XXVII. ПРОИЗВОЛЬНЫЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ
1.
Даны две функции
и
.
Найдите их скалярное произведение на
промежутке
.
«64»
2.
Найдите норму функции
на промежутке
.
«3»
3.
Даны на
две пары функций: 1)
2)
Какие пары ортогональны на промежутке
?
Ответы: 1) только первая; 2) только вторая; 3) обе; 4) никакая. Введите номер выбранного ответа.
«3»
4.
Дана на
ортогональная система функций
.
Чему равны интегралы
?
«0»
5.
Система функций
является ортонормированной на
.
Какие из двух приведённых соотношений
справедливы:
1)
;
?
Ответы: 1) только первое; 2) только второе; 3) оба; 4) никакое. Введите номер выбранного ответа.
«3»
6.
Какие утверждения выполняются для
полной ортонормированной системы
функций класса M
:
1)
любая функция
класса M разлагается
в ряд по этой системе;
2) не существует функции в классе M , кроме тождественного нуля, ортогональной всем функциям системы.
Ответы: 1) только первое; 2) только второе; 3) оба; 4) никакое. Введите номер выбранного ответа.
«2»
7. Какие утверждения выполняются для полной ортонормированной системы функций класса m
:
1) ряд Фурье любой функции из класса M по этой системе определяется единственным образом;
2) любой ряд по данной ортонормированной системе обязательно сходится равномерно к функции из класса M.
Ответы: 1) только первое; 2) только второе; 3) оба; 4) никакое. Введите номер выбранного ответа.
«1»
8.
Даны три типа сходимости функционального
ряда на отрезке
:
1) равномерная;
2)
сходимость в каждой точке
;
3) среднеквадратичная.
Укажите тип сходимости, из которого не следуют два других.
«3»
9. Даны три типа сходимости функционального ряда на отрезке :
1) Равномерная;
2)
сходимость в каждой точке
;
3) Среднеквадратичная.
Укажите тип сходимости, из которого следуют два других.
10.
Для функции
и ортогональной на
системы
выполнено уравнение замкнутости
Парсеваля – Стеклова. Какие утверждения
при этом верны:
1)
ряд Фурье для
по этой ортогональной системе сходится
равномерно к
на
;
2)
ряд Фурье для
по этой системе сходится к
на
в среднеквадратичном смысле.
Ответы: 1) только первое; 2) только второе; 3) оба; 4) никакое. Введите номер выбранного ответа.
«2»
XXVIII. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ
11.
Найти квадрат нормы функций
«5»
12.
Пусть
- сумма тригонометрического ряда Фурье
для функции
,
заданной на
соотношением
Найти
и
.
В ответ введите сначала
,
а затем через точку с запятой
.
«9; 3»
13. Пусть - сумма тригонометрического ряда Фурье для функции , заданной на соотношением Найти и . В ответ введите сначала , а затем через точку с запятой .
«6; 19»
14. Даны две функции
Какая из них представима тригонометрическим рядом Фурье в своей области определения?
Ответы: 1) только первая; 2) только вторая; 3) обе; 4) никакая. Введите номер выбранного ответа.
«4»
15. Даны две функции
Какая из них представима тригонометрическим рядом Фурье в своей области определения?
Ответы: 1) только первая; 2) только вторая; 3) обе; 4) никакая. Введите номер выбранного ответа.
«4»
16. Даны две функции
Какая из них представима тригонометрическим рядом Фурье в своей области определения?
Ответы: 1) только первая; 2) только вторая; 3) обе; 4) никакая. Введите номер выбранного ответа.
«3»
17. Даны две функции, представимые тригонометрическим рядом Фурье:
Тригонометрический
ряд Фурье какой из них сходится равномерно
на
?
Ответы: 1) только для первой; 2) только для второй; 3) для обеих; 4) ни для какой. Введите номер выбранного ответа.
«1»
18. Даны две функции, представимые тригонометрическим рядом Фурье:
Тригонометрический ряд Фурье какой из них можно интегрировать почленно?
Ответы: 1) только для первой; 2) только для второй; 3) для обеих; 4) ни для какой. Введите номер выбранного ответа.
«3»
XXIX. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
21.
Для какой функции
записан интеграл Фурье
?
Найти
и
.
В
ответ введите сначала значение функции
в точке
,
а затем через точку с запятой значение
в точке
.
«5; 2»
22.
Для какой функции
записан интеграл Фурье
?
Найти
и
.
В
ответ введите сначала значение функции
в точке
,
а затем через точку с запятой значение
в точке
.
«4; 9»
23.
Вычислить интеграл
.
«8»
24.
Вычислить интеграл
.
«1»
25. Даны два выражения:
1)
,
2)
.
Какое
из них является интегралом Фурье для
функции
?
Ответы: 1)только первое; 2) только второе; 3) оба; 4) никакое. Введите номер выбранного ответа.
«3»
26. Можно ли представить интегралом Фурье каждую из следующих функций:
1)
2)
3)
Ответы: 1) да; 2) нет. В ответ введите номер выбранного ответа для первой функции, затем через точку с запятой – для второй и через точку с запятой – для третьей.
«2; 1; 1»
27. Можно ли представить интегралом Фурье каждую из следующих функций:
1)
2)
3)
Ответы: 1) да; 2) нет. В ответ введите номер выбранного ответа для первой функции, затем через точку с запятой – для второй и через точку с запятой – для третьей.
«1; 2; 2»
28. Дать ответы на следующие вопросы.
1) Верно ли, что интегралом Фурье могут быть представлены только непрерывные функции?
2) Может ли быть представлена интегралом Фурье периодическая функция, отличная от тождественного нуля?
3) Существуют ли ненулевые функции, представимые одновременно и интегралом, и рядом Фурье?
Ответы: 1) да; 2) нет. В ответ введите номер выбранного ответа на первый вопрос, затем через точку с запятой – на второй и через точку с запятой – на третий.
«2; 2; 2»
29.
Функция
представима интегралом Фурье.
1) Может ли эта функция иметь точки устранимого разрыва?
2) Может ли эта функция иметь точки разрыва первого рода?
3)
Может ли эта функция быть определённой
лишь на конечном промежутке
оси
?
Ответы: 1) да; 2) нет. В ответ введите номер выбранного ответа на первый вопрос, затем через точку с запятой – на второй и через точку с запятой – на третий.
«1; 1; 2»