ртцис

91

Таблица 4.2 − Преобразование сигналов и их спектров при дифференцировании по времени

Преобразование сигналов

Преобразование спектральных плотно-

стей

Математическое

Функциональная

Функциональная связь

Спектральная

описание сигналов

связь между

между спектрами

плотность

в пределах

t

≤τ / 2

сигналами

сигналов

ωτ 2

s (t) =1 − 2

t

/τ

s (t)

S& (ω)

τ

sin

4

1

1

1

2

ωτ

4

τ

τ

sin

2 ωτ

s2 (t) = −t / | t |

'

jτ

4

s2 (t) = 2 s

1(t)

S&2 (ω) =

2 ( jω)S&1(ω)

ωτ

4

1

τ

1

1

s3 (t) =

2

δ t

+

2

−

s (t) =

s'

2

(t) =

S

3

(ω) =

( jω)S&

2

(ω) =

2

2 ωτ

3

2

− 2sin

1

τ

τ

s

''

(t)

τ

(jω)

2

S& (ω)

4

=

=

−δ(t) +

δ t −

4

4

2

2

1

1

Итак, n − кратное дифференцирование сигнала по времени приводит к умножению спектральной плотности на комплексный аргумент ( jω)n .

4.7 Интегрирование сигнала во времени

Интегрирование сигнала во времени приводит к сглаживанию быстрых флуктуаций сигнала и, соответственно, к сужению полосы частот.

		t			t ∞
	Φ+	∫s(τ)dτ =			∫ ∫s(τ)dτ e− jω t dt =
	−∞				−∞−∞
	t		1			∞		1	∞	1
	= ∫s(τ)dτ			e− jω t			+		∫s(t)e− jω t dt =		S&(ω) +πS&(0)δ(ω).
			− jω			−∞		jω		jω
	−∞								−∞
			1442443
	14243

S&(ω=0)	πδ(ω)

92

	Φ+			t			1	S&(ω) +πS&(0)δ(ω) .
				∫s(τ)dτ		=			(4.19)
							jω
			− ∞
Здесь lim	1			(e+ jω t − e− jω t )=π lim 2t sinω t					=πδ(ω).
|t|→∞ + iω								|t|→∞ π ω t

Интегрирование во времени приводит к делению спектральной плотности на комплексный параметр ( jω) . Спектральная плотность будет содержать

дельта − функцию в том случае, если

t

lim ∫s(τ)dτ =S&(ω = 0) ≠ 0.

|t|→∞− ∞

Повторное интегрирование сигнала приводит к делению спектральной плотности на комплексный параметр ( jω)2 . Дополнительное слагаемое (производная от δ – функции) перейдет в мнимую часть.

Φ+[δ(x)]=1,

+

τ

1

Φ

∫δ

(x)dx =

+πδ(ω) ,

jω

t

− ∞

+

τ

1

′

Φ

∫

∫δ(x)dxdτ

=

2

+ jπδ (ω) .

(4.20)

− ∞− ∞

(jω)

В таблице 4.3 (стр. 94-95) в компактной форме представлены основные свойства преобразования Фурье (теоремы о спектрах).

4.8 Взаимозаменяемость аргументов ω и t в преобразованиях

Фурье

Сравнение между собой двух преобразований Фурье, прямого и обратного, позволяет сделать заключение о дуальности времени и частоты. Если

S&(ω) является преобразованием Фурье сигнала s(t) , то функция 2π S&(−ω)

будет	результатом		прямого	преобразования	Фурье комплексного сигнала
s(t) , а именно:
	+			Φ	−	&
Φ		&				[S(ω)] = s(t)
		[s(t)] = S(ω)		(4.21)						(4.22)
	+				−[s(ω)] =		1	S&(−t)
Φ		&		Φ
		[S(t)] = 2π s(−ω)					2π

93

4.9 Перемещение спектра сигнала

Использование принципа дуальности позволяет провести рассуждения, аналогичные теореме сдвига. Если спектральной плотности S&(ω) соответст-

вует сигнал s(t) , то смещенной спектральной плотности S&(ω −ωo )

соответ-

ствует сигнал s(t)e jωot .

Φ−[S&(ω −ωo )]=

1

∞S&(ω −ωo )e j(ω−ωo )t e jωot dt = s(t)e jωot .

