Complex_field2

Множество комплексных чисел

1. Основные понятия

ножество комплексных чисел является расширением множества действительных чисел. Действительные числа интерпретируются как точки координатной прямой. Между числами и точками прямой устанавливается взаимно однозначное соответствие. "Свободных мест" на координатной прямой нет. Поэтому комплексные числа можно попытаться интерпретировать как

точки на координатной плоскости.

Каждая точка координатной плоскости характеризуется парой действительных чисел - декартовых координат. Поэтому каждое комплексное число должно полностью определяться упорядоченной парой действительных чисел. Такой же парой действительных чисел определяется многочлен первой степени от одной переменной. Потребуем, чтобы такие многочлены обладали особым свойством.

Определение 1. Комплексными числами называются всевоз-

можные многочлены нулевой и первой степени с действительными коэффициентами от одной переменной i, которая обладает свойством

i 2 = –1.	(1)
Комплексного числа обозначаются через z	и записывают-
ся в виде
z = a + bi,	(2)
где a и b - действительные числа.

Переменная i называется мнимой единицей, действительные числа a и b называются соответственно, действи-

тельной и мнимой частями комплексного числа.

Обозначения:

a = Re z, b = Im z;

Множество всех комплексных чисел обозначается C.

Глава V. Элементы теории функций комплексного переменного

Так как комплексные числа вида z = a + 0i = a являются одновременно и действительными, то множество R всех действительных чисел содержится во множестве всех комплексных чисел C.

Определение 2. Комплексные числа

z1 a1 b1i и z2 a2 b2i

называются равными, если равны их соответствующие части:

z1 z2 a1 a2 и b1 b2 . (3)

омплексные числа имеют следующую геометрическую интерпретацию. В дальнейшем, в соответствии с этой интерпретацией, комплексные числа будем записывать в виде

z= x + yi.

y

y			z
i
0	1	x	x
‒z

Комплексное число z = x + yi изображается на координатной плоскости точкой с координатами M(x, y).

Другой вариант: число	z = x + yi отождествляется с ради-
ус-вектором точки M(x, y).
Действительные числа	z = x + 0i = x лежат на оси Ox. По-

этому ось Ox называется действительной осью.

Комплексные числа вида z = 0 + yi = yi называются мни-

2

§1. Множество комплексных чисел

мыми числами. Они лежат на оси Oy. Поэтому ось Oy назы-

вается мнимой осью.

Координатная плоскость, точки которой служат изображениями комплексных чисел, называется комплексной плоско-

стью или плоскостью Гаусса.

еометрические объекты на плоскости можно рассматривать как в декартовой системе координат, так и в полярной. В полярной системе каждая точка характеризуется полярными расстоянием и углом. Введем аналогичные характеристики для комплексных чисел.

Определение 3. Длина радиус-вектора OM комплексного числа

	z называется модулем этого числа.
Обозначеие: | z |.
Очевидно, имеет место равенство
	| z |	x 2 y 2 .				(4)
Пример 1.
Если z = 3 + 4i, то | z | =			9 16 = 5.

Определение 4. Угол между положительным направлением оси Ox и радиус-вектором числа z 0, отсчитываемый против часовой стрелки, называется аргументом комплексного числа z.

Обозначение: Arg z.

Очевидно, аргумент определяется с точностью до слагаемого, кратного 2 .

Значение аргумента числа z, удовлетворяющее усло-

вию < , называется главным значением аргумента и

обозначается через arg z.

(Иногда главным значением аргумента считают угол , удовлетворяющий условию 0 < 2 ).

Таким образом,

Arg z = arg z + 2k , k Z.

3

Глава V. Элементы теории функций комплексного переменного

Как видно из рисунка, главное значение аргумента числа z можно определить из равенств

		cos	x	,	sin			y	.		(5)
			|z|					|z|
Если число z = x + yi					удовлетворяет условию					x > 0, то
главное значение можно определить одним равенством
		arctg				y	.				(6)
						x
Пример 2.
											= .
Если z	3 i , то согласно равенству (6) получаем
											6

Таким образом, если число z = x + yi задано, то его модуль и главное значение аргумента определяются однозначно. Справедливо и обратное утверждение. Если известны модуль | z | и аргумент числа z, то само число определяется однозначно.

Действительно, непосредственно из равенств (5) вытекает:

	x = | z | cos ,	y = | z | sin .		(7)
Рассмотрим еще одно понятие, которое является новым по
отношению к действительным числам.
Определение 5. Число z x yi			называется сопряженным к
	числу z = x + yi.
На комплексной плоскости число z расположено симмет-
рично числу z относительно оси			Ox (см. рис.). Отношение со-
пряженности является отношением эквивалентности.

