Тогда, подставляя (1.6) в (1.5), находим, что

или

. (1.7)

Отсюда следует, что энергия частицы, описываемой уравнением (1.5), может принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Аналогичным свойством обладает уравнение Дирака для свободной частицы со спином ½:

, (1.8 )

где

ψ = (1.9)

–четырехкомпонентная дираковская волновая функция,

= ,,

- (1.10)

набор дираковских матриц

, (1.11)

- (1.12)

матрицы Паули.

Подставив в (1.8) “дираковскую” плоскую волну

Ψ = uе^-ipx =ueⁱ,

где u = -четырехстрочный столбец, элементы которого зависят от импульса,w – спиновая функция нерелятивистской частицы. Из условия разрешимости уравнения Дирака относительно u найдем, что как и в случае уравнения (1.5 ), энергия E связана с импульсом соотношением:

1. E = .

Существование отрицательных энергий при любом импульсе является трудностью релятивистского одночастичного квантового уравнения. Если допустить физическое существование отрицательных энергий, то частицы не будут обладать основным состоянием, и такая квантовая теория является неудовлетворительной. В свое время Дирак для преодоления этой трудности ввел концепцию заполненности всех состояний с отрицательной энергией. Однако такое решение проблемы отрицательных энергий имеет хоть какой- то смысл только для частиц со спином ½, для которых имеет место принцип Паули. Для частиц с целым спином заполнить все состояния с отрицательными энергиями невозможно.

Анализ уравнения Дирака во внешнем электромагнитном поле привел в свое время физиков к заключению, что решения с отрицательными энергиями соответствуют новым частицам с противоположным зарядом –античастицам. Правда, чтобы волновая функция с отрицательной энергией описывала эту новую частицы, нужно совершить над ней операцию комплексного сопряжения.

Современная физика ( квантовая теория поля) рассматривает появление отрицательных энергий также как сигнал о том, что наряду с частицами могут существовать и античастицы. Логика античастичных степеней свободы – следующая. В теории поля рассмотренные выше релятивизованные уравнения Шредингера рассматриваются не как квантовые уравнения, а как уравнения полей, при квантовании которых должны возникнуть квантовые элементарные возбуждения (кванты) этих полей, т.е. те или иные частицы. Существование отрицательных энергий, вообще говоря, подразумевает увеличение числа степеней свободы поля. Действительно, у релятивистского уравнения имеется два типа плоских волн

, ,

где индекс  указывает положительную или отрицательную частоты плоских волн.

Соответственно, произвольное решение  волнового уравнения может быть разложено по двум типам плоских волн:

  {+},

где коэффициенты и - амплитуды плоских волн. При переходе к квантовой теории эти амплитуды становятся операторами поглощения и испускания квантов поля. Если поле является действительным, то = , и отрицательно частотная часть поля описывает просто испускание частиц и античастицы отсутствуют. Такая ситуация имеет место в случае электромагнитного поля. Если же исходное поле комплексное, то

# ,

и квантованное поле обладает еще одной степенью свободы, которая должна быть истолкована как еще одна частица с зарядами, по знаку противоположными знакам зарядов частицы, т. е. как античастица. Таким образом, комплексное поле приводит к существованию античастиц, действительное – нет. Остается только решить “небольшой” вопрос о том, какие объекты следует описывать комплексными полями, и какие -- действительными. В частности, вполне серьезным остается вопрос о том, следует ли считать нейтринное поле комплексным или действительным. В последнем случае нейтрино называется майорановским.

8.Завершая лептонный раздел, рассмотрим коротко вопрос о стабильности лептонов. Вопрос о нестабильности частиц имеет фундаментальное значение и заслуживает специального обсуждения. В самом деле, как понимать нестабильность фундаментальной частицы? Эта нестабильность имеет квантовое происхождение и связана с принципиально неустранимыми квантовыми флуктуациями. Может быть, ситуацию пояснит пример с “чемоданом, лежащем на шкафу”. В классической физике чемодан может лежать на шкафу неопределенно долгое время. Однако если бы чемодан подчинялся квантовым закономерностям, то он за счет неизбежных квантовых флюктуаций он обязательно должен свалиться со шкафа. Точно так же и любой микрообъект обязательно должен перейти в другое состояние, т.е. распасться, если нет специальных запретов на этот распад. Таким образом, нестабильность микрообъектов должна быть скорее правилом, чем исключением. Правда, частота, с которой во флуктуациях встречаются различные конфигурации, соответствующие продуктом распада  эти конфигурации обычно называют каналами распада зависит от интенсивности взаимодействия—сильного, слабого и электромагнитного, которые связывают распадающиеся частицы с различными каналами.

Причина, по которой частица не будет распадаться, может быть тривиальной  у нее для распада может просто не хватить либо энергии, либо момента количества движения. Обе эти величины должны сохраняться при любых превращениях частиц. Однако имеются и нетривиальные причины, догадаться о которых без руководства со стороны эксперимента просто невозможно. Что бы подойти к этим понятиям, обсудим вопросы о стабильности электрона и протона. Почему электрон не распадается, например, на нейтрино и гамма- квант e + ? Ответ очень простой: в этом процессе не сохраняется электрический заряд. Казалось бы, закон сохранения электрического заряда не препятствует распаду p  e+ , но тем не менее такой распад не происходит и протон живет “вечно”. Причина, по которой не происходит этот распад, состоит в том, что он запрещен законами сохранения  законами сохранения лептонного и барионного зарядов, которые запрещают появление среди квантовых флюктуаций конфигураций, соответствущих запрещенным распадам.

