Задача №10

По выборке двухмерной случайной величины:

- вычислить точечную оценку коэффициента корреляции;

- вычислить интервальную оценку коэффициента корреляции ;

- проверить гипотезу об отсутствии корреляционной зависимости ;

- вычислить оценки параметров a₀ и a₁ линии регрессии ;

- построить диаграмму рассеивания и линию регрессии.

Выборка:

( -0,01; -5,46) ( 3,42; -4,85) ( 5,28; 1,73) ( -1,65; 2,48) ( 4,66; 2,05) ( 2,49; -1,68) ( 1,91; -0,06) ( 8,29; -1,87)

( 0,25; 0,08) ( 4,66; -0,91) ( -0,95; -0,53) ( 6,33; -2,00) ( -1,46; -3,24) ( 3,32; 5,53) ( -2,74; 1,93) ( -2,38; 4,46)

( 2,45; -1,28) ( 0,41; 3,94) ( 4,63; 0,83) ( 2,99; 1,49) ( 0,49; 7,08) ( 3,46; 2,28) ( 3,76; 2,40) ( 3,53; 1,77)

( -0,42; 4,52) ( 5,57; 0,80) ( -4,83; 2,56) ( -3,01; 1,66) ( 5,13; 0,64) ( 4,20; -1,15) ( 4,11; -0,74) ( -0,47; 5,29)

( 1,59; 8,16) ( 3,42; -2,21) ( 1,69; -0,20) ( 4,34; 0,68) ( 0,30; 1,61) ( 4,87; -1,51) ( 5,57; -2,45) ( 0,80; 1,32)

( -1,34; 4,38) ( 2,87; 0,69) ( -0,91; 1,35) ( 0,05; -1,07) ( 1,88; -3,52) ( -1,31; -0,88) ( 1,90; 3,65) ( 0,82; 4,08)

( 0,01; 2,17) ( 1,89; 3,54)

Решение

Для удобства все промежуточные вычисления поместим в таблицу 7. Вычислим:

1. Оценки математических ожиданий по каждой переменной:

2. Оценки начальных моментов второго порядка по каждой переменной:

3. Оценку смешанного начального момента второго порядка:

4. Оценки дисперсий:

5. Оценку корреляционного момента:

Таблица 7 – Результаты промежуточных вычислений

x	y	x^2	y^2	x*y
-4,83	2,56	23,3289	6,5536	-12,3648
-3,01	1,66	9,0601	2,7556	-4,9966
-2,74	1,93	7,5076	3,7249	-5,2882
-2,38	4,46	5,6644	19,8916	-10,6148
-1,65	2,48	2,7225	6,1504	-4,092
-1,46	-3,24	2,1316	10,4976	4,7304
-1,34	4,38	1,7956	19,1844	-5,8692
-1,31	-0,88	1,7161	0,7744	1,1528
-0,95	-0,53	0,9025	0,2809	0,5035
-0,91	1,35	0,8281	1,8225	-1,2285
-0,47	5,29	0,2209	27,9841	-2,4863
-0,42	4,52	0,1764	20,4304	-1,8984
-0,01	-5,46	0,0001	29,8116	0,0546
0,01	2,17	0,0001	4,7089	0,0217
0,05	-1,07	0,0025	1,1449	-0,0535
0,25	0,08	0,0625	0,0064	0,02
0,30	1,61	0,0900	2,5921	0,483
0,41	3,94	0,1681	15,5236	1,6154
0,49	7,08	0,2401	50,1264	3,4692
0,80	1,32	0,6400	1,7424	1,056
0,82	4,08	0,6724	16,6464	3,3456
1,59	8,16	2,5281	66,5856	12,9744
1,69	-0,20	2,8561	0,0400	-0,338
1,88	-3,52	3,5344	12,3904	-6,6176
1,89	3,54	3,5721	12,5316	6,6906
1,90	3,65	3,6100	13,3225	6,935
1,91	-0,06	3,6481	0,0036	-0,1146
2,45	-1,28	6,0025	1,6384	-3,136
2,49	-1,68	6,2001	2,8224	-4,1832
2,87	0,69	8,2369	0,4761	1,9803
2,99	1,49	8,9401	2,2201	4,4551
3,32	5,53	11,0224	30,5809	18,3596
3,42	-4,85	11,6964	23,5225	-16,587
3,42	-2,21	11,6964	4,8841	-7,5582
3,46	2,28	11,9716	5,1984	7,8888
3,53	1,77	12,4609	3,1329	6,2481
3,76	2,40	14,1376	5,7600	9,024
4,11	-0,74	16,8921	0,5476	-3,0414
4,20	-1,15	17,6400	1,3225	-4,83
4,34	0,68	18,8356	0,4624	2,9512
4,63	0,83	21,4369	0,6889	3,8429
4,66	2,05	21,7156	4,2025	9,553
4,66	-0,91	21,7156	0,8281	-4,2406
4,87	-1,51	23,7169	2,2801	-7,3537
5,13	0,64	26,3169	0,4096	3,2832
5,28	1,73	27,8784	2,9929	9,1344
5,57	0,80	31,0249	0,6400	4,456
5,57	-2,45	31,0249	6,0025	-13,6465
6,33	-2,00	40,0689	4,0000	-12,66
8,29	-1,87	68,7241	3,4969	-15,5023

6. Точечную оценку коэффициента корреляции:

7. Вычислим интервальную оценку коэффициента корреляции с заданной надёжностью . По таблице функции Лапласа [1, стр. 61] :

Таким образом, доверительный интервал для коэффициента корреляции имеет вид:

8. Проверим гипотезу о корреляционной зависимости:

Так как объём выборки велик (n>50), то критерий вычислим по формуле:

По таблицы функции Лапласа .

Так как , то гипотеза не _­принимается , т.е. величины и коррелированны.

9. Вычислим оценки параметров линии регрессии:

Уравнение линии регрессии имеет вид:

Исходя из двухмерной выборки построим диаграмму рассеивания и линию регрессии (рисунок 10).