ртцис

41

T = 2π ω		укладывается			целое	число периодов интегрируемой					функции
	1
T	= 2π	(2nω1 )	. Откуда
2n
				A2 t1 +T
				n	∫cos 2[nω1t +ϕn ]dt = 0 .						(2.16)
				2
					t1
	Средняя мощность n−го гармонического сигнала определяется как
						Э			A2
					Pn =	n	=		n	.	(2.17)
									2
						T
	Произведение двух гармонических колебаний sn (t) и sm (t) можно
трактовать как мгновенную взаимную мощность pnm (t)
					pnm (t)= sn (t) sm (t).						(2.18)
	Наиболее замечательным свойством гармонических сигналов является
тот факт, что энергия взаимодействия									Эnm двух любых ( n ≠ m )		гармоник

равна нулю, если интервал интегрирования равен периоду первой гармоники. Произведение двух высших гармоник с частотами nω1 и mω1 нетрудно пре-

образовать в сумму двух гармонических колебаний с частотами (n ± m)ω1, интегрирование которых на интервале длиной T приведет к нулю, поэтому

t1	+T				t1	+T
Эnm =	∫ sn (t)sm (t)dt =					∫An Am cos(nω1t +ϕn )cos(mω1t +ϕm )dt =
	t1					t1
				t	+T
	=	1	An Am	1	∫cos[(n + m)ω1t +ϕn +ϕm ]dt +
		2
				t1		(2.19)
				t	+T
	+ 12 An Am			1	∫cos[(n − m)ω1t +ϕn −ϕm ]dt = 0.
					t1

Энергия суммы гармонических колебаний ЭΣ равна сумме энергий отдельных слагаемых, так как энергия взаимодействия Эnm равна нулю:

t1	+T
ЭΣ =	∫[sn (t)+ sm (t)]2 dt =
	t1

42

t1

+T

n

t1

+T

m

t1

+T

n

m

A2

∫

∫

∫

2

=

s

2 (t)dt

+

s

2

(t)dt

+ 2

s

(t)s

(t)dt =

n

t1

t1

t1

14243

14243

1442443

Эn

Эm

Эnm

t1 +T

N

2

N

2

ЭN =

∫

∑sn (t) dt = ∑

An

T .

2

t1

n=1

n=1

+ Am2 T , 2

(2.20)

В курсе высшей математики системы функций, обладающие подобным свойством, называются ортогональными. Гармонические колебания кратных частот ортогональны на интервале времени, равном периоду первой гармоники.

2.6 Разложение произвольного периодического сигнала по гармоникам

Сложение гармоник приводит к образованию периодической функции с нулевым средним значением. Учтем в (2.14) постоянную составляющую (ненулевое среднее значение) введением специального коэффициента, например

ao 2 . Получим известное из математики выражение

2

∞

∑

sΣ(t)=

ao

+

An cos(nω1t +ϕn ).

(2.21)

n=1

ao

Перейдем к комплексной форме записи. Ненулевое среднее значение

2

обозначим коэффициентом

C

o

. С учетом обозначений, примененных в

(2.10), преобразуем (2.21) к виду

∞

sΣ(t) =

∑C&ne jnω1t .

(2.22)

n=−∞

Уместен вопрос, всякую ли периодическую функцию s(t)

можно пред-

ставить суммой гармоник sΣ(t)? И как рассчитать параметры гармоник: ам-

плитуду An ,

частоту nω1, начальную фазу ϕn и величину постоянной со-

ставляющей

Co =

ao

?

2

Мгновенное значение погрешности представления определяется разностью мгновенных значений исследуемого периодического сигнала s(t) и суммы гармоник sΣ(t):

43

∞

ε(t)= s(t)− sΣ(t)= s(t)−

∑C&ne jnω1t .