Тяжелые лептоны распадаются на менее массивные частицы:

_+ е +_е

  _+  +_ (1.13)

_+ е +_е

.........

где многоточием отмечены другие способы – “каналы” – распада (см.Гл.III). Времена жизни _, _ мюона и таона равняются

_=2.1910^–6с, (1.14)

_=3.0410^–13с.

В стандартной модели нейтрино должны быть, так же, как и электроны, стабильными. Это обусловлено тем, что отсутствуют более легкие лептоны, на которые они могли бы распасться.

9. Следующий класс фундаментальных фермионов, т.е. частиц с полуцелым спином, в данном случае со спином J=1/2, образуют шесть кварков, которые обычно представляют в виде трех кварковых дублетов:

q=. (1.15)

Эти дублеты составляют три кварковых поколения, и вместе с лептонами их объединяют в три поколения фундаментальных фермионов:

. (1.16)

Так же, как и лептоны, кварки обладают обычными характеристиками – спином, зарядом, массой, магнитным моментом, временем жизни.

Заряды кварков – дробные, кратные 1/3 протонного заряда. При этом верхние компоненты дублетов (1.15), т.е. кварки u, c, t обладают зарядом

q_u,c,t = ²/₃ e; (1.17)

нижние компоненты – d, s, b – имеют заряд

q_d,s,b = –¹/₃ e. (1.18)

Такие непривычные значения зарядов на первых этапах создания КХД мешали поверить в реальное существование кварков.

Ситуация с остальными квантовыми характеристиками является более сложной, чем в случае лептонов. Дело в том, что, во-первых, кварки не существуют в свободном состоянии, а спрятаны в кварковых системах (“мешках”) – адронах (см.§4). В этом случае нельзя освободиться от влияния находящихся в том же объеме других кварков и глюонов. Во-вторых, даже если бы кварки могли существовать в изолированном виде, влияние квантовой среды – вакуума – могло бы сильно изменить их. Все это приводит к тому, что обычно говорят о двух типов кварков - токовых и конституэнтных. Токовые кварки - это кварки, закладываемые в теорию. Конституэнтные - это “реальные” (эффективные) кварки в адронах, движение и взаимодействие которых и формирует адроны. Конституэнтные кварки являются эффективными степенями свободы, концептуально напоминающие квазиэлектроны в твердом теле.

По массам кварки разделяются на легкие – u, d, s и тяжелые – c, b, t. Токовые массы легких кварков по косвенным данным имеют следующие значения:

m_u  4 Мэв, m_d 7.5 Мэв, m_s  150 Мэв. (1.19)

Конституэнтные массы этих же кварков оказываются равными:

m_u  m_d  336 Мэв, m_s  500 Мэв. (1.20)

Массы токовых и конституэнтных тяжелых кварков, т.е. c, b, t кварков, близки друг к другу и находятся в интервалах:

m_c = 1.15-1.35 Гэв. ; m_b = 4.0-4.4 Гэв .; m_t = 174.3Гэв. (1.21)

Магнитные моменты токовых и конституэнтных кварков в первом приближении считаются равными соответствующим боровским магнетонам. Это значит, что, например, токовый и конституэнтный u-кварки имеют магнитные моменты:

(1.22)

где индексом “с” отмечен конституэнтный кварк. Хотя по внешнему виду эти формулы идентичны, тем не менее магнитные моменты токовых и конституэнтных легких кварков отличаются в

(1.23)

Как и тяжелые лептоны  и , все кварки тяжелее u должны быть нестабильными – слабое взаимодействие должно превращать их в кварки с меньшей массой. Однако в силу отмеченной выше роли сильного взаимодействия реально ситуация является более сложной. У кварковых систем, состоящих из ud -кварков, из-за малой разности m_d–m_u 3.5 Мэв ( эта разность является малой величиной по сравнению с характерными массами адронов, см. §3) их стабильность или нестабильность определяется соотношением полных масс адронов (также как и в случае атомного ядра). Например, с небольшой вероятностью протекают распады:

(1.24)

В первом распаде происходит “нелогичное” превращение ud, а во втором du. В то же время можно было бы ожидать, что открыт канал только с превращением более тяжелого кварка d в u.

Для адронов с более тяжелыми кварками s, c, b ситуация становится более простой: распад соответствующего адрона обусловлен именно распадом тяжелого кварка. Это связано с тем, что разность масс кварков становится столь большой, что она уже не может быть преодолена разностью масс систем в целом. Например, лептонный распад положительного каона K⁺=(u) обусловлен именно распадом кварка s.

Нетривиальные квантовые числа кварков являются гораздо более разнообразными, чем у лептонов. Лептонам стандартная модель приписывает три лептонных заряда L_e, L_, L_. Аналогичной величиной у кварков- но одной и той же у всех кварков - является барионный заряд, равный 1/3 у кварков и –1/3 у антикварков.