(4.23)

2π

∫

−∞

Φ−[S&(ω +ωo )]=

1

∞S&(ω +ωo )e j(ω+ωo )t e− jωot dt = s(t)e− jωot .

(4.24)

2π

∫

−∞

Суммируя правые и левые части выражений (4.23) и (4.24), получим

Φ−[S&(ω −ωo )]+ Φ−[S&(ω +ωo )]= s(t)[e jωot

+ e− jωot ]= 2s(t)cos(ωot).

Таким образом, умножение сигнала s(t) на быстроосциллирующую

функцию cosω0t приводит к раздвоению спектральной плотности S&(ω)

на

две симметричные относительно оси ω =0 составляющие

Φ

+

[s(t)cosωot] =

1

&

1 &

(4.25)

2

S(ω −ωo ) +

2

S(ω +ωo ) .

4.10 Дифференцирование спектральной плотности

Дифференцирование спектральной плотности по частоте приводит к умножению сигнала s(t)на параметр (− j) t .

1

∞

1

∞

1

∞

Φ−[S&′

(ω)]=

∫S&′(ω)e jω t dω =

S&(ω)e jω t

−∞ − jt

∫S&(ω)e jω t dω

2π

2π

2π

(4.26)

−∞

−∞

14424443

0

144424443

s(t)

Первое слагаемое в выражении (4.26) равно нулю, т.к. lim S&(ω) = 0.

|ω|→∞

Выполняя n – кратное дифференцирование, получим:

−

&

′

s(t),

Φ [S (ω)]= (− j) t

− &

′′

2

2

Φ

[S

t

s(t),

(4.27)

(ω)]= (− j)

Φ−

[S&(n) (ω)]= (− j)n t n s(t).

n-кратное дифференцирование спектральной плотности приводит к умножению сигнала s(t) на параметр (− j)n (t)n .

Таблица 4.3−Основные свойства преобразований Фурье (теоремы о спектрах)

N

Преобразование сигнала

s(t )

& ω

Преобразование спектральной плотности S ( )

Прямое преобразование

+∞

− jωt

Получение спектральной

1

∫s(t )e

dt

S&(ω)

плотности S&(ω) по заданному

Фурье

−∞

сигналу s(t )

Получение сигнала s(t ) по

1

+∞

jωt

Обратное преобразование

2

заданной спектральной

s(t )

∫S&(ω)e

dω

Фурье

π

плотности S&(ω)

2

−∞

3

Свойство симметрии

s(t )

S&(ω)

Взаимообратимость

преобразований

S&(t )

2πs(−ω)

преобразований Фурье

4

Сложение сигналов

a s

(t ) + a

s

(t )

&

ω

+

&

ω

Сложение спектральных

1

1

2

2

a1S

1 (

)

a2S 2

( )

плотностей

Изменение масштаба

1

& ω

5

времени

s(at )

S

Изменение масштаба частоты

a

a

6

Инверсия аргумента t

s(−t )

&

−ω

=

&

*

ω

Инверсия аргумента ω

S (

)

S

)

(

S&(ω) e− jωt0

Умножение спектральной

7

Сдвиг сигнала во времени

s(t −t0 )

плотности на комплексную

функцию частоты e −jωt0

Умножение сигнала на

s(t ) e jω0 t

Смещение спектральной

8

комплексную функцию

S&(ω −ω0 )

плотности по частоте

времени e jω0t

94

Умножение сигнала на

1 & ω −ω

1 &

Перемещение спектральной

9

s(t ) cos(ω

0

t )

0 )

+

ω +ω

0 )

плотности в области

гармоническую функцию

2 S (

2 S (

положительных и

отрицательных частот

n-кратное

d n

s(t )

n

Умножение спектральной

10

дифференцирование

ω

)

&

ω

)

плотности на параметр ( jω)n

n

сигнала по времени

dt

( j

S

(

Умножение сигнала на

d n

n-кратное

11

t n s(t )

( j )n

S&(ω)

дифференцирование

параметр t n

спектральной плотности по

dωn

частоте

Деление спектральной

Интегрирование сигнала во

t

1

плотности на параметр jω,

∫s(t )dt

&

&

∞

12

времени

S (ω) +πS (0 )δ(ω)

jω

если S&(0) = ∫s(t )dt =0

−∞

−∞

Свертка двух сигналов во

∞

Перемножение двух

13

s1(t ) s2 (t ) = ∫s1

(τ)s2 (t −τ)dτ

S&1(ω)S&2 (ω)

