Задача №10

По выборке двухмерной случайной величины:

- вычислить точечную оценку коэффициента корреляции;

- вычислить интервальную оценку коэффициента корреляции ;

- проверить гипотезу об отсутствии корреляционной зависимости ;

- вычислить оценки параметров a₀ и a₁ линии регрессии ;

- построить диаграмму рассеивания и линию регрессии.

Выборка:

( -0.64; 0.93) ( -1.68; 2.31) ( 0.75; -0.71) ( 1.35; -1.19) ( -1.12; 0.75) ( 1.92; -1.37) ( 2.54; -2.33) ( 0.01; 0.76)

( -2.01; 2.07) ( 0.77; -1.46) ( -1.13; 0.56) ( 0.74; -0.23) ( -1.60; 2.16) ( 3.06; -2.80) ( 1.51; -1.48) ( 1.98; -2.09)

( 1.49; -0.78) ( -2.33; 2.05) ( 1.91; -0.97) ( 0.48; -1.11) ( -1.83; 2.44) ( 1.59; -1.87) ( -0.78; 1.17) ( 0.82; -0.69)

( -1.15; 0.81) ( -0.74; 0.49) ( 0.42; -0.09) ( -0.24; 0.25) ( 1.45; -0.90) ( 2.06; -1.76) ( -2.26; 2.88) ( 0.16; -0.43)

( 1.50; -1.78) ( 2.71; -3.28) ( 1.12; -1.11) ( -0.34; 0.27) ( -0.91; 1.08) ( -1.77; 1.10) ( 0.04; 0.16) ( -1.14; 1.56)

( -1.28; 1.54) ( 1.92; -2.20) ( 1.28; -1.78) ( -0.40; 1.25) ( -2.21; 1.69) ( 0.30; -0.32) ( 3.03; -2.34) ( 0.88; -1.09)

( -0.30; 0.65) ( 0.91; -0.49)

Решение

Для удобства все промежуточные вычисления поместим в таблицу 7, Вычислим:

1. Оценки математических ожиданий по каждой переменной:

2. Оценки начальных моментов второго порядка по каждой переменной:

3. Оценку смешанного начального момента второго порядка:

4. Оценки дисперсий:

5. Оценку корреляционного момента:

Таблица 7 – Результаты промежуточных вычислений

	x	y	x^2	y^2­	x*y
	-0,640	0,930	0,410	0,865	-0,595
	-1,680	2,310	2,822	5,336	-3,881
	0,750	-0,710	0,563	0,504	-0,533
	1,350	-1,190	1,823	1,416	-1,607
	-1,120	0,750	1,254	0,563	-0,840
	1,920	-1,370	3,686	1,877	-2,630
	2,540	-2,330	6,452	5,429	-5,918
	0,010	0,760	0,000	0,578	0,008
	-2,010	2,070	4,040	4,285	-4,161
	0,770	-1,460	0,593	2,132	-1,124
	-1,130	0,560	1,277	0,314	-0,633
	0,740	-0,230	0,548	0,053	-0,170
	-1,600	2,160	2,560	4,666	-3,456
	3,060	-2,800	9,364	7,840	-8,568
	1,510	-1,480	2,280	2,190	-2,235
	1,980	-2,090	3,920	4,368	-4,138
	1,490	-0,780	2,220	0,608	-1,162
	-2,330	2,050	5,429	4,203	-4,777
	1,910	-0,970	3,648	0,941	-1,853
	0,480	-1,110	0,230	1,232	-0,533
	-1,830	2,440	3,349	5,954	-4,465
	1,590	-1,870	2,528	3,497	-2,973
	-0,780	1,170	0,608	1,369	-0,913
	0,820	-0,690	0,672	0,476	-0,566
	-1,150	0,810	1,323	0,656	-0,932
	-0,740	0,490	0,548	0,240	-0,363
	0,420	-0,090	0,176	0,008	-0,038
	-0,240	0,250	0,058	0,063	-0,060
	1,450	-0,900	2,103	0,810	-1,305
	2,060	-1,760	4,244	3,098	-3,626
	-2,260	2,880	5,108	8,294	-6,509
	0,160	-0,430	0,026	0,185	-0,069
	1,500	-1,780	2,250	3,168	-2,670
	2,710	-3,280	7,344	10,758	-8,889
	1,120	-1,110	1,254	1,232	-1,243
	-0,340	0,270	0,116	0,073	-0,092
	-0,910	1,080	0,828	1,166	-0,983
	-1,770	1,100	3,133	1,210	-1,947
	0,040	0,160	0,002	0,026	0,006
	-1,140	1,560	1,300	2,434	-1,778
	-1,280	1,540	1,638	2,372	-1,971
	1,920	-2,200	3,686	4,840	-4,224
	1,280	-1,780	1,638	3,168	-2,278
	-0,400	1,250	0,160	1,563	-0,500
	-2,210	1,690	4,884	2,856	-3,735
	0,300	-0,320	0,090	0,102	-0,096
	3,030	-2,340	9,181	5,476	-7,090
	0,880	-1,090	0,774	1,188	-0,959
	-0,300	0,650	0,090	0,423	-0,195
	0,910	-0,490	0,828	0,240	-0,446
Сумма:	12,84	-7,72	113,0568	116,342	-109,713

6. Точечную оценку коэффициента корреляции:

7. Вычислим интервальную оценку коэффициента корреляции с заданной надёжностью , По таблице функции Лапласа [1, стр, 61] :

Таким образом, доверительный интервал для коэффициента корреляции имеет вид:

8. Проверим гипотезу о корреляционной зависимости:

Так как объём выборки велик (n>50), то критерий вычислим по формуле:

По таблице функции Лапласа .

Так как , то гипотеза принимается, т,е, величины и не коррелированны,

9. Вычислим оценки параметров линии регрессии:

Уравнение линии регрессии имеет вид:

Исходя из двухмерной выборки построим диаграмму рассеивания и линию регрессии (рисунок 10):

Список литературы

1. А, И, Волковец, А, Б, Гуринович, А, В,Аксенчик, Теория вероятностей и математическая статистика: метод, указания по типовому расчету ,– Минск БГУИР, 2009, – 65 с,: ил,

2. А, И, Волковец, А, Б, Гуринович, Теория вероятностей и математическая статистика: Конспект лекций для студ, всех спец, и форм обучения,– Минск БГУИР, 2003, – 84 л,