Ма1_СТУД

	дить для функции z = f(x; y).
	Так как частные производные	@f(x; y)		@f(x; y)
		@x è		@y являются функция-

ми, то для них также можно находить частные производные. Это будут

частные производные второго порядка :

@2f(x; y)

@ @f(x; y)

@2f(x; y)

@ @f(x; y)

=

;

=

;

@x2

@x

@x

@x@y

@y

@x

@2f(x; y)

@ @f(x; y)

@2f(x; y)

@ @f(x; y)

=

;

=

:

@y@x

@x

@y

@y2

@y

@y

Частные производные

@2f(x; y)

@2f(x; y)

@x@y

è @y@x

называют смешанными

производными. Они отличаются порядком дифференцирования.

В этих примерах смешанные производные равны между собой. Возникает вопрос всегда ли выполняется подобное равенство. Ответ на него дает теорема.

Теорема 18.1. Если у функции z = f(x; y) в точке M0(x0; y0) и некото-

	рой ее окрестности существуют частные производные				@z		@z	@2z
		@2z			@x, @y, @x@y è
							M0(x0; y0),
		@y@x	, причем смешанные производные непрерывны в точке
	то их значения в точке M0(x0; y0) равны, то есть			@2z		=	@2z
				@x@y			@y@x.

Можно определить частные производные любого порядка для функции, зависящей от любого числа переменных. Утвержение, аналогичное теореме 18.1 можно сформулироать и доказать для частных производных любого порядка, отличающихся лишь порядком дифференцирова-

ния. Например,

@2f(x; y; z)

@3z

@

@2z

@3z

@

@2z

@

@f(x; y; z)

@x3

=

@x2 ,

=

@x2

,

=

,

@x

@x2@y

@y

@x2

@x

@x

@2f(x; y; z)

@

@f(x; y; z)

@3f(x; y; z)

@

@2f(x; y; z)

=

,

=

è ò.ä.

@x@y

@y

@x

@x@y@z

@z

@x@y

101

19. Дифференциалы высших порядков.

В x8 был определен дифференциал порядка n от скалярной функ-

ции скалярного аргумента. Аналогично вводятся дифференциалы высших порядков для функции векторного аргумента

Дифференциалом второго порядка называется дифференциал от первого дифференциала.

d2y = d(dy)

(19:1)

Дифференциалом порядка n называется дифференциал от дифференци-

ала порядка n 1.

dny = d(dn 1y)

(19:2)

Выведем формулу для вычисления дифференциалов различных порядков.

Пусть z = f(x; y) непрерывная функция, имеющая непрерывные частные производные первого и второго порядков. Тогда

@ @z

@

@z

@2z

2

@x@2z

@2z

2,

d2z = d(dz) = d

@z dx +

@z dy =

@

@z dx

dx +

@

@z dx

dy +

@x

@y

@x

@y

@x

@ydy dx +

@ydy dy = @x2 dx

+ 2

dxdy + @2ydy

@x

@y

@x@y

@2z

@

2z

@2z

d2z =

dx2

+ 2

dxdy +

dy2

(19:3)

@x2

@x@y

@2y

Рассуждая как в x8, можно вывести формулу для вычисления дифференциала порядка n для функции двух переменных

		n	@nz
		Xk
	dnz =		@kx@n kydxkdyn k		(19:4)
		Cnk
		=0

Пусть задана функция от n переменных y = f(x1; x2; : : : ; xn). Тогда второй дифференциал можно вычислить по формуле

	n	@2y
d2y =	X
			dxidxj	(19:5)
	i;j=1	@xi@xj

или в операторном виде

d2y =	@x1 dx1 + : : : +			@xn dxn		2	(19:6)
						f(x1; : : : ; xn)
		@y		@y

102

Для дифференциала порядка n вычислительная формула имеет вид

dny =	@x1 dx1 + : : : +			@xn dxn		n	(19:7)
						f(x1; : : : ; xn)
		@y		@y

Åñëè x1; : : : ; xn не являются независимыми переменными, то

n	@2y	n	@y
X		Xi
d2y =	@xi@xj	dxidxj +		d2xi	(19:8)
i;j=1		=1	@xi

Сравнивая формулы (19.4) и (18.8), видим, что форма второго дифференциала изменилась. Появилось дополнительное слагаемое. Следовательно, второй дифференциал инвариантностью формы не обладает.

20. Производная сложной функции векторного аргумента.

Не уменьшая общности, можно проводить все рассуждения для функции двух переменных.