спектральных

времени

−∞

плотностей

Произведение двух

1

∞

Свертка спектральных

14

сигналов

s1(t )s2 (t )

S&1(ω) S&2

(ω) =

∫S&1(Ω)S&2 (ω −Ω)dΩ

плотностей по частоте

2π −∞

95

96

4.11 Свертывание двух сигналов

Свертыванием (сверткой) двух сигналов называется интегральное преобразование вида

∞	∞
s3 (t) = s1(t) s2 (t) = ∫s1(τ)s2 (t −τ)dτ = ∫s1(t −τ)s1(τ)dτ		(4.28)
−∞	−∞

Формально интегральное преобразование (4.28) обозначается значком .

	s2 (−τ)					2								s1(τ)
а)						1
	−τ − 2 −1					0			1			2	3	τ
						6
		s2 (t −τ)										s1(τ)s2 (t −τ)
б)						3
		2 > t > 0				2
														s1(τ)
						1
	−τ − 2				− 2 +t	0				t		2	3	τ
						6
в)												s1(τ)s2	(t −τ)
														s2 (t −τ)

		3				t = 2
		2				s1(τ)
		1
−τ − 2	−1	0	1	t	3	τ

s1(τ)s2 (t −τ)

s2 (t −τ)

г)		3				t	> 2
		2
						s1(τ)
		1
−τ − 2	−1	0	− 2 +t	2	t	τ

Рисунок 4.7 − Геометрическая интерпретация процесса сворачивания двух сигналов: а) t = 0; б) 0 < t < 2; в) t = 2; г) t > 2

На рисунке 4.7 показано несколько стадий процесса сворачивания двух сигналов для четырех моментов времени: t = 0; 0 < t < 2; t = 2; t > 2.

97

Взаимное расположение сигналов s1(τ ) и s2 (t −τ ) меняется. Интервал

взаимодействия сначала растет, а затем остается постоянным. В результате интегрирования произведения двух функций s1(τ ) и s2 (t −τ ) возникает новая

функция s3 (t ). Возможные значения функции s3 (t ) численно равны заштри-

хованной площади, изображенной на рисунке 4.7.

Применяя прямое преобразование Фурье к свертке двух сигналов и меняя порядок интегрирования местами, получим произведение спектральных плотностей.

∞ ∞

Φ+[s1(t) s2 (t)] = ∫ ∫s1(τ)s2 (t −τ)dτ e− jω t dt =

			−∞−∞
∞		∞					∞	(4.29)
= ∫s1(τ) ∫s2 (t −τ)e− jω t dtdτ = S&2 (ω) ∫s1(τ)e− jω τ dτ .
−∞		−∞					−∞
		144424443				14424443
		S&2 (ω)e− jωτ					S&1 (ω)
		Φ+[s1(t) s2 (t)] = S&1(ω)S&2 (ω) .						(4.30)
		s2 (t)					3τ
					&
3					S1	(ω)

0	τ	t	0	ω
	s (t) = 2e−α t			2/α
			S&2 (ω)
2	1
0	τ	t	0	ω
	s3 (t)		S&3 (ω)

0	τ	t	− 2π	0	2π	τ	ω
				τ
Рисунок 4.8 − Графическое представление двух сигналов s1(t), s2 (t)
и результата их свертки s3 (t)			во временной и частотной областях

98

На рисунке 4.8 показаны сворачиваемые сигналы и результат свертки во временной и частотной областях. В результате свертки прямоугольного импульса с односторонней экспоненциальной функцией во временной области произошло сглаживание импульса, исчезли разрывы. В частотной области перемножение спектральных плотностей привело к уменьшению эффективной ширины спектра прямоугольного импульса.

4.12 Произведение двух сигналов

Нетрудно показать, что преобразование Фурье от произведения двух сигналов равно свертке спектральных плотностей

∞

∞

1

∞

Φ+[s1 (t)s2 (t)] = ∫s1 (t)s2 (t)e− jω t dt = ∫

∫S&1 (Ω)e− jΩt dΩ s2

(t)e− jω t dt =

2π

∞

−∞

−∞

144424443

s1

(t )

1

∞

∞

− j(ω−Ω)t

1

∞

=

∫S&1

(Ω) ∫s2

(t)e

dt dΩ =

∫S&1 (Ω)S&2 (ω −Ω)dΩ,

2π

2π

−∞

−∞

−∞

144424443

S&2 (ω−Ω)

Φ+[s1(t)s2 (t)] = S&1(ω) S&2 (ω) .

