Задача №10

По выборке двухмерной случайной величины:

- вычислить точечную оценку коэффициента корреляции;

- вычислить интервальную оценку коэффициента корреляции ;

- проверить гипотезу об отсутствии корреляционной зависимости ;

- вычислить оценки параметров a₀ и a₁ линии регрессии ;

- построить диаграмму рассеивания и линию регрессии.

Выборка:

( -1,63; 4,73) ( 3,97; 4,73) ( 1,17; 0,37) ( 6,25; -0,89) ( 6,85; 0,56) ( 2,32; -0,28) ( 0,95; 3,21) ( 1,64; 3,60)

( 1,86; 4,35) ( 2,41; 5,58) ( -3,18; 2,93) ( 1,35; 3,36) ( -0,23; 4,45) ( 8,63; 3,08) ( 4,85; 2,41) ( 6,38; 7,62)

( 0,23; 8,62) ( 1,63; -0,03) ( 6,98; 4,49) ( 4,20; 2,51) ( -2,13; 6,38) ( 3,04; 5,88) ( -0,82; 4,23) ( 1,77; 2,13)

( -2,37; 6,66) ( 2,41; 4,87) ( 2,54; 4,80) ( 6,58; 1,32) ( 0,54; 1,99) ( 3,63; 1,85) ( 1,96; 0,73) ( 2,48; 1,20)

( 0,39; -0,06) ( 4,06; 1,09) ( -3,36; 2,56) ( -0,04; 6,79) ( 1,83; 3,37) ( 5,01; 1,66) ( 2,72; -2,88) ( 5,34; -2,82)

( 3,11; 3,88) ( 8,21; 3,03) ( -1,21; 5,80) ( 3,28; 0,77) ( 1,36; 2,27) ( 3,78; 4,52) ( 0,65; 6,00) ( 0,58; 3,52)

( 1,02; 7,23) ( -3,01; 8,45)

Решение

Для удобства все промежуточные вычисления поместим в таблицу 7. Вычислим:

1. Оценки математических ожиданий по каждой переменной:

2. Оценки начальных моментов второго порядка по каждой переменной:

3. Оценку смешанного начального момента второго порядка:

4. Оценки дисперсий:

5. Оценку корреляционного момента:

Таблица 7 – Результаты промежуточных вычислений

x	y	x^2	y^2	x*y
-1,63	4,73	2,6569	22,3729	-7,7099
3,97	4,73	15,7609	22,3729	18,7781
1,17	0,37	1,3689	0,1369	0,4329
6,25	-0,89	39,0625	0,7921	-5,5625
6,85	0,56	46,9225	0,3136	3,836
2,32	-0,28	5,3824	0,0784	-0,6496
0,95	3,21	0,9025	10,3041	3,0495
1,64	3,60	2,6896	12,9600	5,904
1,86	4,35	3,4596	18,9225	8,091
2,41	5,58	5,8081	31,1364	13,4478
-3,18	2,93	10,1124	8,5849	-9,3174
1,35	3,36	1,8225	11,2896	4,536
-0,23	4,45	0,0529	19,8025	-1,0235
8,63	3,08	74,4769	9,4864	26,5804
4,85	2,41	23,5225	5,8081	11,6885
6,38	7,62	40,7044	58,0644	48,6156
0,23	8,62	0,0529	74,3044	1,9826
1,63	-0,03	2,6569	0,0009	-0,0489
6,98	4,49	48,7204	20,1601	31,3402
4,20	2,51	17,6400	6,3001	10,542
-2,13	6,38	4,5369	40,7044	-13,5894
3,04	5,88	9,2416	34,5744	17,8752
-0,82	4,23	0,6724	17,8929	-3,4686
1,77	2,13	3,1329	4,5369	3,7701
-2,37	6,66	5,6169	44,3556	-15,7842
2,41	4,87	5,8081	23,7169	11,7367
2,54	4,80	6,4516	23,0400	12,192
6,58	1,32	43,2964	1,7424	8,6856
0,54	1,99	0,2916	3,9601	1,0746
3,63	1,85	13,1769	3,4225	6,7155
1,96	0,73	3,8416	0,5329	1,4308
2,48	1,20	6,1504	1,4400	2,976
0,39	-0,06	0,1521	0,0036	-0,0234
4,06	1,09	16,4836	1,1881	4,4254
-3,36	2,56	11,2896	6,5536	-8,6016
-0,04	6,79	0,0016	46,1041	-0,2716
1,83	3,37	3,3489	11,3569	6,1671
5,01	1,66	25,1001	2,7556	8,3166
2,72	-2,88	7,3984	8,2944	-7,8336
5,34	-2,82	28,5156	7,9524	-15,0588
3,11	3,88	9,6721	15,0544	12,0668
8,21	3,03	67,4041	9,1809	24,8763
-1,21	5,80	1,4641	33,6400	-7,018
3,28	0,77	10,7584	0,5929	2,5256
1,36	2,27	1,8496	5,1529	3,0872
3,78	4,52	14,2884	20,4304	17,0856
0,65	6,00	0,4225	36,0000	3,9
0,58	3,52	0,3364	12,3904	2,0416
1,02	7,23	1,0404	52,2729	7,3746
-3,01	8,45	9,0601	71,4025	-25,4345

6. Точечную оценку коэффициента корреляции:

7. Вычислим интервальную оценку коэффициента корреляции с заданной надёжностью . По таблице функции Лапласа [1, стр. 61] :

Таким образом, доверительный интервал для коэффициента корреляции имеет вид:

8. Проверим гипотезу о корреляционной зависимости:

Так как объём выборки велик (n>50), то критерий вычислим по формуле:

По таблицы функции Лапласа .

Так как , то гипотеза принимается, т.е. величины и не коррелированны.

9. Вычислим оценки параметров линии регрессии:

Уравнение линии регрессии имеет вид:

Исходя из двухмерной выборки построим диаграмму рассеивания и линию регрессии (рисунок 9).

Список литературы

1. А. И. Волковец, А. Б. Гуринович, А. В.Аксенчик. Теория вероятностей и математическая статистика: метод. указания по типовому расчету .– Минск БГУИР, 2009. – 65 с.: ил.

2. А. И. Волковец, А. Б. Гуринович. Теория вероятностей и математическая статистика: Конспект лекций для студ. всех спец. и форм обучения.– Минск БГУИР, 2003. – 84 л.