Следующим аддитивным квантовым числом кварков является квантовое число “аромат”. Каждый из шести кварков обладает своим ароматом, который совпадает с названием кварков – u, d, s, c, b, t. Ароматы s, c, b, t задаются специальными числами, называемыми странностью (s), шармом (с), боттомом (b) и топом (t). У кварков s,c,b,t эти квантовые числа равняются:

s = –1, c = +1, b = –1, t =+1, (1.25)

у антикварков соответственно

s =+1, c = –1, b =+1, t = –1. (1.25а)

Для идентификации “ароматных” свойств легчайших кварков u и d используется квантовое число I изотопический спин, являющееся более сложным понятием, чем странность. Изотопический спин I есть характеристика нетривиальной симметрии КХД – изотопической симметрии. Изотопический спин есть “вращательный” момент частицы в формальном изотопическом трехмерном пространстве и по своим формальным свойствам тождественен обычному моменту количества движения J. В нашем случае это значит, что u- и d-кваркам приписывается изоспин I=1/2 с проекцией I₃ на ось квантования в изоспиновом пространстве, равной I₃=1/2:

u I=1/2, I₃=+1/2,

d  I=1, I₃=–1/2. ( 1.26 )

Более подробно об изотопической инвариантности см. §4 и Гл.V .

Еще одним и, пожалуй, важнейшим, квантовым числом кварков является цвет. Цвет кварков – это внутренняя степень свободы каждого из шести кварков, принимающая три значения. Хотя иногда вводят в буквальном смысле три цвета – красный, желтый, зеленый, мы эти цвета будем нумеровать как 1, 2, 3. Существование цвета означает, что фундаментальных фермионов имеется не шесть (u, d, s, c, b, t), а восемнадцать - кварки каждого аромата утраиваются:

uu_1,2,3 и т.д. ( 1.27 )

В заключение приведем таблицу 1.2 с квантовыми характеристиками кварков. Цветные степени свободы не указаны; античастицы – антикварки – подразумеваются. Все аддитивные квантовые числа у антикварков меняют знак.

Таблица 1.2

кварк	J	Q	m, Мэв	B	I, I3	s, c, b, t
u	½	2/3	4(366)	1/3	½, ½	0
d	½	–1/3	7.5(366)	1/3	½,–1/2	0
c	½	2/3	1.310^3	1/3	0	0 1 0 0
s	½	–1/3	150(500)	1/3	0	–1 0 0 0
t	½	2/3	17010^3	1/3	0	0 0 0 1
b	½	–1/3	4.710^3	1/3	0	0 0–1 0

10.Последним классом фундаментальных частиц являются носители взаимодействия между фермионами. Иногда их называют калибровочными бозонами. Имеется три типа таких калибровочных бозонов – глюоны (g_a), фотон γ и W^, Z⁰-бозоны. В таблице 1.3 приведены их характеристики.

Таблица 1.3

частица	J	m, Мэв	Q
ga	1	0	0
	1	0	0
W^	1	81.0	1
Z^0	1	92.4	0

Мы видим, что все носители взаимодействия имеют спин J=1 и являются, как говорят, векторными частицами (кванты векторных полей).

Далее, все эти частицы не обладают лептонным и барионным зарядами, а также ароматами и изотопическим спином. Глюоны, однако, обладают цветом. Цветная степень свободы глюона принимает восемь значений. Соответственно, имеется восемь глюонов и индекс “а” у g_a также пробегает восемь значений:

а=1, 2, ...8. (1.28)

Отметим, что неожиданными оказываются огромные массы W, Z-бозонов – они равняются массам средних атомных ядер! Заметим также, что W^- бозоны (соответственно и W⁺) обладают магнитным моментом:

_W=e/m_W . (1.29)

11. В заключение раздела о фундаментальных степенях свободы рассмотрим коротко вопрос о хиггсовском бозоне, который играет очень важную роль в стандартной модели.

Разнообразие масс фундаментальных фермионов и бозонов (см. Таблицы 1–3) невольно заставляет думать об их производном, а не фундаментальном характере. В стандартной модели эта концепция реализуется определенным механизмом генерирования масс у первоначально безмассовых фундаментальных частиц. Генерация осуществляется с помощью особого типа фазового перехода, совершающегося в вакууме. Этот фазовый переход вызывается скалярным полем , самодействие которого таково, что пространство, заполненное им, имеет энергию меньше, чем пустое пространство. Поле φ называется хиггсовским полем. Возникает замечательная ситуация: “ничто”- пустое пространство- неустойчиво относительно генерирования хиггсовского поля ( Рис.1.1 ). Заполняющее все пространство поле ₀-хиггсовский “конденсат” эффективно отталкивает все частицы, которые с ним связаны, что приводит к появлению у них масс.

Удостоверимся в этом сначала на примере нерелятивистского уравнения Шредингера для свободной частицы, которое мы запишем без пренебрежения массой:

Ĥ₀ Ψ =Е Ψ = ( p² /2m+ m ) Ψ (1.30)

Введем в гамильтониан Ĥ₀ постоянное во всем пространстве отталкивательное взаимодействие V=const > 0:

.( 1.31 )

Сравнивая (1.31) и ( 1.30), мы видим, что введение такого взаимодействия эквивалентно появлению у частицы массы M = m + V.

То же самое можно увидеть и на примере уравнения Дирака. Введем в него скалярное (по отношению к преобазованиям Лоренца) отталкивательное взаимодействие V › 0. Способ введение такого взаимодействия является, однако, не совсем тривиальной процедурой. Действительно, например, кулоновское взаимодействие V_c ( как мы знаем из квантовой теории), вводится в уравнение Дирака как γ⁰V_с, т.е. как нулевая компонента четыре - вектора. Инвариантное относительно преобразований Лоренца взаимодействие V должно вводиться аналогично массе, являющейся релятивистским инвариантом. Поэтому уравнение Дирака с глобальным отталкиванием V будет иметь вид:

= 0 . (1.32)

Мы видим, таким образом , что при введении такого отталкивания масса частицы становится также равной М = m +V.