(4.31)

4.13 Взаимная корреляционная функция сигналов

Взаимной корреляционной функцией (ВКФ) двух сигналов называется интегральное преобразование вида:

∞

B12 (τ) = ∫s1(t)s2 (t −τ)dτ ,

−∞

∞

B21(τ) = ∫s2 (t)s1(t −τ)dτ .

−∞

ВКФ характеризует энергию взаимодействия двух сигналов, один из которых сдвигается по закону (t − τ).

Применяя прямое преобразование Фурье к ВКФ, получим:

99

Φ+[B (τ)]=

∞

∞s (t)s

2

(t −τ)dte− jωτ dτ = ∞s

(t)

∞s

2

(t −τ)e− jωτ dτdt =

12

∫

∫ 1

∫ 1

∫

−∞−∞

−∞

−∞

144424443

&*

(ω)e

− jω t

S2

∞

= S&2 (ω) ∫s1(t)e− jω t dt = S&1(ω)S&2 (ω),

−∞

Φ

+

[B12 (τ)]=W12 (ω) = S&1

(ω)S&2

(ω)

(4.32)

+

[B21(τ)]

&

.

Φ

&

=W21(ω) = S2

(ω)S1

(ω)

4.14 Автокорреляционная функция сигнала

Автокорреляционной функцией (АКФ) называется интегральное преобразование вида:

∞
B(τ) = ∫s(t)s(t −τ)dτ .	(4.33)

−∞

АКФ характеризует энергию взаимодействия сигнала и его копии, сдвинутой во времени.

Применяя преобразование Фурье к АКФ, получим

∞ ∞		∞		∞
Φ+[B(τ)]= ∫ ∫s(t)s(t −τ)dte− jωτ dτ = ∫s(t) ∫s(t −τ)e− jωτ dτdt =
−∞−∞		−∞		−∞
				144424443
				S&* (ω)e− jωt	(4.34)
∞				2.
= S&*(ω) ∫s(t)e− jω t dt = S&*(ω)S&(ω) =		S&(ω)

−∞

Спектральная плотность АКФ, равная квадрату модуля спектральной плотности сигнала, называется энергетическим спектром детерминирован− ного сигнала и обозначается W (ω) .

Φ+	τ	=	ω	= & ω &* ω	(4.35)
	[B( )]		W ( )	S( )S ( ) .

Таким образом, автокорреляционная функция B(τ) и энергетический спектр W (ω) связаны между собой преобразованиями Фурье.

100

	∞
W (ω) = ∫B(τ)e− jωτ dτ
	−∞					(4.36)
	1		∞		.
				jωτ
B(τ) =			∫W (ω)e		dω
	2π
			−∞

Полная энергия сигнала может быть определена по АКФ при условии, что τ = 0 .

∞
Э = В(0)= ∫s2 (t)dt .	(4.37)

−∞

Расчет полной энергии можно выполнить по энергетическому спектру

Э =

1

∞S&(ω)S&*(ω)dω.

(4.38)

2π

∫

−∞

Нетрудно показать, что (4.37) и (4.38) дают один и тот же результат:

∞

∞

∞

∫s2 (t )dt = ∫

1

∫S&(ω)e jω t dω s(t )dt =

2π

−∞

−∞

−∞

144424443

s(t )

(4.39)

1

∞

∞

1

∞

jω t

&*

&

&

∫

dω

∫S(ω)S (ω)dω.

= 2π

S(ω) ∫s(t )e

dt =

2π

−∞

−∞

−∞

1442443

S&* (ω)

4.15 Выводы

1. В функциональных узлах канала связи сигналы подвергаются различным линейным и нелинейным преобразованиям. К линейным преобразованиям относят суммирование, усиление, дифференцирование, интегрирование, задержку во времени и свертку во времени. В результате нелинейных преобразований сигналов происходит свертка спектральных плотностей, перемещение спектров сигналов из одной области частотной оси в другую и т.п.