математика лекции

ных однородных уравнений также является решением этой системы. Так как решение системы линейных однородных уравнений c n неиз-

вестными есть n-мерный вектор и линейная комбинация решений явля-

ется решением системы, то множество решений системы линейных однородных уравнений образует линейное пространство, которое является подпространством в пространстве Rn. Базис пространства решений си- стемы линейных однородных уравнений называется фундаментальной системой решений. То есть решения, входящие в фундаментальную систему решений, линейно независимы и любое решение системы является линейной комбинацией решений из фундаментальной системы.

Теорема 16.4. Если ранг матрицы A системы линейных однородных уравнений (16.1) равен r и меньше числа неизвестных n, то фундаментальная система решений системы (16.1) существует и содержит n − r решений.

Доказательство. Пусть ранг матрицы A равен r и меньше числа неизвестных r < n. Пусть базисный минор M 6= 0 стоит в левом верхнем углу. Перенеся свободные неизвестные xr+1, . . . , xn в первых r уравнени-

ях в правую часть, получим систему

. . .

− a2nxn

a21x1

+ a22x2

+ . . . + a2rxr

= −a2r+1xr+1 −

a11x1

+ a12x2

+ . . . + a1rxr

= a1r+1xr+1

. . . a1nxn

−

−

−

. . .

. . . . . . . . . . . .

Зададим свободные неизвестные

xr+1

= 1

, −

−

,

. . . , xn = 0

, ïîëó-

xr+2 = 0

ar1x1 + ar2x2 + . . . + arnxr = −arr+1xr+1

. . . arnxn

1

1

1

чим решение системы (α1

, α2

, . . . , αr, 1, 0, . . . , 0). Аналогично, задавая

свободные неизвестные xr+1 = 0, xr+2 = 1, . . . , xn = 0, получим решение (α12, α22, . . . , αr2, 0, 1, . . . , 0) и так далее. Так найдем k = n − r решений системы

e1 = (α11, α21, . . . , αr1, 1, 0, . . . , 0); e2 = (α12, α22, . . . , αr2, 0, 1, . . . , 0);

. . . . . . . . . . . .

ek = (α1k, α2k, . . . , αrk, 0, 0, . . . , 1).

41

Эти k решений линейно независимы, так как ранг матрицы

α12			α22		. . . αr2		0	1	. . . 0
	α11		α21		. . . αr1		1	0	. . . 0
. . . . . .					. . . . . . . . . . . . . . . . . .
	α	k	α	k	. . . α	k	0	0	. . . 1
		1		2		r

равен k. В этой матрице есть минор порядка k, отличный от нуля, например, содержащий последние k столбцов.

Решения e1, e2, . . . , ek образуют фундаментальную систему решений. Общее решение системы (16.1) имеет вид

X = c1e1 + c2e2 + . . . + ckek.

17. Формулы перехода от одного базиса к другому.

Пусть в пространстве Rn заданы два базиса

1,

2, . . . ,

n "старый" базис и

f1, f2, . . . , fn "новый" базис.

e

e

e

Так как векторы

1,

2, . . . ,

n

образуют базис, то векторы

fj =

e

e

e

Из координат

n

{fj} j = 1, n ) составим матрицу C, записывая

P

(c1j, c2j, . . . , cnj) =

cij

e

i можно выразить через этот базис.

i=1

векторов

(

координаты векторов {fj} в столбцы

. . . c2n

c21

c22

c11

c12

. . . c1n

C =

. . .

. . .

. . . . . .