Схематически механизм генерирования массы у первоначально практически безмассовых частиц изображен на рис.1.2.

Рис. 1.2 Схематическое изображение механизма происхождения масс. Слева - энергия безконденсатного основного состояния; справа - ситуация ,возникающая при образовании конденсата .Заштрихованная область энергий из-за отталкивания частицы от конденсата является для нее недоступной .Это соответвует появлению у частицы массы.

На этом рисунке уровень Е=0 – суть уровень в пустом пространстве; уровень Е=–Е(₀) – энергетическое положение нового вакуума, возникающего при самопоявлении хиггсовского поля ₀. Заштрихованный кружок – частица. Уход истинного вакуума вниз по энергии и отталкивательное взаимодействие f₀ частицы с полем ₀ не позволяет ей последовать за вакуумом. Это и означает, что у частицы появляется дополнительная масса, которая пропорциональна ₀: m=f₀, где f – параметр, характеризующий степень связи частицы с полем ₀.

Флуктуации хиггсовского поля относительно равновесного его значения ₀ в квантовой теории должны быть истолкованы как возбуждения частиц – хиггсовских бозонов со спином J=0 ( поле Хиггса - скалярное!).

Существование хиггсовского механизма генерации масс у фундаментальных частиц неизбежно предполагает существование хиггсовского бозона. Поэтому одной из важнейших задач фундаментальной микрофизики являются поиски хиггсовского бозона и, тем самым, доказательство правильности современного понимания механизма генерации массы. Предварительные сообщения об открытии этого бозона уже появились в научных журналах.

§2.Взаимодействие фундаментальных степеней свободы.

Идентификация фундаментальных степеней свободы является, конечно, важнейшим этапом в становлении СМ. Вторым кардинальным этапом является установление вида их взаимодействия.

В нерелятивистскую квантовую теорию входят свободные частицы и их взаимодействие, которое задается потенциалом V – двухчастичным, трехчастичным и т.д. Гамильтониан Ĥ системы взаимодействующих частиц дается обычной формулой:

, (1.32)

где H₀ –гамильтониан свободных частиц. Потенциал V играет фундаментальную роль в квантовой механике, но в то же время является некоторым “таинственным объектом “, который просто дополнительно вводится в теорию. В стандартной модели также должно быть введено взаимодействие, входящее в гамильтониан формально так же, как и потенциал V. Однако характер этого взаимодействия – другой. В нерелятивистской физике имеет место сохранение числа частиц – они не рождаются и не исчезают. Именно это обстоятельство и позволяет использовать концепцию потенциала. В релятивистской физики ситуация коренным образом меняется. Одной из основных ее особенностей является четко проявляющееся на опыте свойство частиц рождаться и поглощаться. Именно это свойство кладется в основу понятия взаимодействия в СМ. Таким образом, взаимодействие в СМ на фундаментальном уровне сводится к локальному, т.е. пространственно точечному, рождению и поглощению фундаментальных частиц. Структура и содержание теории определяется тем, какова конструкция этого взаимодействия и какие элементарные превращения им вызываются.

Для того, чтобы можно было наглядно обсуждать элементарные акты взаимодействия, введем некоторые элементы общепринятой сейчас в физике диаграммной техники. Эта техника связана с изображением процессов преобразования частиц, как будто бы “развернутых” во времени. Поэтому для изображения процессов взаимодействия прежде всего нужно договориться о направлении “течения” времени. Именно, условимся считать, что время течет слева направо, а лептоны и кварки будем изображать отрезком сплошной линии со стрелкой, направленной также слева направо. Античастица будет изображаться линией со стрелкой, направленной справа налево. Так, линия

—

изображает фермион, а линия

—

антифермион. Такое изображение антифермионов соответствует первоначальной идее Фейнмана о том, что античастица есть распространяющаяся вспять во времени частица. Аналогичным образом бозон с зарядом будем изображать волнистой линией со стрелкой, направленной слева направо, а антибозон – со стрелкой справа налево:

Нейтральные бозоны будут изображаться волнистой линией без стрелки. Например, линия

изображает распространение Z-бозона или -кванта.

3. Что бы задать взаимодействие V в квантовой теории необходимо, во-первых, указать, между какими состояниями отличны от нуля его матричные элементы. В нерелятивистской физике матричные элементы оператора парного взаимодействия зависят от величин типа импульсов, моментов и т.д. Например, матрица

<k₁k₂| V| k₁k₂> (1.33)

описывает взаимодействие двух частиц с переходом их из состояния с импульсами k _1, k₂ в состояние с импульсами k^’_1, k^’₂. При этом в силу однородности пространства импульс должен сохраняться:

.

В релятивистской теории оператор V должен уметь “рождать и поглощать” частицы, т.е. действует не только на пространственные координаты частиц, но также и на переменные, задающие их природу. Поэтому отличными от нуля могут быть матричные элементы оператора взаимодействия между состояниями с различными частицами и различными их числами. При этом опять—таки этот элемент будет зависеть от импульсов и спинов частиц и сумма импульсов в начальном состоянии должна равняться суммарному импульсу в конечном состоянии.

