.10. а) Как вычислить матричную экспоненту операционным ме-
тодом?	µ	0	3	¶? Как найти матричную
б)* Чему равна eAt, åñëè A =
		2	0

экспоненту для диагонализуемой матрицы А?

4.11. Выпишите общий вид линейной однородной системы двух ДУ 1-го порядка с постоянными коэффициентами и ее характеристическое уравнение.

Когда эта система имеет точку покоя типа ½устойчивый узел\?

Как выглядит в этом случае фазовый портрет системы? Будет ли точка покоя устойчивой по Ляпунову; асимптотически устойчивой? Как определить направление прямолинейных траекторий? Ответьте на аналогичные вопросы в случаях точек покоя типа: а) неустойчивого узла; б) седла; в) вырожденного узла; г) фокуса; д) центра.

4.12. а) Что такое нормальная система ДУ 1-го порядка? Как записать ее в векторной форме?

б) Как ставится задача Коши для нормальной системы ДУ 1- го порядка? Сформулируйте теорему существования и единственности решения для задачи Коши.

4.13. а) Что такое интегральная кривая, что такое фазовая траектория для нормальной системы ДУ?

б) Пусть для нормальной системы из 2-х уравнений имеется решение x1 = cos t; x2 = sin t. Каковы соответствующая ин-

тегральная кривая и фазовая траектория? Проиллюстрируйте ответ геометрически.

в) Ответьте на аналогичный вопрос для решения

x1 = 2 cos t; x2 = 3 sin t.

4.14. Какая система ДУ называется автономной? При каких усло-

32
виях линейная система _	~
~x = A~x + f будет автономной? Какова

механическая интерпретация автономной системы в трехмер-
ном случае?
4.15. а) Какие свойства фазовых траекторий автономной системы
ДУ Вы знаете? Какова классификация фазовых траекто-
ðèé?
б) Что такое точка покоя системы _	~
~x	= f(~x) ? Какая фазо-

вая траектория ей отвечает? Каков критерий точки покоя? Объясните результат.

4.16. а) Что означает устойчивость, асимптотическая устойчивость по Ляпунову точки покоя для автономной системы ДУ?

б) Какие точки покоя из вопроса 4.11 являются неустойчивыми, устойчивыми, асимптотически устойчивыми?

4.17. При каких значениях x0 решение задачи Коши x(2) = x0 для уравнения из задачи • 2 предыдущего типового

расчета по ДУ является точкой покоя? Рассмотрите вопрос об устойчивости, асимптотической устойчивости этих точек покоя.

4.18. Каков критерий асимптотической устойчивости точек покоя для системы ~x_ = A~x с постоянными коэффициентами (по кор-

ням характеристического уравнения)?