(17.1)

cn1

cn2

. . . cnn

Матрицу C называют матрицей перехода от базиса {ei} к базису {fj}. Матрица C невырожденная. Векторы {fj} линейно независимы, зна- чит, ранг матрицы C равен n или |C| 6= 0. В матричной форме формулы

перехода от базиса {ei} к базису {fj} можно записать

(f1, f2, . . . , fn) = (		1,		2, . . . ,		n)C	(17.2)
	e		e		e

Аналогично, так как {fj} базис, выразим через него векторы ei =

n

P

(a1i, a2i, . . . , ani) = ajifj. Матрица A, элементы которой координаты

j=1

42

векторов ei, записанные в столбцы, является матрицей перехода от базиса {fj} к базису {ei}.

	a21	a22	. . . a2n
	a11	a12	. . . a1n	.
A =	. . . . . . . . . . . .
	an1	an2	. . . ann

Тогда формулы перехода от базиса {fj} к базису {ei} имеют вид

(		1,		2, . . . ,		n) = (f1, f2, . . . , fn)A	(17.3)
	e		e		e

Из (17.2) и (17.3) следует, что A = C−1.

Выведем формулы, связывающие координаты вектора в "старом" и

n

n

P

P

"новом" базисах. Пусть

=

ξi

i è

=

ηjfj . Тогда

x

e

x

j=1

i=1

n

n

n

n n

n

èëè P

P

P

P P

P

= ηjfj = ηj( cij

i) = ( ηjcij)

i = ξi

i

x

e

e

e

j=1

j=1

i=1

i=1 j=1

i=1

в координатной форме

c12

c1n

ξ1

c11

	.ξ.2.		= η1	c. 21. .

c22

+ η2

. . .

c2n

+ . . . + ηn

. . .

=

ξn	cn1	cn2
	c11 c12 . . . c1n

21c22 . . . c2n

. . . . . . . . . . . .c

cnn

η2
η1	.
. . .

cn1 cn2 . . . cnn

ηn

Вывели формулы вычисления координат вектора при изменении базиса

ξ2

η2

η2

ξ2

ξ1

η1

η1

ξ1

. . .

= C

. . .

,

. . .

= C−1

. . .

(17.4)

ξn

ηn

ηn

ξn

Пусть базисы e1, e2, . . . , en è f1, f2, . . . , fn пространства En ортонормированы, то есть векторы базисоâ единичные и попарно ортогональны:

|ei| = 1, |fi| = 1, (ei, ej) = 0, (fi, fj) = 0.

43

Пусть заданы координаты векторов fi = (q1i, q2i, . . . , qni) в "старом" базисе (i = 1, 2, . . . , n).

Тогда для каждого i = 1, 2, . . . , n имеем |fi|2 = (q1i)2 + (q2i)2 + . . . + (qni)2 = 1 è (fi, fj) = q1iq1j + q2iq2j + . . . + qniqnj = 0 ïðè i 6= j.

Матрица перехода от базиса {ei} к базису {fj} имеет вид

	q21	q22	. . . q2n
	q11	q12	. . . q1n
Q =	. . .	. . .	. . . . . .		(17.5)
	qn1	qn2	. . . qnn

Определение 17.1. Матрица, в которой сумма квадратов элементов каждого столбца равна 1, а сумма произведений соответствующих эле-

ментов двух столбцов равна 0 называется ортогональной.

Справедливы следующие теоремы:

Теорема 17.1. Матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису является ортогональной.

Теорема 17.2. Матрица, обратная ортогональной матрице, совпадает с транспонированной, то есть Q−1 = QT .

Доказательство. Вычислим произведение

q11 q21

T q12 q22

Q · Q =

. . . . . .

q1n q2n

. . . qn1	q11

.. . qn2 q21

·

.. . . . . . . .

. . . qnn

qn1

q12 . . . q1n

q22 . . . q2n

= E.

. . . . . . . . .

qn2 . . . qnn

Следствие 17.3. Определитель ортогональной матрицы равен ±1

(|Q| = ±1).

Доказательство. |Q−1 · Q| = |QT · Q| = |QT | · |Q| = |Q|2 = 1.

18. Линейный оператор.

Одно из фундаментальных понятий алгебры матриц это понятие линейного оператора.

