теория вероятностей
.pdfМинистерство образования Российской Федерации
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)
Кафедра автоматизации обработки информации (АОИ)
З.А. Смыслова
МАТЕМАТИКАIV
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Учебное пособие
2000
Смыслова З.А.
Математика IV. Основы теории вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие. − Томск: Томский межвузовский центр дистанционного образования, 2000. − 130 с.
Данное учебное пособие содержит теоретический материал и варианты двух контрольных работ для студентов, изучающих дисциплину «Математика − 2 (Спецглавы)» в рамках учебного плана специальности 061000 «Государственное и муниципальное управление».
Пособие может быть использовано студентами дневной, заочной и дистанционной форм обучения.
Смыслова З.А., |
2000 |
Томский межвузовский центр дистанционного образования, 2000
3
СОДЕРЖАНИЕ
1.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ……………. 5
1.1.Пространство элементарных событий ………………………………..5
1.2.Понятие вероятности. Свойства вероятностей ……………………… 7
1.3.Правила сложения и умножения вероятностей ……………………... 9
1.4.Формула полной вероятности. Формула Байеса ……………………. 14
2.СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ……………………………………………20
2.1.Закон распределения дискретной случайной величины …………….20
2.2.Числовые характеристики дискретной случайной величины ……… 24
2.3.Биномиальное распределение ………………………………………... 26
2.4.Непрерывные случайные величины …………………………………..31
3.ОПИСАТЕЛЬНАЯ СТАТИСТИКА……………………………….…… 36
3.1.Генеральная совокупность и выборка……………………………….. 36
3.2.Способы представления статистических данных…………………… 37
3.3.Числовые характеристики выборки………………………………….. 42
4.ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ВАЖНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ………………………………………………………. 47
4.1.Теорема Чебышева и теорема Бернулли…………………………….. 47
4.2.Нормальное распределение и центральная предельная теорема…... 48
4.3.Распределения математической статистики………………………… 53
4.3.1.Стандартное нормальное распределение……………………... 53
4.3.2.Распределение «хи-квадрат»…………………………………… 54
4.3.3.Распределение Стьюдента……………………………………... 55
4.3.4.Распределение Фишера………………………………………… 57
5.СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ………………………………... 58
5.1.Точечная оценка и её свойства……………………………………….. 58
5.2.Интервальное оценивание параметров распределения…………….. 59
5.2.1.Доверительный интервал и доверительная вероятность…….. 59
5.2.2.Интервальное оценивание центра генеральной совокупности……………………………………………………. 60
5.2.3.Интервальное оценивание генеральной доли
(вероятности события)……………………………………….…. 64
6.ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ…………………….…. 67
6.1.Постановка задачи…………………………………………………….. 67
6.2.Проверка гипотез о параметрах распределения…………………….. 70
6.2.1.Гипотезы о значениях генерального среднего и дисперсии … 70
6.2.2.Сравнение параметров нормальной генеральной совокупности………………………………………………….… 73
6.2.3.Задачи о генеральной доле……………………………………... 78
6.3.Проверка гипотез о виде распределения. Критерий согласия Пирсона…………………………………………………………………. 80
6.4.Проверка гипотез об однородности данных………………………… 82
6.4.1.Критерий знаков………………………………………………… 82
6.4.2.Критерий Вилкоксона…………………………………………... 84
7.КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ И РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ………….. 87
4
7.1.Основные задачи………………………………………………………. 87
7.2.Коэффициент корреляции Пирсона………………………………….. 87
7.3.Ранговая корреляция………………………………………………….. 90
7.4.Регрессионные модели………………………………………………... 91
7.5.Уравнение линейной регрессии………………………………………. 93
7.6.Линейная регрессия и прогноз……………………………………….. 95
8.КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ…………………………………………….. 98
8.1.Контрольная работа № 1……………………………………………… 98
8.2.Контрольная работа № 2……………………………………………… 108
Приложение 1. Таблица значений функции Лапласа………………….. 125
Приложение 2. Критические точки распределения χ2 ………………. 127
Приложение 3. Критические точки распределения Стьюдента…….…. 128 Приложение 4. Критические точки распределения Фишера………….. 129
5
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
1.1. Пространство элементарных событий
Понятие случайного эксперимента является первичным понятием теории вероятностей. Результат случайного эксперимента нельзя точно предсказать, но эксперимент может быть воспроизведен (повторен) в одинаковых условиях достаточно большое число раз. Подбрасывание монеты с выпадением герба или «решки», игральной кости (кубика) с выпадением числа очков на верхней грани — это примеры случайных экспериментов. Вместо термина «эксперимент» часто используются термины «опыт» или «испытание». Результат, исход испытания называется элементарным событием (табл. 1.1).
