12_0_1_63762

Определить подгруппу группы .
3.14 Докажите,	что числа, кратные	3, образуют подгруппу целых чисел
с операцией сложения. Постройте смежные классы этой подгруппы.
3.15 Постройте	поле Галуа (4),	если задано множество элементов

= {0, 1, , }.

3.16Постройте поле Галуа (4) с помощью арифметических таблиц.

3.17Постройте поле Галуа (4) для числового множества = {0, 1, 2, 3}.

3.18Постройте таблицы Кэли операций деления, вычитания в поле Галуа (5).

3.19Вычислите в поле Галуа (5): (( 3 · [(2 + 4) · 34])).

3.20Решить в поле Галуа (4) систему уравнений

2 + = 3,

+ 2 = 3.

3.21Показать, что многочлен 7+ 1 равен произведению неприводимых над полем (2) многочленов: 7+ 1 = ( + 1)( 3 + 2 + 1)( 3 + + 1).

3.22Поле образовано полиномами над полем (2) по модулю неприводи-

мого полинома = 1 + + 3. Вычислить: (101)−1 , если: А = 1 + + 2;

В= + 2.

3.23Поле образовано полиномами над полем (2) по модулю неприводи-

мого полинома = 1 + + 3. Вычислить: 1 + 2 , если: А = 1 + + 2;

В= + 2.

3.24Найти обратный элемент поля Галуа элементу 5, если элементы поля порождаются полиномом ( ) = (1 + 3 + 4), неприводимым над полем (2).

3.25Поле образовано полиномами над полем (2) по модулю неприводи-

мого полинома = 1 + + 3. Вычислить полином , обратный полиному

В= 1 + 2.

3.26Построите все неприводимые полиномы третьей степени над полем (2).

3.27Привести четыре формы представления элементов поля Галуа (24). Поле образовано многочленами над полем (2) по модулю неприводимого многочлена ( ) = (1+ 3+ 4).

3.28Привести четыре формы представления элементов поля (24). Поле

образовано неприводимым над полем (2) полиномом				= 1 + + 4.
3.29 Запишите передаточную функцию			многотактной переключатель-
ной схемы, изображенной на рисунке 3.1.
X	DX	D2X	D3X		D4X

+

+ Y

Рисунок 3.1

3.30Постройте М-последовательность длиной 15.

3.31Изобразите структурную схему генератора М-последовательности дли-

ной 15.

3.32Показать смену двоичных состояний ячеек регистра сдвига.

41

ЛИТЕРАТУРА

1 Теория прикладного кодирования : учеб. пособие : в 2 т. / В. К. Конопелько, А. И. Митюхин и др.; под ред. проф. В. К. Конопелько. ‒ Минск : БГУИР, 2004.

2 Лосев, В. В. Микропроцессорные устройства обработки информации. Алгоритмы цифровой обработки : учеб. пособие / В. В. Лосев. ‒ Минск : Вышэйшая школа, 1990.

3 Андерсон, Дж. А. Дискретная математика и комбинаторика : пер. с англ. / Дж. А. Андерсон. ‒ М. : Вильямс, 2004.

4 Лидл, Р. Конечные поля : в 2 т. / Р. Лидл, Г. Нидеррайдер. ‒ М. :

Мир, 1988.

5 Вернер, М. Основы кодирования : учебник для ВУЗов / М. Вернер.

– М. : Техносфера, 2006.

6Морелос-Сарагоса, Р. Искусство помехоустойчивого кодирования. Методы алгоритмы, применение : уч. пособие / Р. Морелос-Сарагоса. – М. : Техносфера, 2005.

7Мак-Вильямс, Ф. Дж. Теория кодов, исправляющих ошибки / Ф. Дж. Мак-Вильямс, Н. Дж. Слоэн. – М. : Связь, 1979.

8Кларк, Дж. Кодирование с исправлением ошибок в системах цифровой связи : пер. с англ. / Дж. Кларк, Дж. Кейн. – М. : Радио и связь, 1987.