1. Пусть функция z = f(x; y) определена в области D R(2), à

функции x = x(t), y = y(t) определены на промежутке (a; b). Тогда z(t) = f(x(t); y(t)) сложная функция от переменной t. Если существу-

ют непрерывные частные производные

@f

@f

@x, @y и непрерывные производ-

íûå

dx

dy

z(t) также имеет производную, которая вычис-

dt , dt , то функция

ляется по формуле

dz

@f

dx

@f

dy

=

+

(20:1)

dt

@x

dt

@y

dt

Для доказательства формулы зададим приращение t переменной t. Функции x(t) и y(t) получат приращения x и y соответственно. Этим приращениям будет соответствовать приращение функции f = z. По формуле (16.6) приращение функции z(t) будет иметь вид

z = @f@x x + @f@y y + x + y;

где и бесконечно малые функции. Разделим обе части этого равенства на t и перейдем к пределу при t ! 0:

lim

z

= lim

@f x

@f y

x

y

=

@f dx

+

@f

dy

t

@x t +

@y t +

t +

t

@x dt

@y

dt .

t!0

t!0

103

2. Пусть z = f(t), где t = t(x; y) ((x; y) 2 D R(2), t(x; y) 2 (a; b),

D(f) = (a; b) и область D(f) определения функции z и множество значе- ний E(t) функции t согласованы). Тогда z = f(t(x; y)) сложная функ-

ция двух переменных. И пусть существуют непрерывные производные

df @t @t

z = f(t(x; y)) имеет частные производные,

dt, @x, @y. Тогда функция

которые вычисляются по формулам

@z

df

@t

@z

dz

@t

=

;

=

(20:2)

@x

dt

@x

@y

dt

@y

3. Пусть z = f(u; v), где u = u(x; y), v = v(x; y) ((x; y) 2 D(f) и D(f)

согласована с E(u), E(v)). Тогда z = f(u(x; y); v(x; y)) сложная функ-

ция двух переменных. И пусть существуют непрерывные производные

@f @f @u

@u

@v

@v

@u, @v , @x,

@y ,

@x,

@y. Тогда функция z = f(u(x; y); v(x; y)) имеет

частные производные, которые вычисляются по формулам

@z

@z

@u

@z

@v

@z

@z

@u

@z

@v

=

+

=

+

(20:3)

@x

@u

@x

@v

@x

@y

@u

@y

@v

@y

Для сложной функции двух переменных z = f(u(x; y); v(x; y)) вычис-

лим дифференциал.

dz =

@f

dx+

@f

dy =

@f

@u

+

@f

@v

@x

@y

@u

@x

@v

@x

@f

@u

@u

@f

@v

@v

@u

@xdx +

@y dy

+

@v

@xdx +

@ydy

dx+ @f@u @u@y + @f@v @y@v dy = = @f@udu + @f@v dv.

Таким образом, мы доказали, что первый дифференциал для функции многих переменных обладает инвариантностью формы, то есть не меняет свой вид, если функция z является сложной функцией.

21. Производная параметрически заданной функции.

Зависимость функции y от аргумента x не всегда выражается фор-

мулой, непосредственно связывающей x и y. Иногда эта связь осуществ-

ляется с помощью новой переменной, называемой параметром.

(

y	=	y(t)	(21:1)
	=	(t 2 [ ; ])
x		x(t)

104

В этом случае говорят, что функция y(x) задана параметрически. Если x и y рассматривать как декартовы координаты точки на плоскости, то

уравнения (21.1) каждому значению параметра t ставят в соответствие

точку на плоскости. Множество этих точек образует на плоскости кривую. Уравнения (21.1) называют параметрическими уравнениями кривой.

Если в параметрическом задании функции из второго уравнения можно выразить t = '(x) и подставить это выражение в первое уравнение,

то получим явное задание функции y = y('(x)).

Предположим, что функции y(t) и x(t) непрерывны, дифференцируемы, причем x0(t) 6= 0 (тогда существует обратная функция t = '(x)).

Применяя правила дифференцирования сложной и обратной функций, получим yx0 = yt0 t0x = yt0 10 = yt00 .

xt xt

Таким образом, производная функции, заданной параметрически нахо-

дится по формуле

yt0

8 yx0

=

xt0

(21:2)

< x = x(t)

:

yt0

0

t

=

yt002 xt0 yt0xt002

.

Найдем вторую производную этой функции: y00

=

xt0

Вторая производная находится по формуле

x

xt0

(xt0)3

t00

(21:3)

8 yx00 =

t00

x(t0xt0)3 t0

y 2

y

x 2

<

: x = x(t)

22. Производная неявно заданной функции.

Пусть задано уравнение

F (x; y) = 0:

(22:1)

Функция F (x; y) определена в прямоугольнике [a; b] [c; d]. Если для каждого x 2 [a; b] существует единственный y 2 [c; d] такой, что пара

105

(x; y) удовлетворяет уравнению F (x; y) = 0, то говорят, что это урав-

нение определяет y как неявную функцию от x (хотя это представление

часто бывает достаточно сложным). Если нам удалось каким-либо способом найти зависимость y = f(x), то подставив функцию y = f(x) в

уравнение F (x; y) = 0, получим тождество F (x; f(x)) 0.