Например, в стандартной модели отличен от нуля матричный элемент, в котором с одной стороны от V находится однокварковое состояние, с другой – кварк-глюонное состояние. На диаграммном языке этот матричный элемент выглядит следующим образом:

gq Vq = (1.34)

Во-вторых, чтобы задать взаимодействие нужно указать конкретную конструкцию из волновых функций участвующих во взаимодействии частиц. Например, матричный элемент испускания скалярной частицы (внутренняя четность равняется нулю, см Гл.II и §4) скалярной же частицей имеет вид:

<ss|V|s>=G (1.34)

Аналогичным образом, испусканию скалярной частицы частицей со спином ½ соответствует матричный элемент:

<sq|V|q> = G, (1.35)

где u, - решения уравнения Дирака (1.8).

Наконец, в-третьих, при прочих равных условиях, нужно масштаб интенсивности превращения частиц задается величиной, называемой константой взаимодействия. В формулах (1.34) и (1.35) величина G есть константа взаимодействия.

4. В квантовой теории поля тесно связанными являются процессы испускания (поглощения) частиц и поглощения (испускания) античастиц, либо процессы испускания и поглощения, если частица не имеет античастицы. Это следует из того, в теории поля, лежащей в основе стандартной модели, непосредственно взаимодействуют не частицы, а поля. Каждое из квантовых полей есть сумма операторов поглощения и рождения частиц (квантов поля) и “таскается” взаимодействием по формулам как единое целое, что и приводит к упомянутой выше связи. Поэтому вместо “упорядоченных” во времени элементов типа

(1.36)

достаточно указать только один элемент – “вершину”, т.е. матричный элемент без волновых функций, без многочисленных вариантов изменения ориентации. Например, вместо соответствующих матричных элементов диаграмм Рис.1.36

(1.37)

можно говорить только о вершине, отбрасывая тривиальные множители внешних концов.

5. Перейдем теперь к знакомству с взаимодействиями в стандартной модели. Базисными в этой модели являются следующие взаимодействия:

а) взаимодействие фермиона с бозоном типа “трехлучевой” диаграммы:

(1.38)

б) взаимодействие бозонов g_a, W^, Z⁰ друг с другом:

(1.39)

Рассмотрим подробнее, с какими бозонами взаимодействуют фермионы и какие бозоны способны превращаться друг в друга. Руководящим принципом здесь прежде всего являются законы сохранения зарядов – электрического (Q=0), лептонного (L=0) и барионного (В=0). Сохранение этих зарядов в процессах микромира было установлено в результате многих сложных экспериментов. Естественно, что оно заложено в стандартную модель (обнаруженные недавно осцилляции нейтрино, видимо, свидетельсьвуют о несохранении лептонного зааряда; это необходимо учитывать).

Наиболее универсальным является взаимодействие фермионов с W^, Z⁰-бозонами. По сложившейся традиции взаимодействие, опосредствованное W^, Z⁰-бозонами, называется слабым взаимодействием. В лептонном секторе, т.е. среди лептонов, мы имеем следующие процессы превращения:

(1.40)

где (,l) – пары лептонных поколений .

Отметим, что в (1.40) учтены законы сохранения электрического и лептонного зарядов.

Взаимодействие W^-бозонов с кварками является более сложным. Для его компактной записи вводится 3х3 матрица, называемая V матрицей Кабаяши-Маскава . Эта матрица следующим образом смешивает нижние компоненты кварковых дублетов:

d=V_udd+V_uss+V_ubb,

s=V_cdd+V_css+V_cbb, (1.41)

b=V_tdd+V_tss+V_tbb.

В терминах штрихованных нижних кварков d, s, b взаимодействие кварков с W-бозонами представляется следующими диаграммами:

(1.42)

Иными словами, W-бозон связывает кварки в новых кварковых дублетах:

(1.43)

Связь W-бозонов с реальными кварками поясним, опираясь на пример конечного u-кварка:

(1.44)

Мы видим, таким образом, что элементы матрицы Кабаяши-Маскава являются важнейшими параметрами стандартной модели. Многочисленные эксперименты привели к следующим значениям элементов матрицы:

. (1.45)

Из этой матрицы следует, что b-кварк практически связан только с t-кварком, d и s-кварки связаны с u и c -кварками. С помощью (1.45) мы можем записать (1.44) в виде:

(1.46)

Коэффициенты перед диаграммой указывают на относительную интенсивность соответствующей связи. В данном случае взаимодействие su в (0.22)² раз меньше взаимодействия du.

Рассмотренные усложнения касаются только взаимодействия с кварками заряженных бозонов. Нейтральный бозон Z⁰ не меняет природы кварка.

Слабое взаимодействие описывается теорией слабого взаимодействия, рассматриваемой в Гл.III.

6. Следующим по степени универсальности является взаимодействие фундаментальных фермионов с фотонами – электромагнитное взаимодействие. За исключением нейтрино, фотон связан со всеми фермионами – заряженными лептонами и кварками. Необходимым условием взаимодействия частиц с фотоном является заряд. Природа частицы в процессе поглощения и испускания фотона не меняется. Электромагнитное взаимодействие описывается квантовой электродинамикой (Гл.II).

7. Бозоны W^, Z⁰ и  взаимодействуют также друг с другом. В стандартной модели имеются следующие фундаментальные процессы с участием носителей взаимодействия:

(1.47)

Отметим, что прямое -рассеяние в стандартной модели отсутствует. Тип взаимодействия W^, Z⁰ и  - бозонов предсказывается электрослабой теорией, которая коротко рассматривается в конце Гл.III.

