Задача №10

По выборке двухмерной случайной величины:

- вычислить точечную оценку коэффициента корреляции;

- вычислить интервальную оценку коэффициента корреляции ;

- проверить гипотезу об отсутствии корреляционной зависимости ;

- вычислить оценки параметров a₀ и a₁ линии регрессии ;

- построить диаграмму рассеивания и линию регрессии.

Выборка:

( -1,64; -0,52) ( 0,33; 3,87) ( -2,03; -2,54) ( -4,94; -4,38) ( 3,00; 2,38) ( 0,39; -3,53) ( -1,44; -1,34) ( 2,00; -0,12)

( 0,25; -3,27) ( -3,69; -5,00) ( 4,93; -2,68) ( -1,57; -1,34) ( -2,24; -0,68) ( -3,87; -0,81) ( -1,77; -0,70) ( -0,93; -2,16)

( -3,31; -2,10) ( 0,15; -0,67) ( -1,45; -5,53) ( -2,69; 0,59) ( -1,38; -0,66) ( 3,57; 3,32) ( 2,25; 2,46) ( -6,51; -6,89)

( -3,94; -6,04) ( 0,23; -1,78) ( 0,13; -0,15) ( -0,52; 0,66) ( -2,69; -0,63) ( 0,02; -0,80) ( -2,20; -4,77) ( -1,15; -0,01)

( -2,41; 0,51) ( -1,84; 1,43) ( 1,95; 0,42) ( 1,50; 0,65) ( 0,22; -0,36) ( -0,58; -2,44) ( -3,95; -8,16) ( 2,68; 4,62)

( -0,45; -1,20) ( -3,29; -3,92) ( -0,94; 4,20) ( 0,82; -1,95) ( -3,06; -4,16) ( -4,20; -6,19) ( -5,81; -3,91) ( -2,24; -2,33)

( -2,71; -2,60) ( 1,44; -1,21)

Решение

Для удобства все промежуточные вычисления поместим в таблицу 7, Вычислим:

1. Оценки математических ожиданий по каждой переменной:

2. Оценки начальных моментов второго порядка по каждой переменной:

3. Оценку смешанного начального момента второго порядка:

4. Оценки дисперсий:

5. Оценку корреляционного момента:

Таблица 7 – Результаты промежуточных вычислений

	x	y	x^2	y^2­	x*y
	-1,640	-0,520	2,690	0,270	0,853
	0,330	3,870	0,109	14,977	1,277
	-2,030	-2,540	4,121	6,452	5,156
	-4,940	-4,380	24,404	19,184	21,637
	3,000	2,380	9,000	5,664	7,140
	0,390	-3,530	0,152	12,461	-1,377
	-1,440	-1,340	2,074	1,796	1,930
	2,000	-0,120	4,000	0,014	-0,240
	0,250	-3,270	0,063	10,693	-0,818
	-3,690	-5,000	13,616	25,000	18,450
	4,930	-2,680	24,305	7,182	-13,212
	-1,570	-1,340	2,465	1,796	2,104
	-2,240	-0,680	5,018	0,462	1,523
	-3,870	-0,810	14,977	0,656	3,135
	-1,770	-0,700	3,133	0,490	1,239
	-0,930	-2,160	0,865	4,666	2,009
	-3,310	-2,100	10,956	4,410	6,951
	0,150	-0,670	0,023	0,449	-0,101
	-1,450	-5,530	2,103	30,581	8,019
	-2,690	0,590	7,236	0,348	-1,587
	-1,380	-0,660	1,904	0,436	0,911
	3,570	3,320	12,745	11,022	11,852
	2,250	2,460	5,063	6,052	5,535
	-6,510	-6,890	42,380	47,472	44,854
	-3,940	-6,040	15,524	36,482	23,798
	0,230	-1,780	0,053	3,168	-0,409
	0,130	-0,150	0,017	0,023	-0,020
	-0,520	0,660	0,270	0,436	-0,343
	-2,690	-0,630	7,236	0,397	1,695
	0,020	-0,800	0,000	0,640	-0,016
	-2,200	-4,770	4,840	22,753	10,494
	-1,150	-0,010	1,323	0,000	0,012
	-2,410	0,510	5,808	0,260	-1,229
	-1,840	1,430	3,386	2,045	-2,631
	1,950	0,420	3,803	0,176	0,819
	1,500	0,650	2,250	0,423	0,975
	0,220	-0,360	0,048	0,130	-0,079
	-0,580	-2,440	0,336	5,954	1,415
	-3,950	-8,160	15,603	66,586	32,232
	2,680	4,620	7,182	21,344	12,382
	-0,450	-1,200	0,203	1,440	0,540
	-3,290	-3,920	10,824	15,366	12,897
	-0,940	4,200	0,884	17,640	-3,948
	0,820	-1,950	0,672	3,803	-1,599
	-3,060	-4,160	9,364	17,306	12,730
	-4,200	-6,190	17,640	38,316	25,998
	-5,810	-3,910	33,756	15,288	22,717
	-2,240	-2,330	5,018	5,429	5,219
	-2,710	-2,600	7,344	6,760	7,046
	1,440	-1,210	2,074	1,464	-1,742
Сумма:	-55,58	-72,42	348,8548	496,160	286,190

6. Точечную оценку коэффициента корреляции:

7. Вычислим интервальную оценку коэффициента корреляции с заданной надёжностью , По таблице функции Лапласа [1, стр, 61] :

Таким образом, доверительный интервал для коэффициента корреляции имеет вид:

8. Проверим гипотезу о корреляционной зависимости:

Так как объём выборки велик (n>50), то критерий вычислим по формуле:

По таблице функции Лапласа .

Так как , то гипотеза принимается, т,е, величины и не коррелированны,

9. Вычислим оценки параметров линии регрессии:

Уравнение линии регрессии имеет вид:

Исходя из двухмерной выборки построим диаграмму рассеивания и линию регрессии (рисунок 9):

Список литературы

1. А, И, Волковец, А, Б, Гуринович, А, В,Аксенчик, Теория вероятностей и математическая статистика: метод, указания по типовому расчету ,– Минск БГУИР, 2009, – 65 с,: ил,

2. А, И, Волковец, А, Б, Гуринович, Теория вероятностей и математическая статистика: Конспект лекций для студ, всех спец, и форм обучения,– Минск БГУИР, 2003, – 84 л,