9Блейхут, Р. Теория и практика кодов, контролирующих ошибки : пер. с англ. / Р. Блейхут. – М. : Мир, 1986.

10Муттер, В. М. Основы помехоустойчивой телепередачи информации / В. М. Муттер. – Л. : Энергоатомиздат. Ленингр. отд-ние, 1990.

11Габидулин, Э. М. Кодирование в радиоэлектронике / Э. М. Габидулин, В. Б. Афанасьев. – М. : Радио и связь, 1986.

12Касами, Т. Теория кодирования : пер. с яп. / Т. Касами, Н. Токура, Ё. Ивадари, Я. Инагаки. – М. : Мир, 1978.

13Мак-Вильямс, Ф. Дж. Теория кодов, исправляющих ошибки / Ф. Дж. Мак-Вильямс, Н. Дж. Слоэн. – М. : Связь, 1979.

14Макклеллан, Дж. К. Применение теории чисел в цифровой обработке сигналов / Дж. К. Макклеллан, Ч. М. Рейдер. – М. : Радио и связь, 1983.

15Хаггарти, Р. Дискретная математика для программистов / Р. Хаггарти. – М. : Техносфера, 2005.

42

	СОДЕРЖАНИЕ
Введение .....................................................................................................		3
1 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ...........................................................................		4
1.1	Понятие множества .........................................................................	4
1.2	Операции над множествами ...........................................................	5
1.3. Диаграммы Венна ...........................................................................		6
1.4. Булевы алгебры...............................................................................		8
1.4.1. Аксиомы булевой алгебры......................................................		8
1.5. Отношения.....................................................................................		10
1.5.1. Свойства отношений .............................................................		10
1.6	Отношения эквивалентности........................................................	11
1.7	Сравнения и вычеты ......................................................................	12
2 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ...................................................		14
2.1	Элементы теории конечных групп...............................................	14
2.1.1 Арифметика конечных групп ................................................		14
2.1.2 Особые свойства мультипликативной группы ....................		17
2.1.3 Теорема Лагранжа ..................................................................		19
2.1.4. Подгруппа...............................................................................		20
2.1.5 Определение смежного класса по подгруппе ......................		21
2.2	Кольцо.............................................................................................	23
2.2.1 Идеал кольца ...........................................................................		24
2.2.2 Главный идеал.........................................................................		25
2.2.3 Полиномиальные формы кольца ...........................................		25
2.2.3.1 Сравнения и вычеты полиномов ........................................		25
2.3	Поле.................................................................................................	26
2.3.1. Полиномиальные формы поля..............................................		29
2.3.2. Представление элементов поля Галуа GF(qm).....................		30
2.4	Вычисления в конечном поле Галуа ............................................	34
2.4.1 Описание структурных схем для выполнения операций
в поле (qm) ....................................................................................		34
2.4.2 Линейная многотактная переключательная схема ..............		35
2.4.3 Генератор псевдослучайной последовательности...............		37
3 КOНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ .........................................		40
ЛИТЕРАТУРА .........................................................................................		42

43

Учебное издание

Митюхин Анатолий Иванович

ЭЛЕМЕНТЫ КОНЕЧНОЙ АЛГЕБРЫ

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

Редактор С. М. Курбыко, О. А. Кучинский

Корректор С. М. Курбыко Компьютерная верстка С. М. Курбыко

Подписано в печать 19.07.2010. Формат 60 90 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура Times. Ризография.

Усл. печ. л. 2,75. Уч.-изд. л. 1,66. Тираж 55 экз. Заказ № 141.

Издатель и полиграфическое исполнение учреждение образования «Международный государственный

экологический университет имени А. Д. Сахарова»

ЛИ № 02330/0131580 от 28.07.2005 г.

Республика Беларусь, 220070, г. Минск, ул. Долгобродская, 23

E-mail: [e-mail]

http://www.iseu.by

44