Рассмотрим два линейных пространства Rn è Rm. Отображение, ста- вящее любому вектору x Rn единственный вектор y Rm называ- ется оператором из Rn â Rm (A : Rn −→ Rm). Обозначается оператор

44

y = A(x) или просто y = Ax. Вектор y называется образом вектора x.

Определение 18.1. Оператор A : Rn −→ Rm называется линейным, если для любых двух векторов x, y Rn и любого действительного числа α выполняются условия:

1)A(x + y) = Ax + Ay ;

2)A(αx) = αAx.

Условия 1) и 2) можно объединить:

Определение 18.2. Оператор A называется линейным, если для лю-

бых векторов x, y Rn и любых чисел α, β R выполнено условие

A(αx + βy) = αAx + βAy .

Åñëè Rm = Rn то отображение A : Rn −→ Rn называется преобразо- ванием пространства Rn.

Примеры линейных операторов.

1.Тождественный оператор I: Ix = x для всех векторов x Rn;

2.нулевой оператор: Ax = 0 для всех векторов x Rn;

3.оператор проектирования: P : R3 −→ R2 è Pa = b, åñëè a = (a1, a2, a3), b = (a1, a2).

4.оператор подобия: Ax = kx для всех векторов x Rn;

5.оператор дифференцирования: f(x) → f0(x);

6.оператор интегрирования: f(x) → F (x), где F (x) первообразная для f(x) на [a; b].

Åñëè èç òîãî, ÷òî x1 6= x2 следует, что Ax1 6= Ax2, и для любого вектора y Rm существует вектор x Rn такой, что y = Ax, то говорят, что оператор A действует взаимно-однозначно.

Пусть заданы два линейных оператора A : Rn −→ Rn è B : Rn −→ Rn. Суммой линейных операторов A и B называется оператор A + B,

действующий по закону (A + B)(x) = Ax + Bx.

Произведением линейного оператора A на число α называется оператор αA, действующий по закону (αA)x = α(Ax).

Произведением линейных операторов A и B называется оператор AB, действующий по закону (AB)x = A(Bx). В общем случае AB 6= BA.

Линейный оператор B называется обратным оператору A, если про-

45

изведение AB = I (тождественный оператор). Обозначается обратный оператор A−1.

Теорема 18.1. Для того чтобы для линейного оператора A суще-

ствовал обратный оператор необходимо и достаточно, чтобы оператор A

действовал взаимно-однозначно.

Определим как действует линейный оператор A : Rn −→ Rm. Выберем в пространстве Rn базис e1, e2, . . . , en, а в пространстве Rm

базис f1, f2, . . . , fm.

Найдем образы базисных векторов m

P

1 = a11f1 + a21f2 + . . . + am1fm =

aj1fj = (a11; a21; . . . ; an1);

Ae

j=1

m

.jP. .

. . .

. . . ;

. . . . . .

. . .

. . . . . .

. . .

Ae

2 = a21f1

+ a22f2

+ . . . + am2fm =

aj2fj = (a12; a22; . . . ; an2);

=1

m

Из чисел

aji составим матрицу A, P

Aei

Ae

n = a1nf1

+ a2nf2

+ . . . + amnfm = ajnfj = (a1n; a2n; . . . ; ann).

j=1

в столбцы

записывая координаты векторов

a21

a22

. . . a2n

a11

a12

. . . a1n

A = . . . . . .

. . . . . .

(18.1)

am1 am2

. . . amn

A матрица размера m Ч n. Матрица A называется матрицей линейно-

го оператора A. Таким образом, каждому линейному оператору можно

поставить в соответствие матрицу. Задание матрицы полностью определяет линейный оператор.