Таблица 1.1
Примеры элементарных событий
Эксперимент |
Элементарные события |
Подбрасывание монеты |
Герб, решка |
Контроль качества деталей |
Годная, бракованная |
Продажа квартиры |
Продана, не продана |
Футбольный матч команды «Томь» |
Победа, проигрыш, ничья |
с командой «Локомотив» |
|
Решение любой вероятностной задачи начинается с построения про-
странства элементарных событий Ω — множества всех возможных взаи-
моисключающих исходов эксперимента. Например, эксперимент состоит в бросании игральной кости. Пространство элементарных событий есть множе-
ство Ω ={1, 2, 3, 4, 5, 6}, элементарное событие — число очков на верхней
грани.
Определив пространство элементарных событий, мы можем говорить о случайном событии — подмножестве пространства элементарных событий.
Случайное событие |
A — «выпало четное число очков» есть множество эле- |
ментарных событий |
A ={2, 4, 6} Ω. Случайное событие B — «выпало |
число очков, меньшее четырех» есть множество B ={1, 2, 3} Ω. Элементарное событие ωΩ называется благоприятствующим событию A , если при исходе ω событие A происходит. Событию A — «выпало четное число очков» благоприятствуют исходы 2, 4, 6.
Событие, которому благоприятствует любой исход эксперимента, называется достоверным. Достоверное событие в результате эксперимента обязательно произойдет. В нашем примере достоверным является событие «выпало меньше 10 очков».
Событие, которому не благоприятствует ни один исход эксперимента, называется невозможным. Невозможное событие не произойдет в результате
6
данного эксперимента. Например, при бросании игральной кости невозможным является событие «выпало отрицательное число очков».
Над случайными событиями можно выполнять операции, аналогичные
операциям над множествами. |
|
|
|
Суммой событий A и B называется событие A + B, |
которому благо- |
||
приятствуют исходы, благоприятствующие хотя бы одному из событий A |
|||
или B. |
|
|
|
Произведением событий A и B называется событие |
AB — множество |
||
элементарных событий, благоприятствующих A и B одновременно. |
|||
Противоположным событию A называется событие |
|
|
, состоящее из |
|
A |
||
элементарных событий, не благоприятствующих событию A.
События A и B называются несовместными, если появление одного их них исключает появление другого.
Операции над событиями можно иллюстрировать с помощью диаграмм Эйлера-Венна (рис. 1.1).
|
|
а |
б |
Рис. 1.1. Сумма (а) и произведение (б) событий A и B
Между понятиями алгебры событий и понятиями алгебры множеств существует тесная связь (табл. 1.2). Операции над событиями выполняются по тем же законам, что и операции над множествами.
Таблица 1.2
Алгебра событий и алгебра множеств
Понятия алгебры событий |
Понятия алгебры множеств |
||
Достоверное событие Ω |
Универсальное множество |
||
Невозможное событие |
Пустое множество |
||
Сумма событий A + B |
Объединение множеств A B |
||
Произведение событий AB |
Пересечение множеств A ∩ B |
||
Противоположное событие |
|
|
Дополнение множества |
A |
|||
События A и B несовмесны |
Множества A и B не пересекаются |
||
7
При построении пространства элементарных событий часто требуется определить, являются ли события равновозможными, т.е. одинаковы ли у них шансы на успех. Так, при бросании правильной монеты события Г — «выпал герб» и Р — «выпала решка» являются равновозможными; при бросании неправильной (погнутой) монеты эти события не являются равновозможными.
