Кафедра физики

Закон Био – Савара – Лапласа.

Примеры расчета магнитных полей

dl

Магнитное поле на оси кругового тока

r

dB

R

dBn

dB

0

I dl

x

4

r2

a

А

dB

I

B dB

dB sin

0 I

sin

dl

0 I

sin 2 R 0 IR sin

4 r 2

4 r 2

2 r 2

l

l

l

sin R

,

Преобразуем полученное выражение, учитывая, что

r 2 R2

a2 .

После подстановки получим

r

B

0 IR

sin

0 IR

R

0 IR2

2r 2

2 R2 a2

2 R2 a2 3 2

R2

a2

Общая физика. «Электромагнетизм»

11

Кафедра физики

Закон Био – Савара – Лапласа.

Примеры расчета магнитных полей

B

0 IR2

Магнитное поле на оси кругового тока

2 R2 a2 3 2

В центре кругового тока

a 0,

индукция магнитного поля равна

Вдали от контура на оси x ( a R):

Если умножить числитель и знаменатель

B

0 I R2

0 IS

этого выражения на , получим:

2 a3

2 a3

где S R2 - площадь, охватываемая круговым током.

Общая физика. «Электромагнетизм»

12

Кафедра физики

Закон Био – Савара – Лапласа.

Примеры расчета магнитных полей

Магнитное поле на оси кругового тока

Произведение IS - магнитный момент контура. Тогда выражение для индукции магнитного поля -

0 pm

B 2 r 3

(при условии, что вдали от кругового тока a r ) .

Общая физика. «Электромагнетизм»

13

Кафедра физики

Графическое изображение магнитного поля на оси

кругового тока

Вид линий магнитной индукции поля кругового тока, лежащих в плоскости, проходящей через ось тока:

dB

B

B B

I

Направления векторов индукции магнитного поля в точке, лежащей на оси кругового тока.

Общая физика. «Электромагнетизм»

14

Кафедра физики

Поток вектора магнитной индукции. Теорема Гаусса-Остроградского для вектора

Магнитный поток через элемент dS поверхности S:

	dФB B,dS BdS cos
	0	- орт вектора нормали,
dS dSn0,	n

- угол между нормалью к площадке и вектором магнитной индукции, Bn - проекция вектора B на нормаль к площадке.

Полный поток через поверхность	S	: ФB		B,dS BndS
			S		S
Для замкнутой поверхности:		ФB	B,dS BndS
		S			S

Единица магнитного потока - вебер (Вб) (в системе СИ).

Общая физика. «Электромагнетизм»

15

Кафедра физики

Поток вектора магнитной индукции. Теорема Гаусса-Остроградского для вектора

Cиловые линии магнитного поля замкнуты. Любая силовая линия пересекает замкнутую поверхность дважды: один раз в положительном по отношению к нормали направлении, а другой раз – в отрицательном. Поэтому суммарный магнитный поток,

пронизывающий замкнутую поверхность S, всегда равен нулю:

ФB				0
	B, dS				теорема Гаусса-Остроградского
					для магнитного поля.
	S

Поток вектора напряженности магнитного поля через любую замкнутую поверхность равен нулю:

B,dS 0

S

Общая физика. «Электромагнетизм»

16

Кафедра физики

Поток вектора магнитной индукции. Теорема Гаусса-Остроградского для вектора

Важное следствие	поток вектора	B	через замкнутую
из теоремы Гаусса:	поверхность S	не зависит от формы
	этой поверхности.

В дифференциальной форме: divB 0

Сведения из векторного анализа: … дивергенция характеризует интенсивность (обильность) истоков и стоков векторного поля.

Если divB 0 , это означает, что магнитное поле не имеет стоков и истоков, линии Bзамкнутые. Магнитное поле имеет соленоидальный или вихревой характер.

Физическая причина соленоидальности магнитного поля - отсутствие свободных магнитных зарядов, аналогичных электрическим зарядам.

Общая физика. «Электромагнетизм»

17

Кафедра физики

Теорема о циркуляции вектора

Циркуляцией вектора			B по замкнутому контуру L						называется
интеграл вида	B,dl					Bl dl
	L						L	Bl B cos , - угол
где dl- вектор элемента длины контура,
между векторами	B	и		dl
Циркуляция вектора			B по произвольному замкнутому контуру L
равна произведению 0						на алгебраическую сумму			токов,
охватываемых контуром:
				B,dl 0 I
			L
Это теорема о циркуляции вектора B.

Общая физика. «Электромагнетизм»

18

Кафедра физики

Теорема о циркуляции вектора

				Ток I в теореме есть алгебраическая сумма токов I ,
	B,dl 0 I
					L		k
	L
				охватываемых контуром		I Ik
					:

	Ток положительный, если его направление связано с направлением
	обхода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного
	направления - отрицательный.	I1	0
						I4 0
	Пример		I2 0
	токи I1 , I2 и I4 - положительные,
	ток I3 - отрицательный. Сумма токов:		L
	Ik 0 I1 I2 I3 I4 I2 I3 I4			I3 0

Общая физика. «Электромагнетизм»

19

Кафедра физики

Теорема о циркуляции вектора . Применение теоремы.

Применение теоремы о циркуляции вектора B в ряде случаев упрощает расчет поля, особенно если вычисление циркуляции B.

можно свести к произведению B (или проекции B ) на длину контура или его часть.

Пример. Магнитное поле прямого тока I.

Пусть ток направлен перпендикулярно плоскости рисунка, к нам.

Линии вектора B имеют вид окружностей с центром на оси тока.

Во всех точках на расстоянии b от центра модуль вектора B одинаков.

B

I

b

B

Общая физика. «Электромагнетизм»

20