(2.23)

n=−∞

Определим энергию погрешности

ε(t) за период T

ε

t1

+T

t1

+T

∞

n

2

=

∫

ε

2 (t)dt =

∫

∑

C&

e jnω1t

(2.24)

Э

s(t)−

.

t

t

n=−∞

1

1

Найдем условия, при которых энергия погрешности будет стремиться к нулю. Потребуем, чтобы коэффициенты C&n были выбраны из условия минимума энергии погрешности. Для этого продифференцируем правую и левую части уравнения (2.24) по переменным C&o ,C&1,C&−1,...,C&k и приравняем их к

нулю. Запишем бесконечную систему уравнений, каждое из которых выглядит следующим образом:

		t		+T		∞			2
∂			1
				∫		∑
										dt = 0 .	(2.25)
∂C
					s(t)−		C&ne jnω1t
	k			t		n=−∞
				1

Выполним дифференцирование по комплексному коэффициенту C&k

t1 +T		∞				e jkω1t dt = 0 .
∫	2 s(t)−	∑	C&	n	e jnω1t
t		n=−∞
1

Осуществляя почленное интегрирование, найдем

t1	+T
	∫ s(t)e jkω1t dt −
	t1
t1	+T
	∫ s(t)e jkω1t dt =

t1

∞

∑ C&n

n=−∞

∞

∑ Cn

n=−∞

t1	+T
	∫e jkω1te jnω1t dt = 0 или
	t1
t	+T
1	∫e j(n+k )ω1t dt .

t1

(2.26)

(2.27)

Интегрируя комплексную функцию, получим

	t1+T	0, n ≠ −k,
	∫		(2.28)
		ei(n+k )ω1t dt =
	t1	T , n = −k.

44

Подставляя (2.28) в (2.27), определим C&n

t1 +T

∫s(t)e− jnω1t dt =Cn T или

t1

t1 +T

C&n = T1 ∫s(t)e− jnω1t dt . (2.29)

t1

Представим комплексный коэффициент C&n суммой действительной и мнимой частей и сравним с (2.11):

t

+T

t

+T

C&n =

1

1

∫s(t)cos nω1tdt − j

1

1

∫s(t)sin nω1tdt ,

T

T

(2.30)

t1

t1

144424443

144424443

1

2

a

n

1

2

b

n

C&n =

1 (an − jbn ) ,

&

(2.31)

an = 2 ReCn ,

2

bn = −2 ImC&n

C&n = 12 An = 12 an2 + bn2 , ϕn = arg C&n = −arctg bn an .

Подводя итоги, можно сказать, что любой периодический сигнал может быть представлен бесконечной суммой гармонических колебаний и постоянной составляющей. Энергия погрешности стремится к нулю, если количество гармоник стремится к бесконечности.

В математической и специальной литературе разложение периодического сигнала по тригонометрическим либо комплексным функциям (тригонометрическому либо комплексному базису) называют рядом Фурье. Одинаково широко применяются три формы записи ряда Фурье. Чаще других в формулах для расчета коэффициентов применяют симметричные пределы

интегрирования ± T2 . Основные расчетные соотношения представлены в таб-

лице 2.1.

45

Таблица 2.1 – Ряды Фурье и расчетные соотношения для тригонометрического и комплексного базисов

№

Формы записи ряда Фурье

Формулы для расчета коэффициен-

тов

∞

1

T 2

1

s(t)= ∑C&ne jnω1t

C&n =

∫s(t)e− jnω1t dt

T

n=−∞

−T 2

ao

1

T 2

=C&o =

∫s(t)dt

∞

2

T

ao

−T 2

s(t)=

+

∑

a

n

cos nω t +

2

1

2

T 2

2

n

=1

a

n

=

∫

s(t)cos(nω t)dt

∞

T

1

+ ∑bn sin nω1t

−T 2

T 2

n=1

2

bn =

∫s(t)sin(nω1t)dt

T

−T 2

ao

∞

An

=

an2 +bn2 = 2 C&n

s(t )=

+

∑

A

cos(nω t +ϕ )

2

n

1

n

= −arctg bn = argC&

3

n=1

ϕn

∞

an

s(t )=Co + ∑2

Cn

cos(nω1t +ϕn )

C&

n

=

1 (a

n

− jb )

n=1

2

n

2.7 Анализ внутренней структуры периодического сигнала

Сравнивая приведенные в таблице 2.1 формы записи ряда Фурье, видим, что каждая из них имеет свои преимущества, например:

		ao	∞		∞
	s(t )=		+ ∑an cos nω1t + ∑bn sin nω1t .
	2		n=1		n=1
	144424443				1442443
			sчет(t )		sнеч(t )
	sчет(t) − четная во времени			sнеч(t) − нечетная во времени
	составляющая сигнала s(t)			составляющая сигнала s(t)

Любой сигнал общего вида представляет собой сумму четной и нечетной составляющих. Четный сигнал s(t )= s(−t) в разложении будет иметь

46

только косинусоидальные составляющие. Нечетный сигнал s(t)= −s(−t) в разложении будет иметь только синусоидальные составляющие. Постоянная составляющая входит только в состав четной компоненты сигнала.