Задача. Образуют ли данные события пространство элементарных событий описанного эксперимента; если да, то являются ли равновозможными; если нет — являются ли несовместными. Эксперимент — бросание двух правильных монет; событие A — «выпало два герба», событие B — «выпала ровно одна решка».
Решение. Данные события не образуют пространства элементарных событий, так как не описан возможный исход эксперимента «выпало две решки». События A и B являются несовместными, так как не могут произойти одно-
временно. Для данного эксперимента можно построить пространство взаимоисключающих равновозможных исходов Ω ={ГГ, ГР, РГ, РР}.
1.2. Понятие вероятности. Свойства вероятностей
Понятие вероятности можно определить разными способами. Один из самых распространенных — классическое определение вероятности.
Пусть пространство Ω состоит из n элементарных событий, и все элементарные исходы равновозможны. Обозначим m — количество элементар-
ных событий, благоприятствующих событию |
A. Тогда вероятность события |
|||
A есть |
|
|
||
P( A) = |
m |
, |
(1.1) |
|
n |
||||
|
|
|
||
причем 0 ≤ m ≤ n.
Другой способ определения вероятности — статистическое определение. Оно основано на понятии относительной частоты (частости) появления события. Например, если некоторая фирма опросила 1000 покупателей нового напитка и 20 из них оценили его как вкусный, то m = 20 (частота наступления
события), n =1000, а 100020 = 0.02 — относительная частота события. И мы
можем оценить вероятность того, что покупателям понравится новый напиток,
как 0.02.
Статистической вероятностью события A называется относительная частота (частость) этого события, вычисленная по результатам большого числа испытаний
P ( A) = lim |
m |
. |
(1.2) |
|
|||
n→∞ n |
|
||
8
Для определения классической вероятности события нам необходимо знать только «модель игры». Например, подбрасывая игральную кость (кубик
с шестью гранями), мы хотим определить вероятность события |
A — «выпало |
|||||
четное число очков». Событию |
A благоприятствуют три исхода опыта — |
|||||
{2, 4, 6}, |
|
всего элементарных |
равновозможных исходов |
— 6, то есть |
||
P( A) = |
3 |
= |
1 |
. Мы определили шансы на успех теоретически — это априор- |
||
|
|
|||||
6 |
2 |
|
|
|
||
ная (доопытная) вероятность. Если мы будем определять вероятность этого события, подбрасывая кость и подсчитывая относительную частоту успехов, то это апостериорная (послеопытная) вероятность. Классическая вероятность
— априорная, а статистическая — апостериорная. Но как бы мы не определяли вероятность, свойства и правила, по которым с нею работают, остаются одинаковыми.
Свойства вероятности
1.Вероятность достоверного события равна единице.
Действительно, если событие A = Ω, то m = n и из определения (2.1)
следует P(Ω) = nn =1.
2.Вероятность невозможного события равна нулю
Если A = , то благоприятствующих ему исходов нет, то есть m = 0
иP( ) = 0n = 0.
3. Вероятность случайного события есть число, заключенное между
0 и 1.
В самом деле, так как 0 ≤ m ≤ n, то 0 ≤ mn ≤1, то есть 0 ≤ P( A) ≤1.
4.Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.
Пусть событию A благоприятны m исходов, то есть P( A) = mn . То-
гда противоположному событию A благоприятны остальные n −m исходов и
P( |
|
) = |
n −m |
|
=1 − |
m |
=1 − P( A), |
||
A |
|||||||||
n |
n |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
следовательно |
|
|
|
|
|
||||
|
P( A) = P( |
|
) =1. |
(1.3) |
|||||
|
A |
||||||||
Пример. Из колоды карт в 36 листов извлекается одна карта. Какова вероятность, что это не туз?
9
Событие A — «извлеченная карта — туз» имеет вероятность
P( A) = 364 = 19 (в колоде четыре туза). Вероятность противоположного собы-
тия A равна
P( A) =1 − P( A) =1 − 19 = 89 .