8. В стандартной модели имеются цветные взаимодействия кварков с глюонами и глюонов между собой. В цветное взаимодействие вступают только частицы, обладающие цветом. Поэтому рассмотренные выше частицы - W^, Z⁰ ,  и лептоны в цветном взаимодействие не участвуют.

Кварк-глюонное взаимодействие определяется только цветным зарядом кварка и не зависит от его аромата. Это значит, что элементарная диаграмма

(1.48)

является одной и той же для кварков всех ароматов.

Чрезвычайно важным является цветное взаимодействие глюонов. Оно имеет вид следующих диаграмм:

(1.49)

Цветные взаимодействия описываются квантовой хромодинамикой (КХД) и называются сильными взаимодействиями. Эти взаимодействия будут рассммотрены в Гл.V.

9. Взаимодействие через испускание и поглощение естественным образом приводят к диаграммам Фейнмана, с помощью которых принято изображать механизмы протекания различных процессов в физике частиц и вообще в физике. Главный принцип диаграмного изображения протекания процессов состоит в том, что начальное состояние, т.е. состояние частиц до взаимодействия между ними, превращается в конечное, т.е. состояние, получающееся в результате взаимодействия начальных частиц, через то или иное промежуточное состояние:

(1.50)

В силу однородности пространства полные импульсы всех трех состояний должны быть одинаковыми. Что касается энергии, то в силу соотношения неопределенностей энергия –время

(1.51)

преобразование (1.50) может происходить с нарушением сохранения энергии. Правда, возникшее при этом состояние _n может существовать только в течение времени, равного по порядку величины

t 1/ E. (1.52)

Поэтому в качестве промежуточного состояния _n может быть любое состояние, “достижимое” из начального и конечного состояния, т.е. не запрещенное строгими законами сохранения.

Как известно из курса квантовой теории, процессы перехода типа (1.50) характеризуются амплитудой M_fi превращения, модуль квадрата которой определяет вероятность перехода в единицу времени. Здесь имеет место определенная аналогия с волновой функцией, которая задает амплитуду вероятности найти физическую систему с определенными значениями полного набора квантовых чисел, определяющих состояние системы. Между волновой функцией и амплитудой перехода должна существовать определенная связь, которая является нетривиальной. В принципе, однако, квантовую теорию можно излагать как в терминах амплитуд, так и в терминах волновых функций.

Вид амплитуды процесса (1.49) можно угадать из формулы для поправки второго порядка E к энергии уровня ₀:

E₀ = . (1.53)

Как видно, эта формула имеет структуру: взаимодействие (амплитуда) V переводит начальное состояние ₀ в промежуточное состояние _n, далее следует энергетический множитель (или пропагатор)

,

описывающий “распространение” промежуточного состояния _n и, наконец, амплитуда ( взаимодействие), переводящее состояние _n в исходное состояние ₀.

Аналогично этому амплитуда M_fi перехода (1.49) имеет вид:

, (1.53)

где M_fi, M_fn, M_ni соответственно амплитуды перехода из начального состояния в конечное, из промежуточного состояния в конечное и из начального в промежуточное.

Конкретизируем теперь процесс (1.49). Пусть он представляет собой рассеяние электрона на электроне посредством обмена фотоном, изображаемый двумя диаграммами:

(1.54)

Вертикальной пунктирной линией отмечено виртуальное промежуточное состояние, через которое осуществляется превращение начального состояние в конечное.

Первая из них соответствует испусканию фотона верхним электроном и поглощение нижним, вторая - испусканию фотона нижним электроном и поглощение верхним. Полная амплитуда этого процесса равняется сумме амплитуд, которые сопоставляются каждой из этих диаграмм:

+, (1.55)

= - .

Здесь и т.д. обозначают амплитуды элементарных процессов типа

e₁ e_1 +; мы использовали также очевидное соотношение:

E₁ –E_1 = -(E₂ –E_2),

следующее из закона сохранения энергии;  - суть частота (энергия) испускаемого и поглощаемого фотона; разумеется,  =иимпульс фотона, величина которого определяется законами сохранения трехмерного импульса:

Формула (1.55) подводит нас вплотную к понятию виртуальной частицы. Обозначим E₁ –E_1 через к₀, где к₀ таким образом представляет собой “энергию” фотона, которая приходится на фотон при сохранении энергии. По-иному можно сказать, что к₀ - суть степень нарушения закона сохранения энергии при испускании фотона, которая по формуле (1.52) определяет время существования испускаемого фотона. Теперь мы можем определить, что называют виртуальной частицей.

Виртуальной частицей называют объект (точнее, микрообъект), для которого не выполняется хорошо известное релятивистское соотношение между энергией, импульсом и массой:

² -=(1.56)

(реальная частица) → (виртуальная частица)

Здесь .

О нарушении соотношения к²=m² говорят также, как о “сходе с массовой поверхнсти”. В данном случае процесса (1.54) можно с одинаковым правом говорить, что при испускании фотона имеет место нарушение сохранения энергии, либо что происходит испускание виртуального фотона.

Обычно в релятивистской квантовой теории – в данном случае в стандартной модели – принята вторая, более удобная из этих двух эквивалентных интерпретаций. Степень нарушения у частицы соотношения (1.56) обычно называют степенью ее виртуальности.