Если ведется компьютерный анализ, то наиболее выгодным представляется комплексный ряд Фурье с универсальной расчетной формулой (2.29) для

определения комплексного коэффициента C&n .

Переход к тригонометрическому ряду общего вида не вызывает про-

блем:

∞
s(t)=Co + ∑2		C&n		cos(nω1t + argC&n ).	(2.32)
n=1

Расчет коэффициентов разложения существенно упрощается, если периодический сигнал имеет различные виды симметрии за период T . Пусть математическое описание периодического сигнала удовлетворяет равенству

s(t )= −s(t −T	2	).	(2.33)

Такой сигнал обладает зеркальной симметрией, то есть повторяется через половину периода с противоположным знаком. Если в математическом описании сигнала выполняется равенство

s(t)= s(t −T

2

),

(2.34)

то такой сигнал повторяется полностью не через интервал T , а через T

2

.

виду

С учетом (2.33) расчетная формула (2.29) может быть преобразована к

+T

t

1 t1 ∫+T

s(t −T

) e− jnω1t dt =

C&n =

1

1 ∫ 2 s(t) e− jnω1t dt −

2

T

t1

T t

1

+T

2

1

t

1

+T

2 s(t) e− jnω1t dt −

1 t1 ∫+T

s(t −T

) e− jnω1 (t −T 2) e

− jnω1 T 2d (t −T

)=

=

∫

2

2

T

t1

T t

1

+T

2

1

t1 +T

t1 +T

=

∫

2 s(t) e− jnω1t dt −

1

∫

2 s(t) e− jnω1t dt e− jnω1 T

2 .

T

t1

T

t1

47

− jnω

T

1

t

1

+T

2

s(t) e− jnω1t dt

C&

=

1 −e

1

2

∫

n

,

T

t1

1−e

− jnπ

0,

n = 2,4,6...

=

n =1,3,5...

2,

t

+T

1

2

C&n

2

∫s(t) e

− jnω1t

dt,

n =1,3,5...

=

T

t

1

n = 2,4,6...

0,

В таблицах 2.2 и 2.3 приведены модели периодических сигналов и соответствующие им расчетные формулы коэффициентов разложения для различ-

ных видов симметрии относительно двух точек: t1 = 0 и t2 =T 4 .

2.8 Энергетические характеристики периодического сигнала сложной формы

Если s(t) представляет собой напряжение или ток, то квадрат сигнала

s2 (t) численно равен мгновенной мощности ps (t), рассеиваемой на сопро-

тивлении нагрузки 1 Ом.

Энергия периодического сигнала, расходуемая за период, равна

	t1		+T
Э =			∫s2 (t)dt .
			t1
Средняя мощность сигнала равна отношению энергии к периоду
		t		+T
P =	1		1	∫s2 (t)dt .
	T
				t
				1
Среднюю мощность периодического сигнала, представленного рядом

Фурье, можно оценить по спектру как сумму мощностей отдельных гармонических составляющих

∞

2

a

2

1

∞

a

2

1

∞

(a2

+ b2 ).

P =

C&

o

A2

o

=

+

=

+

(2.36)

∑

n

2

2

∑ n

2

2

∑

n

n

n=−∞

n=1

n=1

Таблица 2.2 − Модели периодических сигналов с различными видами симметрии

Симметрия

Симметрия относительно t =T

относительно

T

T

4

T

t = 0

−

s(t ) ≠ s t −

s(t ) = −s t

s(t ) = s t −

2

2

2

s(t)

s(t)

s(t)

s(t ) - сигнал

T

2

общего вида

0

T

T

t

0

T

t

0

T

T

t

2

2

s(t)

s(t)

s(t)