Как видно из рисунка, имеют место равенства:

| z | | z |,

arg z arg z .

(8)

В частности, если z R, то z = z.

ассмотрим операции на множестве комплексных чисел.

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел определяется как обычные сложение, вычитание и умножение многочленов первой степени, только при записи в стандартном виде результата умножения учитывается равенство i 2 = –1.

4

§1. Множество комплексных чисел

Например:

3.(3 2i) ( 1 i) (3 1) ( 2 1)i 2 i .

4.(3 2i) ( 1 i) (3 ( 1)) ( 2 1)i 4 3i .

5.(3 2i) ( 1 i) 3( 1) 3i ( 2i)( 1) ( 2i)i =

=3 3i 2i 2i 2 3 3i 2i 2( 1) 1 5i .

Сложение и умножение многочленов обладают переме-

стительным и сочетательным свойствами, распределительным

свойством умножения относительно сложения. Такими же свойствами обладают сложение и умножение комплексных чисел.

Связь модуля комплексного числа со сложением и умножением комплексных чисел выражается, как и для действитель-

ных чисел, соотношениями:
| z1 z2| | z1| + | z2|;	(9)
| z1 z2| = | z1| | z2|.	(10)

Неравенство (9) вытекает из свойства сложения векторов, а равенство (10) - из правила умножения комплексных чисел в тригонометрической форме (см. (18)).

Отношение сопряженности согласуется со сложением и умножением комплексных чисел так:

z1 z2	z1 z2	(11)
z1 z2	z1 z2 .	(12)

Если комплексные числа отождествлять с радиусвекторами, то сложение комплексных чисел отождествляется с обычным сложением их радиус-векторов.

Для любого числа z существует единственное противоположное число z, которое представляется противоположным вектором (см. рис.).

Для определения операции деления комплексных чисел

рассмотрим свойства сопряженных чисел:

z z = (x + yi) (x yi) = x 2 y 2 = | z |2 .

5

Глава V. Элементы теории функций комплексного переменного

	Итак,
	z z | z |2 .						(13)
	Из этого равенства следует, что число z 1					z	является
						|z|2
	обратным числу z. Его характеристики:
	| z 1 |	1	;	arg z 1	arg z .		(14)
		|z|

Это позволяет ввести деление комплексных чисел:

	z1	z	z 1 .	(15)
	z2
		1	2

В дальнейшем при выполнении операций над комплексными числами будем использовать различные формы их записи.

2. Различные формы записи комплексных чисел

Комплексные числа можно представлять в трех формах.

1. Алгебраическая форма комплексного числа.

Эта форма записи использовалась при определении комплексных чисел:

z = x + iy.

(16)

Такой формой записи комплексных чисел удобно пользоваться, как мы видели, при выполнении операций сложения, вычитания и умножения.

2. Тригонометрическая форма комплексного числа.

Тригонометрическая форма записи комплексных чисел получается так. Пусть z = x + iy, тогда из равенств (7) следует:

z = x + iy = | z | cos + i | z | sin = | z |(cos + i sin ).

Итак,

z = | z |(cos + i sin ).

(17)

6

§1. Множество комплексных чисел

Равенство (17) называется тригонометрической формой

записи комплексного числа.

Ясно, что сложение комплексных чисел в тригонометрической форме не имеет большого смысла. Рассмотрим, как умножаются комплексные числа в тригонометрической форме. Пусть

z1 = | z1|(cos 1 + i sin 1),

z2 = | z2|(cos 2 + i sin 2).

Умножим числа как записанные в алгебраической форме: z1z2 = | z1|| z2| (cos 1 + i sin 1)(cos 2 + i sin 2) =

=| z1|| z2|[(cos 1cos 2 sin 1sin 2) + i (cos 1sin 2 + cos 2sin 1)] =

=| z1|| z2|[cos( 1 + 2) + i sin( 1 + 2)].

Таким образом, имеет место равенство
z1z2 = | z1|| z2|[cos( 1 + 2) + i sin( 1 + 2)].	(18)

При умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули умножаются, а аргументы складываются.

Из равенства (18) вытекает правило возведения комплексного числа в натуральную степень n:

z n

= | z |n (cos n

+ i sin n ).

