Detalizirovannyi_spisok_voprosov_k_ehkzamenu_2
.pdfДетализированный список вопросов к экзамену
Глава I. Неопределенный интеграл
§1. Понятие неопределенного интеграла
1.Определение первообразной данной функции.
2.Доказать теорему о свойстве первообразных.
3.Определение неопределенного интеграла.
4.Теорема о достаточном условии интегрируемости функции.
§2. Интегрирование основных элементарных функций
5. Таблица интегралов (12 формул).
§3. Основные свойства неопределенного интеграла
6.Связь операций интегрирования и дифференцирования.
7.Доказать свойства линейности интеграла.
8.Доказать инвариантность формы неопределенного интеграла.
§4. Основные методы интегрирования функций
9.Метод разложения.
10.Метод замены переменной (схема интегрирования).
11.Метод интегрирования по частям (с выводом).
§5. Интегрирование рациональных функций
12.Определение рациональной дроби.
13.Сформулировать критерий равенства двух многочленов стандартного вида.
1
14.Стандартное разложение многочлена на множители. Методы разложения.
15.Выделение целой части рациональной дроби (деление многочленов).
16.Определение простейших дробей.
17.Сформулировать теорему о разложении правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей.
18.Алгоритм разложения правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей (7 пунктов).
19.Интегрирование простейших дробей (с выводом).
20.Сформулировать теорему об интегрировании рациональных функций.
21.Метод рационализации неопределенного интеграла.
§6. Интегрирование тригонометрических функций
22.Доказать теорему о применении универсальной подстановки.
23.Доказать две теоремы о рационализации интегралов от тригонометрических функций.
24.Сформулировать две теоремы об интегрировании тригонометрических функций конкретного вида.
§7. Интегрирование иррациональных функций
25.Доказать теорему об интегрировании дробно-линейных иррациональностей.
26.Сформулировать 2 следствия об интегрировании линейных иррациональностей.
27.Сформулировать теорему об интегрировании трансцендентных иррациональностей.
28.Теорема об интегрировании квадратичных иррациональностей (с выводом).
§8. Интегралы, не выражающиеся в элементарных функциях
29.Примеры интегралов, не выражающихся в элементарных функциях.
2
Глава II. Определенный интеграл
§1. Понятие определенного интеграла
30.Определение криволинейной трапеции функции.
31.Развернутое введение определенного интеграла (4 этапа).
32.Сформулировать теорему о достаточном условии интегрируемости функции.
33.Сформулировать геометрический смысл определенного интеграла.
§2. Свойства определенного интеграла
34. Восемь свойств определенного интеграла с обоснованием и геометрической иллюстрацией.
§3. Интеграл с переменным верхним пределом. Вычисление определенного интеграла
35.Понятие интеграла с переменным верхним пределом.
36.Теорема Ньютона – Лейбница (с доказательством).
37.Доказать теорему о формуле Ньютона – Лейбница.
§4. Методы вычисления определенного интеграла
38.Метод разложения.
39.Доказать теорему о замене переменной в определенном интеграле.
40.Метод интегрирования по частям в определенном интеграле (с выводом).
§5. Методы приближенного вычисления определенного интеграла
41.Метод трапеций (с выводом).
42.Метод парабол (Симпсона).
3
§6. Несобственные интегралы
43.Определение несобственного интеграла I рода.
44.Перечислить свойства интеграла.
45.Доказать формулу Ньютона-Лейбница для несобственного интеграла I рода.
46.Вычисление эталонного интеграла.
47.Сформулировать теорему о признаке сравнения в конечной форме. Дать геометрическую иллюстрацию теоремы.
48.Сформулировать теорему о признаке сравнения в предельной форме и следствие из нее.
49.Определение несобственного интеграла II рода.
50.Доказать формулу Ньютона-Лейбница для несобственного интеграла II рода.
51.Сформулировать признаки сходимости несобственного интеграла II рода.
§7. Геометрические приложения определенного интеграла
52.Формулы для вычисления площади плоской фигуры в декартовых координатах.
53.Доказать формулу вычисления площади криволинейной трапеции, заданной параметрически.
54.Полярная система координат на плоскости.
55.Определение криволинейного сектора.
56.Записать формулу площади криволинейного сектора в полярных координатах.
57.Записать формулу вычисления длины плоской кривой в декартовых координатах.
58.Доказать формулу вычисления длины плоской кривой, заданной параметрически.
59.Записать формулу вычисления длины плоской кривой в полярных координатах.
60.Сформулировать теорему о вычислении объема пространственной области через функцию сечения.
4
Глава III.
Обыкновенные дифференциальные уравнения
§ 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия
61.Определение дифференциального уравнения высшего порядка.
62.Определение дифференциального уравнения, разрешенного относительно производной.
63.Определение решения и интегральной кривой дифференциального уравнения.
64.Перечислить свойства интегральных кривых.
65.Определения начального условия и задачи Коши для дифференциального уравнения.
66.Сформулировать теорему Коши для дифференциального уравнения.
67.Определения общего решения и общего интеграла дифференциального уравнения
68.Алгоритм решения задачи Коши.
69.Сформулировать теорему о геометрическом смысле дифференциального уравнения.
§2. Дифференциальные уравнения первого порядка, интегрируемые в квадратурах
70.Определение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.
71.Доказать теорему об общем интеграле дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.
72.Сформулировать признак того, что уравнение первого порядка, записанное в симметричной форме, является уравнением с разделяющимися переменными.
73.Определение однородной функции и однородного уравнения.
74.Доказать теорему о замене в однородном уравнении.
