Задача №10

По выборке двухмерной случайной величины:

- вычислить точечную оценку коэффициента корреляции;

- вычислить интервальную оценку коэффициента корреляции ;

- проверить гипотезу об отсутствии корреляционной зависимости ;

- вычислить оценки параметров a₀ и a₁ линии регрессии ;

- построить диаграмму рассеивания и линию регрессии.

Выборка:

( 6,21; 1,60) ( 5,52; -6,12) ( 5,01; -3,09) ( 7,00; -1,70) ( 5,27; -2,33) ( 6,34; -1,00) ( -0,60; 0,51) ( 1,06; 6,05)

( 4,57; 4,13) ( -2,75; 6,31) ( 5,82; -4,21) ( -0,45; 3,34) ( 3,66; 2,63) ( -1,17; 2,69) ( 5,49; 1,27) ( 5,78; 0,77)

( 2,64; 3,65) ( 2,20; 4,70) ( -4,81; 3,06) ( -2,32; 0,38) ( -2,94; 9,91) ( -1,34; 5,50) ( -3,76; 7,02) ( -1,46; 6,83)

( 2,75; -2,70) ( -2,57; 3,90) ( 7,91; -1,49) ( 4,03; 0,58) ( 3,66; 0,09) ( 4,27; 1,25) ( 6,95; -0,28) ( 5,33; -4,10)

( 1,51; 4,32) ( -3,82; 5,53) ( 2,44; 2,57) ( 8,79; -3,60) ( -0,51; 5,55) ( 2,40; -0,33) ( 8,93; -0,78) ( 1,06; 2,25)

( -0,55; 0,81) ( 15,08; -3,79) ( 3,12; -3,77) ( -1,41; 0,26) ( 4,61; 2,71) ( 2,69; 0,75) ( -3,08; 1,39) ( 6,71; 4,56)

( 1,67; -3,63) ( 3,61; -0,15)

Решение

Для удобства все промежуточные вычисления поместим в таблицу 7, Вычислим:

1. Оценки математических ожиданий по каждой переменной:

2. Оценки начальных моментов второго порядка по каждой переменной:

3. Оценку смешанного начального момента второго порядка:

4. Оценки дисперсий:

5. Оценку корреляционного момента:

Таблица 7 – Результаты промежуточных вычислений

	x	y	x^2	y^2­	x*y
	6,21	1,60	38,564	2,560	9,936
	5,52	-6,12	30,470	37,454	-33,782
	5,01	-3,09	25,100	9,548	-15,481
	7,00	-1,70	49,000	2,890	-11,900
	5,27	-2,33	27,773	5,429	-12,279
	6,34	-1,00	40,196	1,000	-6,340
	-0,60	0,51	0,360	0,260	-0,306
	1,06	6,05	1,124	36,603	6,413
	4,57	4,13	20,885	17,057	18,874
	-2,75	6,31	7,563	39,816	-17,353
	5,82	-4,21	33,872	17,724	-24,502
	-0,45	3,34	0,203	11,156	-1,503
	3,66	2,63	13,396	6,917	9,626
	-1,17	2,69	1,369	7,236	-3,147
	5,49	1,27	30,140	1,613	6,972
	5,78	0,77	33,408	0,593	4,451
	2,64	3,65	6,970	13,323	9,636
	2,20	4,70	4,840	22,090	10,340
	-4,81	3,06	23,136	9,364	-14,719
	-2,32	0,38	5,382	0,144	-0,882
	-2,94	9,91	8,644	98,208	-29,135
	-1,34	5,50	1,796	30,250	-7,370
	-3,76	7,02	14,138	49,280	-26,395
	x	y	x^2	y^2­	x*y
	-1,46	6,83	2,132	46,649	-9,972
	2,75	-2,70	7,563	7,290	-7,425
	-2,57	3,90	6,605	15,210	-10,023
	7,91	-1,49	62,568	2,220	-11,786
	4,03	0,58	16,241	0,336	2,337
	3,66	0,09	13,396	0,008	0,329
	4,27	1,25	18,233	1,563	5,338
	6,95	-0,28	48,303	0,078	-1,946
	5,33	-4,10	28,409	16,810	-21,853
	1,51	4,32	2,280	18,662	6,523
	-3,82	5,53	14,592	30,581	-21,125
	2,44	2,57	5,954	6,605	6,271
	8,79	-3,60	77,264	12,960	-31,644
	-0,51	5,55	0,260	30,803	-2,831
	2,40	-0,33	5,760	0,109	-0,792
	8,93	-0,78	79,745	0,608	-6,965
	1,06	2,25	1,124	5,063	2,385
	-0,55	0,81	0,303	0,656	-0,446
	15,08	-3,79	227,406	14,364	-57,153
	3,12	-3,77	9,734	14,213	-11,762
	-1,41	0,26	1,988	0,068	-0,367
	4,61	2,71	21,252	7,344	12,493
	2,69	0,75	7,236	0,563	2,018
	-3,08	1,39	9,486	1,932	-4,281
	6,71	4,56	45,024	20,794	30,598
	1,67	-3,63	2,789	13,177	-6,062
	3,61	-0,15	13,032	0,023	-0,542
Сумма:	130,55	63,80	1147,005	689,202	-267,529

6. Точечную оценку коэффициента корреляции:

7. Вычислим интервальную оценку коэффициента корреляции с заданной надёжностью , По таблице функции Лапласа [1, стр, 61] :

Таким образом, доверительный интервал для коэффициента корреляции имеет вид:

8. Проверим гипотезу о корреляционной зависимости:

Так как объём выборки велик (n>50), то критерий вычислим по формуле:

По таблицы функции Лапласа ,

Так как , то гипотеза принимается, т,е, величины и не коррелированны,

9. Вычислим оценки параметров линии регрессии:

Уравнение линии регрессии имеет вид:

Исходя из двухмерной выборки построим диаграмму рассеивания и линию регрессии (рисунок 9):

Список литературы

1. А, И, Волковец, А, Б, Гуринович, А, В,Аксенчик, Теория вероятностей и математическая статистика: метод, указания по типовому расчету ,– Минск БГУИР, 2009, – 65 с,: ил,

2. А, И, Волковец, А, Б, Гуринович, Теория вероятностей и математическая статистика: Конспект лекций для студ, всех спец, и форм обучения,– Минск БГУИР, 2003, – 84 л,