(19)

Из равенства (18) вытекает также правило деления ком-

плексных чисел. Так как

z1

z

z 1

и согласно равенствам (14)

z2

1

2

| z

1

|

1

;

arg z

1

arg z

, то выполняется равенство

2

|

z2|

2

2

z1

=

|z1|

[cos(

1 2) + i sin( 1 2)].

(20)

z2

|z2 |

Сложнее выполняется операция извлечения корня:

n

n

2k

2k

z

i sin

| z | cos

n

n

, k = 0, 1,…, n 1. (21)

n

w | w | (cos i sin ) .

Действительно,

пусть

z

Тогда

согласно определению корня получаем: w n = z. В тригонометрической форме это равенство имеет вид

7

Глава V. Элементы теории функций комплексного переменного

| w |n (cos n + i sin n ) = | z |(cos + i sin ).

Отсюда вытекают равенства: | w |n = | z |, n = + 2k .

				2k . Из этих соотношений и
Следовательно, | w | n | z | ,
				n
вытекает равенство (21).
Из равенства (21) следует, что для любого комплексного
числа z 0 существует ровно n				корней степени n. Можно по-

казать, что все корни располагаются в вершинах правильного

n угольника, вписанного в окружность радиуса n | z |					с центром
в начале координат.
Пример 6.
Вычислить корень 4 1 .
Выполнить самостоятельно и только геометрически.
Обратим внимание на одно следствие равенства (19). Если
| z | 1, т.е. z = cos + i sin ,			то из (19) следует равенство
(cos + i sin ) n =			cos n + i sin n .		(22)

Равенство (22) называется формулой Муавра. Из этой формулы могут быть получены все формулы для тригонометрических функций кратных углов.

3. Показательная форма комплексного числа

При записи комплексных чисел часто используется

функция Эйлера:
ei cos i sin .	(23)

Она выражена через тригонометрические функции и наследует многие их свойства. Например, она имеет период 2 . Вместе с тем, данная функция обладает всеми свойствами показательной функции. Это и отражено в ее обозначении.

Используя тригонометрическую форму (17) комплексного числа z и функцию Эйлера, это число можно представить в виде

z | z | ei .

(24)

8

§1. Множество комплексных чисел

Равенство (24) называется показательной формой записи комплексного числа. В этой записи, как и в тригонометрической, используются модуль и аргумент комплексного числа. Поэтому показательная форма комплексного числа используется в тех же ситуациях, что и тригонометрическая.

Например, полученные ранее соотношения (18) - (21) можно записать и в показательной форме. При такой записи они принимают более компактный вид. Например, равенство (18):

z1 z2 | z1 | | z2 | ei( 1 2 ) .

3. Множество комплексных чисел как метрическое пространство

Множество C комплексных чисел обладает важным отличием от множества действительных чисел R. В C отсутствует отношение линейного порядка. Поэтому сравнение комплексных чисел выполняется только по модулю: | z1| | z2|.

Через модуль выражается расстояние между точками.

Определение 6. Расстоянием между точками z1, z2 комплексной плоскости называется число, определяемое равенством:

d (z1 , z2 ) (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 | z1 z2 | . (25)

Из равенства (25) вытекает достаточно простая запись на комплексной плоскости уравнения окружности с центром в точке z0 и радиусом R:

| z z0| = R.

(26)

Для удобства исследований множество комплексных чисел пополняется одним особым числом. Оно называется бесконечностью

и обозначается через .

y

z0 R

0

x

9

Глава V. Элементы теории функций комплексного переменного

Арифметические операции с определяются так же, как и во множестве действительных чисел.

Метрическое свойство будет таким: d(0, ) = + R.

Комплексная плоскость, пополненная точкой , называет-

ся расширенной комплексной плоскостью.

4. Решение алгебраических уравнений

ополнение множества действительных чисел комплексными числами позволяет решить одну из проблем теории алгебраических уравнений.

Теорема 1. (Основная теорема алгебры).

Всякое алгебраическое уравнение степени n

zn a1zn 1 ... an 1z an 0 ,

где a1,…, an C , имеет в C ровно n корней, различных или совпадающих, действительных или комплексных.

Доказательство опустим.

Теорема 2. Пусть комплексное число z0 является корнем многочлена

Pn (z) zn a1zn 1 ... an 1z an ,

тогда имеет место равенство

Pn(z) = (z z0)Pn -1(z).

Доказательство опустим.

Следствие 1. Во множестве комплексных чисел любой многочлен Pn(z), n > 1 можно представить в виде произведения

l

Pn (z) (z zk ) sk .

k 1

Сумма всех показателей sk равна степени n многочлена. Число sk называется кратностью корня zk. Если sk = 1, то ко-

10