1.3. Правила сложения и умножения вероятностей
Правило сложения. Вероятность суммы событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления:
P( A + B) = P( A) + P(B) − P( AB). |
(1.4) |
Рассмотрим формулу (1.4) для классического определения вероятности. Пусть пространство Ω содержит n взаимоисключающих равновозмож-
ных исходов, причем событию A благоприятствуют mA исходов, событию B — mB исходов, одновременному наступлению событий A и B — mAB
элементарных |
исходов. |
Тогда |
|
вероятности этих событий |
P( A) = |
mA |
, |
|||||||||||||
|
||||||||||||||||||||
|
mB |
|
|
|
mAB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|||
P(B) = |
, |
P( AB) = |
. Событию A + B благоприятствуют все исхо- |
|||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ды, благоприятствующие |
A , а также все исходы, благоприятствующие B, но |
|||||||||||||||||||
не благоприятствующие |
A. |
Общее |
количество таких |
исходов равно |
||||||||||||||||
mA +(mB −mAB ), и вероятность события |
A + B равна |
|
|
|
||||||||||||||||
P( A + B ) = |
mA +(mB −mAB ) |
= |
mA |
+ |
mB |
− |
mAB |
= P( A ) + P( B ) − P( AB ). |
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
n |
|
n |
|
|
|
|||||
Нарисуйте диаграмму Эйлера-Венна, иллюстрирующую правило сложе-
ния.
Для несовместных событий их совместное наступление есть событие невозможное, его вероятность равна нулю. Поэтому только для несовместных событий вероятность суммы равна сумме их вероятностей.
Пример. Опыт состоит в случайном извлечении карты из колоды в 36 листов. Чему равна вероятность того, что извлеченная карта — туз или имеет бубновую масть?
Решение. Обозначим события: A — «извлеченная карта — туз», B — «карта имеет бубновую масть». Эти события совместны: AB — «извлеченная
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
карта — |
бубновый |
туз». Вероятности |
событий |
равны |
|
P( A) = |
|
4 |
; |
|||||||||
|
36 |
|||||||||||||||||
|
9 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
P(B) = |
; P( AB) = |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
36 |
|
|
|
|
|
|
|
событий A + B. |
|
|
||||||||
Нас интересует вероятность суммы совместных |
По |
|||||||||||||||||
формуле (1.4) получим |
|
|
4 |
|
9 |
|
1 |
|
12 |
|
|
1 |
|
|
|
|
||
P( A + B) = P( A) + P(B) − P( AB) = |
+ |
− |
= |
|
= |
. |
|
|
|
|||||||||
36 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
36 |
36 |
36 |
|
|
|
|
|
|
|||||
Чтобы сформулировать правило умножения, рассмотрим понятия зависимости и независимости событий.
Пусть разыгрываются пять лотерейных билетов, среди которых два «счастливых». Рассмотрим события: A — «билет, извлеченный первым — счастливый», B — «билет, извлеченный вторым — счастливый». Влияет ли на вероятность события B наступления события A ? Представим результаты розыгрыша в виде дерева игры (рис. 1.2).
|
2/5 |
|
3/5 |
|
A |
|
A |
|
1/4 |
|
2/4 |
B |
B |
B |
B |
1.2. Дерево игры
Мы видим, что если событие A наступило, то вероятность события B уменьшается в два раза. В таком случае говорят, что событие B зависит от события A.
События A и B называются зависимыми, если вероятность каждого из них зависит от того, произошло или нет другое событие. Вероятность события B, вычисленная в предположении, что событие A уже осуществилось, обо-
значается P(B A) и называется условной вероятностью.
В нашем примере P(B A)= 14 , P(B A)= 24 = 12 . Вычислите условные
вероятности P(B A), P(B A) и укажите их на дереве игры (рис. 1.2).
События A и B называются независимыми, если вероятность каждого из них не меняется при условии наступления другого. Вероятности независимых событий называются безусловными. Для независимых событий справедливо