48

s(t ) -четный

T

2

сигнал

0

T

T

t

0

T

t

0

T

T

t

2

2

s(t)

s(t)

s(t)

s(t ) -нечетный

T

2

сигнал

0

T

t

T

0

T

t

0

T

T

t

2

2

Таблица 2.3 − Коэффициенты ряда Фурье для периодических сигналов с различными видами симметрии

Симметрия

Симметрия относительно t =T

относительно

T

T

4

T

t = 0

−

s(t ) ≠ s t −

2

s(t ) = −s t

2

s(t ) = s t −

2

T

2

T 2

2

T 2

s(t ) - сигнал

1

2

−jnω t

0∫

s(t )e− jnω1t dt , при

0∫

s(t )e− jnω1t dt ,при

C&n

общего вида

=

T

∫s(t )e

1 dt

C&

n

=

T

C&

n

=

T

−T

2

n = ±1,±3,±5,±7,±9...

n =0,±2,±4,±6,±8...

0,

при

0,

при

n = 0,±1,±2,±3........

n =0,±2,±4,±6,±8...

n = ±1,±3,±5,±7,±9...

b =0;

a

=

2 T 2

bn =

0;

a0

=0

b = 0;

a

=

4 T 4

49

0

∫

s(t )dt

0

∫

s(t )dt

n

2

T

2

n

2

T

s(t ) -четный

T

0

T

T

0

сигнал

2

T8

4

an =T8

4

an =T4

∫s(t ) cos( nω1t )dt

an =

∫s(t ) cos( nω1t )dt

∫s(t ) cos( nω1t )dt

0

0

0

n =1,2,3,4........

n =1,3,5,7........

n = 2,4,6,8,10........

a = 0 ; a0

=0

a = 0 ; a0

=0

a = 0 ; a0

=0

n

2

n

2

n

2

s(t ) -нечетный

T

T

T

2

4

4

4

8

8

сигнал

∫s(t )sin( nω1t )dt

∫s(t )sin( nω1t )dt

∫s(t )sin( nω1t )dt

bn

=T

bn =T

bn =T

0

0

0

n =1,2,3,4........

n =1,3,5,7........

n = 2,4,6,8,10........

50

На практике при анализе сигналов ряд Фурье ограничивают (усекают)

конечным числом гармоник N .

Сигнал, представленный усеченным рядом,

называют оценкой sN (t ). Средняя мощность PN усеченного ряда Фурье или

оценки sN (t) равна

N

2

N

a

PN =

∑

Cn

2

∑

An2 .

(2.37)

2

2

=

o

+ 1

n=1

n=−N

Абсолютная погрешность ε(t) описания сигнала s(t)

усеченным рядом

Фурье sN (t) определяется разностью мгновенных значений сигнала и оценки

N

ε(t)= s(t)− sN (t)= s(t)− ∑C&ne jnω1t .

n=−N

Средняя мощность погрешности или квадрат среднеквадратического

значения абсолютной погрешности <ε2 (t)>

найдется по аналогии с (2.23)

	t1	+T		t1	+T
ε2 (t) = T1		∫ ε2 (t)dt =	1		∫	s(t)−
			T
		t			t
		1			1

N		n		jnω t 2
∑	C&		e
				1 dt .
n=−N

Возводя подынтегральное выражение в квадрат и выполняя почленное интегрирование, получим

ε2 (t) = T1

t1 +T

1

N

t1

+T

∫s2 (t)dt − 2

∑ C&n

∫s(t)e jnω1t dt +

T

t1

n=−N

t1

14243

1444442444443

P

N

C&n

2

2

∑

n=−N

1

N

N

t1 +T

(k +n)ω1t dt,

+

∑ ∑ C&nC&k

∫e j

T n=−N k

=−N

t1

144444424444443

N

2

∑

C&n

t1 +T

n=−N

t1+T

0

, n ≠ −k,

где

∫ s(t)e jnω1t dt =T C&n ,

∫e j(k +n)ω1t dt =

, n = −k.

t1

t1

T

Таким образом, средняя мощность погрешности равна разности мощно-

стей сигнала s(t) и оценки sN (t)

N

2 +

N

2 = P − PN .

ε2 (t) = P − 2 ∑C&n

∑C&n

(2.38)

n=−N

n=−N