Выведем формулу для вычисления координат образа произвольного вектора x. Пусть оператор A : Rn −→ Rm. Выберем базисы e1, e2, . . . , en

в пространстве Rn, è f1, f2, . . . , fmnв пространстве Rm.

				m			iP
	Пусть	x	= (x1, x2, . . . , xn) =				xi	e	i произвольный вектор в Rn,
				P			=1
матрица линейного						A. Тогда
	= (y1, y2, . . . , ym) =			j=1 yjfj			Rm образ вектора				, A = (aij)
y										x

оператора

46

Rm. Тогда суще-

f1, f2, . . . , fn

n

n

n

m

m n

Запишем

P

P

P

P

P P

y

= Ax

= A( xiei) = xiAei = xi( ajifj) = ( ajixi)fj.

i=1

i=1

i=1

j=1

j=1 i=1

эти выкладêи подробнеé в координàòàõ

y = Ax = x1(a11f1 +a21f2 +. . .+am1fm)+x2(a12f1 +a22f2 +. . .+am2fm)+

. . . + xn(a1nf1 + a2nf2 + . . . + amnfm) = (x1a11 + x2a12 + . . . + xna1n)f1 + +(x1a21 + x2a22 + . . . + xna2n)f2 + . . . + (x1am1 + x2am2 + . . . + xnamn)fm.

В силу единственности разложения вектора y по базису имеем

n

P

yj = xiaji. i=1

или в координатах

и матричной форме

y2		= x1a11		+ x2a12		+ . . . + xna1n
	y1	= x1a11		+ x2a12		+ . . . + xna1n	,
				. . . . . .
. . .
ym = x1a11 + x2a12 + . . . + xna1n
	y1			x1

		.y.2.		= A		.x.2.	.	(18.2)
	ym				xn
	Мы показали, что для							A : Rn −→ Rm
	задания линейного оператора

достаточно задать образы базисных векторов. Заданием этих образов оператор определяется однозначно.

Сформулируем несколько теорем о линейных операторах:

Теорема 18.2. Пусть e1, e2, . . . , en базис в пространстве Rn,

произвольные вектора в пространстве

ствует единственный оператор A : Rn −→ Rm такой что Aei = fi.

Так как все операции над линейными операторами можно свести к операциям над матрицами операторов, то справедлива теорема

Теорема 18.3. Матрица произведения операторов AB равна произведению матриц операторов A и B.

В пространстве Rn базис можно выбрать различными способами, но тогда и матрицы оператора в разных базисах будут разными. Связь между матрицами оператора в разных базисах выражается теоремой

Теорема 18.4. Матрицы A и A линейного оператора A в базисах {ei}

47

è {fj} связаны соотношением A = C−1AC, где C матрица перехода от базиса {ei} к базису {fj}.

Теорема 18.5. Определитель матрицы линейного оператора не меняется при переходе к новому базису. (доказать самостоятельно)

19. Элементы теории многочленов.

Многочленом от переменной x называется выражение вида

f(x) = a0xn + a1xn−1 + . . . + an−1x + an,

(19.1)

где n целое неотрицательное число, a0, a1, . . ., an−1, an любые числа; причем a0 6= 0. Число n называется степенью многочлена f(x). Коэффициент a0 называют старшим коэффициентом многочлена f(x), а сам одночлен a0xn его старшим членом. Коэффициент an называет- ся свободным членом. Многочлен, старший коэффициент которого равен 1, называется приведенным. Многочлены, как и любые алгебраические выражения, можно складывать, вычитать и умножать по обычным правилам раскрытия скобок и приведения подобных.

Вместо переменной x в многочлен f(x) можно подставить любое число c. В результате получится некоторое число. Это число называется

значением многочлена f(x) при x = c (или в точке c) и обозначается через f(c). Число c называется корнем многочлена f(x), если значение многочлена в точке c равно нулю.

Введем понятие равенства многочленов. Два многочлена называются равными, если они имеют одинаковую степень и их соответствующие коэффициенты равны. Такое равенство многочленов называется равенством в алгебраическом смысле, то есть если

f(x) = a0xn+a1xn−1+. . .+an−1x+an, g(x) = b0xm+b1xm−1+. . .+bm−1x+bm

и многочлены f(x) и g(x) равны, то m = n и a0 = b0, a1 = b1, . . . , an = bn. Однако многочлен f(x) = a0xn + a1xn−1 + . . . + an−1x + an можно рассматривать как функцию. Два многочлена f(x) и g(x) называются равными, если для любого c R f(c) = g(c). Такое равенство многочле-

нов называется равенством в функциональном смысле .