В квантовой теории поля две диаграммы (1.54) объединяются в одну фейнмановскую диаграмму:

в которой уже не нужно указывать какой из электронов (1.54) испускает фотон, а какой поглощает. Соответственно, два члена в выражении для амплитуды (1.55) складываются в один. Совсем просто проследить за тем, как происходит сложение энергетических знаменателей. Действительно,

= , (1.57)

где ==. Числители в формуле (1.55) в силу отмеченных выше причин связаны друг с другом и при сложении приводят к некоторому символическому алгоритму написания амплитуд фейнмановских диаграмм. Связное изложение этого алгоритма выходит за рамки этого курса, и мы ограничимся здесь только двумя общими особенностями алгоритма расписывания амплитуд фейнмановских диаграмм. Во-первых, любому бозонный пропагатор помимо спинового множителя содержит фактор, а любой фермиевский –фактор, где,-так называемые дираковские матрицы, указанные ранее при обсуждении уравнения Дирака,p_ - четыре импульс фермиона (фермионные импульсы принято обозначать через p, бозонные – через k). Во-вторых, любая элементарная вершина содержит соответствующую константу связи частиц.

9.Анализ реального содержания стандартной модели показал, что часть эффектов взаимодействия полей можно объединить с константами взаимодействия таким образом, что эти константы становятся функциями от виртуальности испускаемых или поглощаемых частиц, например, бозонов. Поэтому эффективно квадрат матричного элемента, например, взаимодействия будет пропорционален неа(Q²), где Q²= –q² и q^ - четыре-вектор виртуального глюона. (Для физических кварков величина передаваемого импульса q^ является пространственно-подобной, т.е. q²<0, и, чтобы не иметь дело с отрицательными числами, вместо q² используют Q²). Разумеется, после введения константы, зависящей от Q² , некоторые диаграммы не нужно учитывать.

Рассмотрим сначала вопросы бегущей константы (Q²) в квантовой электродинамике. Эффективная зависимость от Q² возникает за счет диаграмм поляризации вакуума типа (1.58):

В классической физике поляризация среды означает, что вокруг исходного, например, положительного заряда появляется экранирующее его облако отрицательного заряда. На квантовом уровне такого типа образность исчезает, и под поляризацией вакуума понимают квантово-механическое искажение вакуума внесенным в него зарядом. В первом приближении по константе связи это искажение сводится к рождению фотоном электронно-позитронной пары. Соответственно, учесть поляризацию вакуума означает учесть при распространении фотона процессы вида (1.58)

т.е. развала фотона, которым обмениваются заряды, на электронно – позитронную пару и ее последующее схлопывание в фотон.

Вклад диаграмм типа (1.58) приводит к следующей формуле для (Q²):

(1.59)

где m_e – масса электрона.

Формула (1.59) учитывает только диаграммы вида (1.58) с электронами и позитронами. В более точных расчетах необходимо принять во внимание рождение пар всех фундаментальных частиц – других заряженных лептонов, кварков и W-частиц. Это модифицирует формулу (1.59), но качественное поведение (Q²) останется прежним: в области “обычной” физики при Q²m_e

(Q²)= =1/137

и медленно (логарифмически) растет с ростом Q², обращаясь в бесконечность при достаточно больших Q². Для формулы (1.59) это имеет место при

2. Q² ≈ , (1.60)

т.е. при энергиях

E≈ (1.61)

Рост (Q²) при больших Q² уверенно подтверждается на опыте. Например, анализ е⁺е^—столкновений при энергии в СЦИ Е=58 Гэв показал, что

1/(Q²=(58 Гэв)²)=128.61.6 (1.62)

что значительно отличается от привычного числа =1/137. Значение (1.62) хорошо согласуется с модифицированной формулой (1.59).

Интересно отметить, что если смотреть на (Q²) как на Фурье-образ пространственного распределения (r) бегущей константы взаимодействия, то (1.59) соответствует обычной экранировке заряда в диэлектрике – эффективный заряд частицы в этом случае растет по мере приближения к ней. Действительно, чем выше виртуальность Q² фотона, тем меньшее время он существует и, следовательно, тем на меньшее расстояние он может уйти от испускающего его точечного заряда. Поэтому большим Q² соответствуют малые расстояния r. В результате для (r) мы получаем картину распределения заряда, схематически изображенную на рис. 1.3.

3. Рис.1.3

Таким образом, в КЭД константа связи  при при относительно невысоких энергиях является небольшой =1/137. При такой малой константе применима теория возмущений. Это значит, во-первых, что при расчете любых процессов можно ограничиться механизмами с минимальным числом поглощений-испусканий фотонов (см. Гл. II). Во-вторых, это значит, что в квантовой электродинамике скорее всего не возникает фазовых переходов и нетривиальных эффективных степеней свободы, как это имеет место в квантовой хромодинамике ( см.§ 5 этой главы и Гл. V). Иными словами, в КЭД отсутствует нетривиальная непертурбативная область, свойственная как мы увидим КХД.

Вместе с тем, остается вопрос о том, что же происходит с константой связи и квантовой электродинамикой при очень высоких энергиях – становится ли КЭД принципиально непертурбативной или перестает быть физической теорией? Предполагаемый ответ на вопрос сводится к следующему. В области энергий 10¹⁵ Гэв квантовая электродинамика, теория слабых взаимодействий и квантовая хромодинамика объединяются в постстандартную теорию, контуры которой еще не ясны. Тем не менее – об этом говорит весь опыт стандартной модели – очень вероятно, что эта единая теория по образцу квантовой хромодинамики обладает свойством асимптотической свободы и ее константа связи асимптотически обращается в нуль.

