minimum

Минимум задач по курсу высшей математики.

Линейная алгебра

1. Даны матрицы , . Найдите матрицы и , .

2. Найдите , если а) , б) .

3. Решите матричные уравненияи .

4. Найдите ранг матрицы .

5. Найдите общее решение системы

6. Найдите общее решение и фундаментальную систему решений следующей системы линейных уравнений

7. Найдите те значения параметра при которых система

имеет нетривиальные решения и найдите одно из них.

8. Найдите собственные числа и собственные векторы матрицы , если , .

9. Приведите квадратичную форму к главным осям и найдите соответствующее преобразование координат.

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

1. Докажите, что векторы и можно принять в качестве векторов базиса на плоскости. Найдите координаты вектора относительно этого базиса. Запишите соответствующее преобразование координат.

2. Докажите, что векторы , , можно принять в качестве векторов базиса в пространстве. Найдите координаты вектора относительно этого базиса. Запишите соответствующее преобразование координат.

3. Даны три точки , , . Найдите длину проведённой из вершины высоты треугольника .

4. Найдите проекцию вектора на ось, определяемую вектором .

5. Пусть , . Найдите и , если , и угол между векторами и равен .

6. Докажите, что векторы , , компланарны (лежат в одной плоскости).

7.Найдите косинус угла между векторами , .

8. Найдите площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

9. Запишите уравнение прямой а) проходящей через точку перпендикулярно вектору , б) проходящей через точку параллельно вектору , в) проходящей через точки .

10. Запишите уравнение прямой проходящей через точку а) перпендикулярно прямой , б) параллельно прямой .

11. Запишите уравнение плоскости а) проходящей через точку перпендикулярно вектору , б) проходящей через точку параллельно векторам , , в) проходящей через точки .

12. Запишите уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости .

13. Запишите уравнение прямой, проходящей через точку параллельно вектору .

14. Запишите уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой .

15. Запишите уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости .

16. Запишите уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямой .

17. Постройте кривую в исходной системе координат, приведя предварительно её уравнение к главным осям.

Дифференциальное исчисление

1. Найдите следующие пределы а) ,

б) , в) , г) ,

д) , е) .

2. Найдите порядок малости относительно бесконечно малых

а) , б) , в) , г) ,

д) , е) , ж) , з) .

3. Покажите, что данные функции являются бесконечно малыми в точке : а)

б) в)

г)

Найдите их порядки малости относительно бесконечно малой .

4. Найдите порядок роста относительно бесконечно больших в точке

а) б)

в) г)

5. Найдите порядок роста относительно бесконечно больших а) , б) .

6. Найти все точки разрыва функции и указать их характер

; ; ;

7. Найдите , если а) , б) , в) , г) , д) задана неявно уравнением , е) задана параметрически .

8. Найдите , , , , , , если .

9. Дана вектор - функция одной переменной . Найти и . Вычислить и .

10. Дана функция . Найти: а) , вычислить ; б) и , если - независимые переменные; в) и , если .

11. Составьте уравнения касательной и нормали к кривой

а) в точке ; б) при ;

в) в точке .

12. Составьте уравнения нормальной плоскости и касательной к кривой заданной параметрически (векторно ) при .

13. Составьте уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности а) в точке ; б) в точке ; в) заданной параметрически (векторно ) при

.

14. Найдите участки монотонности, экстремумы и точки перегиба функции .

15. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

а) на отрезке ;

б) на замкнутом множестве, заданном неравенствами 1) , ,; 2) , ,; 3) .

16. Проведите полное исследование и постройте график функции а) ; б) ; в) ; г).

Неопределённый интеграл

Найдите 1), 2) , 3), 4), 5), 6), 7) , 8) ,

9) , 10) ,

11) , 12),

13) , 14) ,

15) , 16) , 17) .

Определённый интеграл

1. Найдите а) , б), в),

г) , д) е) .

.

2. Вычислите интегралы или установите их расходимость

а) , б) , в) , г) , д) , е), ж) , з) , и) ,

к) , л) , м) ,

н) .

3. Найдите длину кривой а)

б) , в) , г), д)

4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми

а) , , б) ,

в) , г)

Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы

1. Вычислите , .

2. Вычислить , если - внутренность треугольника с вершинами в точках а) ,

б) .

3. Изменить порядок интегрирования

а) ,

б).

4. Найдите , .

5. Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями

6. Перейдите к полярной системе координат в интеграле , где

а) ,

б) ,

в) .

7. Вычислить интеграл (в цилиндрических или сферических координатах) , где - область, заданная неравенствами

8. Вычислить интеграл (в цилиндрических или сферических координатах) , где - область, заданная неравенствами

9. В интеграле , где , перейдите к цилиндрической системе координат.

10. Вычислите , где - арка циклоиды .

12. Найдите работу силы по перемещению материальной точки вдоль пути а), б) ; в) вдоль отрезка прямой, соединяющего точки и .

13. Для векторного поля

найдите в точке . Будет ли поле в этой точке потенциальным? Соленоидальным? Безвихревым?

14. Выясните, являются ли поля и потенциальными во всей области задания и, если да, то восстановите их потенциал.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

1. Найдите общее решение уравнений

а) , б) , в) , г) ,

д) ,

е) , ж) ,

з) , и) ,

к) .

2. Найдите решение задачи Коши а) , , б) , .

в)

3. Найдите общее решение уравнений а) ,