48

Нетрудно доказать, что эти определения эквивалентны.

Для многочленов можно ввести операцию деления многочлена на многочлен. Будем говорить, что многочлен f(x) делится на многочлен

g(x) 6= 0, если существует такой многочлен q(x), что выполняется ра-

венство

f(x) = g(x) · q(x)	(19.2)
Если f(x) делится на g(x), то это принято записывать так	f(x).g(x).

Многочлен q(x) в равенстве (19.2) называется частным от деления f(x)

на g(x). Заметим, что многочлен q(x) в равенстве (19.2) определяется

однозначно.

Делимость многочленов своими свойствами похожа на делимость целых чисел. Укажем на одну важную аналогию.

Теорема 19.1. (о делении с остатком). Для любого многочлена f(x) и любого ненулевого многочлена g(x) существует единственная пара

многочленов q(x) и r(x), для которой выполняется равенство

f(x) = g(x) · q(x) + r(x),

(19.3)

где многочлен r(x) либо нулевой, либо имеет степень, меньшую чем сте-

ïåíü g(x).

На практике для нахождения частного и остатка обычно применяют метод вычисления, названный "деление углом".

Ясно, что f(x) делится на g(x) тогда и только тогда, когда остаток

r(x) от деления f(x) на g(x) равен нулю.

Рассмотрим деление многочлена f(x) на линейный двучлен x − α.

Теорема 19.2. (Безу) Остаток от деления многочлена f(x) на дву- член x − α равен значению многочлена f(x) в точке x = α.

Доказательство. Рассмотрим произвольный многочлен f(x) и раз-

делим его с остатком на двучлен x − α. Так как степень этого двучлена

равна 1, то остаток либо равен нулю, либо имеет нулевую степень. И в

том и в другом случае остаток r есть число. Значит, многочлен можно

записать в виде f(x) = (x − a) · q(x) + r. Положив в этом тождестве

x = α, получим, что f(α) = r.

49

Рассмотрим несколько следствий из этой теоремы.

Следствие 19.3. Многочлен f(x) делится на x − α тогда и только

тогда, когда число α является его корнем.

f(x) = (x − α) · q(x)

(19.4)

Следствие 19.4. Если α1, α2, . . . , αk различные корни многочлена f(x), то f(x) делится на произведение (x − α1)(x − α2) · . . . · (x − αk).

f(x) = ((x − α1) · (x − α2) · . . . · (x − αk)) · q(x)

(19.5)

Следствие 19.5. Число различных корней многочлена, отличного от нуля, не больше чем его степень.

Если число α является корнем многочлена f(x), то по теореме Безу

f(x) делится на x − α. При этом может оказаться, что число α является корнем частного, тогда f(x) будет, понятно, делиться на (x − α)2 è òàê далее. В таких случаях число α называется кратным корнем многочлена.

Число α называется корнем кратности k многочлена f(x), если f(x) делится на (x − α)k, но не делится на (x − α)k+1, òî åñòü f(x) = (x − α)k ·

q(x) и q(α) 6= 0. Корни кратности 1 называют простыми корнями.

В случае многочленов с целыми коэффициентами всегда можно отыскать его рациональные, в частности, целые корни, если, конечно, они существуют. Способ отыскания рациональных корней многочленов с це-

лыми коэффициентами дается следующей теоремой.

Теорема 19.6. Если несократимая дробь pq является корнем много- члена с целыми коэффициентами, то его свободный член делится на p,

а старший коэффициент делится на q.

Из этой теоремы вытекает важное Следствие 19.7. Все рациональные корни приведенного многочлена

с целыми коэффициентами целые и являются делителями свободного члена.

21. Собственные числа и собственные векторы линейного оператора.

50