10. Перейдем теперь к бегущей константе связи _s(Q²) в КХД. Аналогичная (1.59) формула в этом случае имеет вид:

=(1.63)

где ² произвольная точка, которая служит началом отсчета –при Q² =² , n_f – число ароматов кварков, учитываемых при нахождении поляризации вакуума, а постоянная , определяется из условия:

1+(11-2/3n_f) =0 . (1.64)

По существующим оценкам Λ≈ 100-200 Мэв.

Из (1.64) следует, что в КХД реализуются два, как говорят, режима работы. Один из них осуществляется в области больших Q², в пределе Q² или малых расстояний, и называется пертурбативным, второй – непертурбативный – в области Q².

Рассмотрим сначала случай больших Q². Как видно из (1.63), при Q² постоянная связи КХД логарифмически обращается в ноль. Это свойство теории получило название асимптотической свободы. В теориях, асимптотически свободных, при достаточно больших Q² константа связи становится столь малой, что по этой константе можно применять теорию возмущений. Отсюда и термин пертурбативная область (perturbation – возмущение).

Поскольку большие Q² соответствуют малым расстояниям от испускающего глюон точечного заряда, то непертурбативный режим реализуется на малых расстояниях. В квантовой хромодинамике теория возмущений хорошо применима при Q²4(Гэв)². Это соответствует расстояниям r (1/Q²)^1/2=0.1 фм.

Основные экспериментальные подтверждения КХД связаны с ее пертурбативными предсказаниями. В частности, важнейшим тестом КХД является соответствие _s(Q²) в пертурбативной области формуле (1.63). Экспериментально определенные значения бегущей константы связи _s(Q²) таковы:

_s(Q²=(4.7Гэв)²)=0.1790.009,

_s(Q²=(34Гэв)²)=0.1320.016, (1.65)

_s(Q²=(81Гэв)²)=0.1200.005.

Нетрудно убедиться, что значения (1.65) великолепно согласуются с формулой (1.63). Другие пертурбативные процессы будут рассмотрены в главе V.

В заключение сделаем несколько замечаний о различном поведении бегущих констант в КЭД и КХД при больших Q². В формуле (1.63) положительный в целом коэффициент (11–2/3n_f) перед логарифмом содержит два существенно различных слагаемых. Одно из них – (–2/3n_f) – возникает за счет кварк-антикварковых поляризационных поправок

(1.66)

второе – число 11 – за счет глюонной поляризации вакуума

(1.67)

Если пренебречь глюонными процессами в (1.63) и, следовательно, в коэффициенте перед логарифмом, то мы возвращаемся к формуле типа (1.59), когда бегущая константа неограниченно растет с ростом Q². Таким образом, замечательная черта КХД – асимптотическая свобода, с которой тесно связан пертурбативный режим КХД, обусловлена самодействием глюонов. В квантовой электродинамике такое самодействие фотонов отсутствует, и поэтому константа растет с ростом Q².

11.Непертурбативный режим КХД, т.е. режим при котором теория возмущений неприменима, реализуется при Q², близких к ². В этой области _s, как видно из формулы (1.63), становится очень большой. Взаимодействие между фундаментальными степенями свободы оказывается очень сильным и создается ситуация, когда теория возмущений становится неприменимой.

12. В непертурбативной области динамические степени свободы системы могут отличаться и, как правило, отличаются от фундаментальных, в данном случае кварк-глюонных. Например, в атомном ядре доминируют нуклонные (см.§ 5), а не кварк – глюонные, степени свободы. Аналогичным образом, структура нуклона в значительной степени определяется тем, что в волновой функции нуклона присутствуют пионы. Далее, сформированные кварк–глюонным взаимодействием эффективные, адронные степени свободы начинаю “жить” сами по себе, взаимодействуя друг с другом. Например, между нуклонами и мезонами также имеет место взаимодействие и достаточно сильное. Взаимодействие адронов формирует адронную физику. Разобраться в в адронной физике совсем сложно. В сущности, чтобы решить проблему эффективных степеней свободы, нужна либо удачная догадка, либо почти точное решение задачи бесконечного числа степеней свободы, причем с учетом релятивистских эффектов. Вообще говоря, физика уже встречалась с такими системами, и тем или иным способом решала возникающие многочисленные проблемы.

В физике атомного ядра решающий шаг был сделан с осознанием того, что нуклоны в первом приближении движутся независимо в самосогласованном потенциале ( оболочечная модель). В физике твердого тела была разработана концепция квазичастиц, например, квазиэлектронов, с массой, вообще говоря, существенно отличной от массы свободного электрона. Эффективными степенями свободы в твердом теле, возникающими за счет взаимодействия фундаментальных частиц (в этом случае ионы и электроны), являются фононы, кванты спиновых волн и т.д.

Далее, в физике сплошных сред в конечном счете была распознана роль различных фазовых переходов. Все такого типа явления могут иметь и имеют место в непертурбативной КХД.

В заключение отметим, что возникновение непертурбативного режима КХД может реально происходить и не при очень больших значениях _s. Некоторые физики считают, что он наступает при _s=1/3.