Ответ на вопрос, когда существует неявно заданная функция, при каких условиях она дифференцируема, и как найти ее производную дает теорема.

Теорема 22.1. Задано уравнение F (x; y) = 0 и функция F (x; y) удовле-

творяет следующим условиям:

1)функции F (x; y), Fx0(x; y), Fy0(x; y) определены и непрерывны в прямоугольнике [x0 ; x0 + ] [y0 ; y0 + ];

2)F (x0; y0) = 0;

3)Fy0(x0; y0) 6= 0.

Тогда справедливы утверждения:

a)в некоторой окрестности (x0 ; x0 + ) (y0 ; y0 + ) уравнение (22.1) определяет неявную функцию y = y(x);

b)в промежутке (x0 ; x0 + ) функция y = y(x) непрерывна и имеет

непрерывную производную, которая вычисляется по формуле

y0			F 0	(x; y)
	x		x			:
		) = Fy0
(				(x; y)		(22 2)

Формулу (22.2) можно получить, продифференцировав по x уравнение

(22.1)

Fx0 + Fy0 y0 = 0:

Продифференцировав по x это уравнение, найдем вторую производную

Fx002 + Fxy00 y0 + Fy002 (y0)2 + Fy0 y00 = 0

(22:3)

Из этого уравнения выражаем y00:

y00 =	Fx002 + Fxy00 y0 + Fy002 (y0)2	(22:4)
	F 0
	y

106

Пусть задано уравнение

F (x; y; z) = 0

(22:5)

Если для каждой точки (x; y) 2 D существует единственный z такой,

что тройка (x; y; z) удовлетворяет уравнению F (x; y; z) = 0, то говорят,

что это уравнение определяет z как неявную функцию от x и y. Если нам

удалось каким-либо способом найти зависимость z = f(x; y), то подста-

вив функцию z = f(x; y) в уравнение F (x; y; z) = 0, получим тождество

F (x; y; f(x; y)) 0.

Можно также сформулировать теорему о существовании и дифференцируемости неявно заданной функции от двух переменных. Тогда в окрестности точки M0(x0; y0) будет существовать неявная функция z = f(x; y) и ее частные производные можно вычислить по формулам

z0		F 0	(x; y; z)		z0	Fy0(x; y; z)
		x		;					:
	= Fz0					= Fz0(x; y; z)
x			(x; y; z)		y				(22 6)

23. Экстремум функции нескольких переменных.

Локальный эктремум для функции многих переменных определяется так же как для функции одной переменной.

Пусть f : X R(n) ! Y R, òî åñòü y = f(x1; x2; : : : ; xn). Òî÷- êà x0 = (x01; x02; : : : ; x0n) 2 X называется точкой локального максимума (локального минимума) функции y = f(x1; x2; : : : ; xn), если существует окрестность U (x0) точки x0 такая, что для всех x 2 U_ (x0) выполняется неравенство f(x) 6 f(x0) (f(x) > f(x0)).

Теорема 23.1. (необходимое условие экстремума) Если дифференцируемая функция y = f(x1; x2; : : : ; xn) имеет экстремум в точке x0 = (x01; x02; : : : ; x0n) и частные производные функции непрерывны в неко- торой окрестности точки x0, то все частные производные функции в этой точке равны 0, то есть

@f(x0)	=	@f(x0)	= : : : =	@f(x0)	= 0	(23:1)
@x1		@x2		@xn

107

точка минимума.

Если в точке x0 = (x01; x02; : : : ; x0n) функция y = f(x1; x2; : : : ; xn) имеет максимум, то функция y1 = f(x1; x02; : : : ; x0n) как функция одной пере- менной x1 имеет в точке x1 = x01 максимум. Следовательно, частная

производная @f(x0) = 0. Аналогично получаем равенство нулю частных
@x1
производных и для других переменных.
Условие (23.1) можно записать иначе.
df(x0) = @f(x0)dx1 +	@f(x0)dx2 + : : : +	@f(x0)dxn = 0	(23:2)
@x1	@x2	@xn

Точки, в которых выполняется равенство (23.1) называются стационарными.

Равенство df(x0) = 0 является необходимым, но не достаточным условием существования экстремума функции векторного аргумента. Сформулируем достаточные условия экстремума, использовав второй дифференциал.

Теорема 23.2. (достаточное условие экстремума) Пусть функция y = f(x1; x2; : : : ; xn) дважды дифференцируема в окрестности точки

x0 и частные производные первого и второго порядка функции непрерывны в некоторой окрестности точки x0. Пусть df(x0) = 0 (x0 стационарная точка). Если d2f(x0) > 0, òî x0

Åñëè d2f(x0) < 0, òî x0 точка максимума.