75.Сформулировать признак того, что уравнение, записанное в симметричной форме, является однородным уравнением.
5
76.Сформулировать определение линейного дифференциального уравнения.
77.Описать алгоритм решения линейного неоднородного дифференциального уравнения методом вариации произвольной постоянной (методом Лагранжа).
78.Определение уравнения Бернулли.
79.Доказать теорему о замене в уравнении Бернулли.
80.Определение уравнения в полных дифференциалах.
81.Сформулировать теорему о признаке уравнения в полных дифференциалах.
82.Алгоритм решения уравнения в полных дифференциалах.
§ 3. Численное решение дифференциальных уравнений первого порядка
83. Метод Эйлера.
Глава IV. Дифференциальные уравнения высших порядков
§ 1. Основные понятия
84. Переформулировать основные понятия, связанные с дифференциальным уравнением первого порядка, на случай дифференциального уравнения высшего порядка.
85. Геометрическая иллюстрация теоремы Коши для уравнений первых трех порядков.
§2. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
86.Решение дифференциальных уравнений, содержащих только старшую производную и независимую переменную.
87.Решение дифференциальных уравнений, не содержащих первых производных искомой функции.
88.Решение дифференциальных уравнений, не содержащих неза-
висимой переменной.
6
§3. Линейные однородные дифференциальные уравнения
89. Определение линейной зависимости функций на интервале.
90. Определение вронскиана функций.
91. Определение линейного дифференциального уравнения высшего порядка. Условие существования решений.
92. Сформулировать критерий линейной независимости решений линейного однородного дифференциального уравнения.
93. Доказать теорему о пространстве решений линейного однородного дифференциального уравнения.
94. Определение фундаментальной системы решений линейного однородного дифференциального уравнения.
95. Сформулировать теорему о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения.
96. Доказать теорему о существовании ФСР линейного однородного дифференциального уравнения и следствие из теоремы.
97. Определение комплексных чисел и их геометрическая интерпретация.
98. Операции над комплексными числами.
99. Решение алгебраических уравнений во множестве комплексных чисел.
100. Определение характеристического уравнения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
101. Записать таблицу для составления ФСР.
102. Записать алгоритм решения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
§4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
103. Сформулировать теорему о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения.
104. Алгоритм решения линейного неоднородного дифференциального уравнения методом Лагранжа (вариации) (6 пунктов).
105. Сформулировать три теоремы о подборе частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения по правой части специального вида.
7
Глава V.
Системы дифференциальных уравнений
§1. Основные понятия
106.Определение системы дифференциальных уравнений в нормальной форме.
107.Переформулировать основные понятия, связанные с дифференциальным уравнением первого порядка, на случай системы дифференциальных уравнений.
108.Механическая интерпретация системы дифференциальных уравнений.
§2. Связь системы дифференциальных уравнений
с дифференциальным уравнением высшего порядка
109.Описать переход от одного дифференциального уравнения высшего порядка к системе дифференциальных уравнений в нормальной форме.
110.Решение системы дифференциальных уравнений в нормальной форме методом исключения (алгоритм из 7 пунктов).
§3. Системы линейных однородных дифференциальных уравнений
111.Определение системы линейных однородных дифференциальных уравнений.
112.Сформулировать теорему о структуре общего решения системы линейных однородных дифференциальных уравнений.
113.Алгоритм решения системы линейных однородных диф-
ференциальных уравнений с постоянными коэффициен-
тами в случае различных действительных корней характеристического уравнения (7 пунктов).
114. Сформулировать теорему о структуре общего решения системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений.
8
Глава VI
Интегрирование функций нескольких переменных
§1. Понятие двойного интеграла
115.Определение цилиндроида функции двух переменных.
116.Развернутое определение двойного интеграла.
117.Сформулировать достаточное условие интегрируемости функ-
ции f(x, y).
118.Сформулировать геометрический смысл двойного интеграла.
§2. Свойства двойного интеграла
119.Сформулировать и проиллюстрировать геометрически свойства двойного интеграла (7 свойств).
§3. Вычисление двойного интеграла
вдекартовых координатах
120.Определение области, простой по вертикали.
121.Сформулировать теорему о вычислении двойного интеграла в случае области, простой по вертикали (по горизонтали).
122.Вычисление двойного интеграла в случае сложной области.
§4. Замена переменных в двойном интеграле
123.Вывод формулы замены переменных в двойном интеграле для общего случая.
124.Вывод формулы вычисления двойного интеграла в полярной системе координат.
125.Переход от двойного интеграла к повторным в полярной системе координат (область простая по расстоянию или по углу).
9
§5. Тройной интеграл
126.Понятие тройного интеграла и его существование.
127.Свойства тройного интеграла (7 свойств).
128.Определение пространственной области, простой по вертикали.
129.Вычисление тройного интеграла в случае области, простой по вертикали.
§6. Замена переменных в тройном интеграле
130.Записать формулу замены переменных в тройном интеграле в общем случае.
131.Получить формулу замены переменных в тройном интеграле в цилиндрической системе координат.
§7. Криволинейный интеграл I рода
132.Определение и вычисление криволинейного интеграла первого рода.
§8. Поверхностный интеграл I рода
133.Определение и вычисление поверхностного интеграла первого рода.
§9. Криволинейный интеграл II рода
134.Определение криволинейного интеграла второго рода.
135.Перечислить свойства криволинейного интеграла второго рода (5 свойств).
§10. Вычисление криволинейного интеграла II рода
136.Записать вычислительные формулы для криволинейного интеграла второго рода в случае пути, заданного явно или параметрически.
137.Сформулировать теорему о формуле Грина.
10