7.3. Измерение степени тесноты связи при нелинейной зависимости

Равенство нулю коэффициента корреляциии r еще не доказывает, что между случайными величинами  и  отсутствует зависимость, которая может быть не только линейной, но и нелинейной. Характеристикой, указывающей не наличие как линейной, так и нелинейной корреляционной зависимости случайных величин  и , является корреляционное отношение. 

Корреляционное отношение. Рассмотрим случай, когда выборочные данные сгруппированы по оси независимой (объясняющей) переменной. Пусть k – число интервалов группировки по оси абсцисс; m_i (i = 1, 2,… k) –число выборочных точек, попавших в i –й интервал группирования; = ()/m_i – среднее значение ординат точек, попавших в в i –й интервал группирования.

Корреляционное отношение η представляет собой отношение выборочных оценок межгрупповой дисперсии и дисперсиииндивидуальных результатов наблюдений:

η² = /,

= 1/ п,= () /п– общее среднее,

= 1/ п.

Величину η принято называть корреляционным отношением зависимой переменной Yпо независимой переменнойX.

Свойства корреляционного отношения.

1. Если величина Yсвязана с величинойXфункциональной зависимостью, отношение η²= 1, еслиYсвязана с величинойXкорреляционной зависимостью, отношение η²< 1;

2. 0 ≤ η < 1 - с ростом η корреляционная связь становится более тесной;

3. если η = 0, корреляция между XиYотсутствует, некоррелированностьYсX не влечет за собой некоррелированностиXсY;

4. если η = 1, величины XиYсвязаны функциональной зависимостью;

5. η ≥ ‌ r_XY ‌ ;

6. η = ‌ r_XY‌ , имеет место линейная корреляционная зависимость.

В отличие от коэффициента корреляции отношение η оценивает тесноту связи любой формы, однако не позволяет судить о разбросе вокруг кривой определенного вида.

Проверка гипотезы об отсутствии корреляционной связи. Пусть условные распределения зависимой переменнойY(х) при любом фиксированномхописываются нормальным законом с постоянной дисперсией σ².

Проверяется гипотеза Н₀: η_XY= 0.

Статистика F=имеет приближенноF– распределение Фишера с (k – 1,n – k) степенями свободы. ЕслиF>(k–1,n– k), то гипотезаН₀ об отсутствии корреляционной связи между XиYотвергается с уровнем значимости α. Здесь(k–1,n– k) – квантиль уровня αF– распределения с числом степеней свободы числителяk–1 и знаменателяn– k. При выполнении обратного неравенства значение корреляционного отношения η признается статистически незначимым, т. е. делается вывод об отсутствии корреляционной связи между XиY.

Пример.Проверить гипотезуН₀: η_XY= 0 об отсутствии корреляционной связи между двумя переменнымиХиY. Данные для решения задачи представлены в таблице:

Интервал Х	8– 10 т1 = 3	10 – 12 т2 = 3	12 –14 т3 = 3	14 – 16 т4 = 3	16 –18 т5 = 2	18 –20 т6 = 3
Y	7,000 11,000 8	21,000 25,000 22,000	38,000 33,000 43,000	48,000 50,000 62,000	70,000 74,000	84,000 82,000 68,000
	= 8,663	= 22,667	= 38,000	= 53,333	= 72,000	= 78,000
= 43,882; п =17

Находим = 657,227;= 678,600 и вычисляем значение корреляционного отношения η²=/= 657,227 / 678,600 = 0,9685. Определяем статистикуF== 67,64 и критическое значение(5, 11) = 3,20. Так какF= 67,64 >(5, 11) = 3,20, то гипотезаН₀ об отсутствии корреляционной связи между XиYотвергается с уровнем значимости 0,05.