Для анализа величины второго дифференциала d2f нужно применить

критерий Сильвестра. Второй дифференциал

2

@2f

2

@2f

2

@2f

@2f

d

f =

@x12 dx1

+: : :+

@xn2 dxn

+2

dx1dx2

+: : :+2

dxn 1dxn

@x1@x2

@xn 1@xn

представляет собой квадратичную форму относительно переменных dx1; dx2; : : : ; dxn приращений независимых аргументов. Матрица этой

108

квадратичной формы имеет вид

0 @2f(x0) @2f(x0)

Q = B	@x12					@x1@x2
	@2f(x ) @2f(x									)
	0					0
	@x1@x2					@x2
B		: : :						2
B							: : :
B
B	2				2		f(x0)
B	@	f(x0) @
B
	@x		@x	n		@x		@x	n
B		1					2
@

:: :

:: :

:: :

:: :

@2f(x0) 1

@x1@xn C

@2f(x0) C C

@x2@xn C:

C

C

: : : C

C

@2f(x0) A

@x2n

Согласно критерию Сильвестра d2f(x0) положительно определен, если все главные миноры матрицы Q положительны, и отрицательно определен, если 1 < 0 и знаки главных миноров матрицы чередуются.

Рассмотрим функцию двух переменных z = f(x; y), где f(x; y) дважды дифференцируемая функция. Если в точке M0(x0; y0) частные про-

	изводные равны нулю	@z(M0)	= 0	è	@z(M0)	= 0 èëè, ÷òî òîæå, îá-
		@x			@y
	ращается в ноль дифференциал dz			=	@z dx +		@z dy = 0, то в точке
					@x		@y

M0 функция может иметь экстремум. Геометрический смысл необходи-

мых условий экстремума функции двух переменных состоит в том, что в стационарных точках касательная плоскость к поверхности z = f(x; y)

параллельна плоскости XOY .

Заметим, что экстремум может быть не только в тех точках, в которых частные производные равны нулю, но и в тех точках, в которых хотя бы одна из частных производных не существует.

Для проверки достаточных условий существования экстремума выпишем второй дифференциал

2		@2z(M0)			2		@2z(M0)		@2z(M0) 2
d	f(M0) =			dx		+ 2		dxdy +		dy	:
		@x2							@y2
							@x@y

Иногда то, что второй дифференциал является знакоопределенным, можно проверить непосредственно. Тогда можно сразу сказать, имеет ли функция z = f(x; y) в точке M0 экстремум и какой это экстремум.

Рассмотрим, как исследовать на экстремум функцию двух переменных с помощью критерия Сильвестра. Пусть M0 стационарная точка,

109

òî åñòü dz(M0) = 0 è d2z(M0) второй дифференциал функции, подсчи- танный в точке M0. Составим матрицу квадратичной формы.

0

@2z(M

) @2z(M

)

1

0

0

Q =

2 @x2

)

2@x@y

)

:

B

@ z(M

@ z(M

C

@x@y0

@y2

0

@

A

à)

Åñëè

квадратичная

форма

положительно определена, то

@2z(M

)

@2z(M

)

@2z(M

)

@2z(M

)

2

1 =

0

> 0, 2 =

0

0

0

> 0 è M0

@x2

@x2

@y2

@x@y

точка минимума функции z = f(x; y).

á)

Åñëè

квадратичная

форма

отрицательно определена, то

@2z(M

)

@2z(M

)

@2z(M

)

@2z(M

)

2

1 =

0

< 0, 2 =

0

0

0

> 0 è M0

@x2

@x2

@y2

@x@y

точка максимума функции z = f(x; y).

2

@2z(M

)

@2z(M

)

@2z(M

)

â) Åñëè 2 =

0

0

0

< 0, то квадратичная

@x2

@y2

@x@y

форма не является знакоопределенной, и функция z = f(x; y) в этой

точке экстремума не имеет.

Рассмотрим класс функций, для которых задача нахождения экстремумов существенно упрощается.

Определим сначала множества, на которых задается этот класс функций.

Подмножество X 2 R(n) называется выпуклым, если для любых двух точек A; B 2 X отрезок, соединяющий эти точки, целиком лежит в X. Примеры выпуклых множеств в R(2) круг, параллелограмм, внутрен- няя часть угла; в R(3) шар, треугольная призма, параллеллепипед, тет-

раэдр, круговой конус.

Пусть f : X R(2) ! Y R, òî åñòü z = f(x; y).

Функция z = f(x; y), заданная на выпуклом множестве X называется выпуклой вниз, если для любых двух точек (x1; y1) è (x2; y2) выполняется неравенство

f	x1 + x2	;	y1 + y2	6	f(x1; y1) + f(x2; y2)	:
	2
		2		2

110