Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования

«Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники»

Кафедра физики

МЕХАНИКА. КОЛЕБАНИЯ. ВОЛНЫ

Методические указания к решению задач по курсу «Физика»

для студентов специальностей 1-26 02 03, 1-40 01 02, 1-27 01 01 инженерно-экономического факультета

Минск БГУИР 2010

УДК 531+534(076.1) ББК 22.2+22.336я73

М55

С о с т а в и т е л и:

А. В. Березин, З. А. Боброва, Н. Р. Последович

Р е ц е н з е н т:

доцент кафедры физики БГУИР, кандидат физико-математических наук С. В. Родин

Механика. Колебания. Волны: метод. указания к решению задач по

курсу «Физика для студ. спец. 1-26 02 03, 1-40 01 02, 1-27 01 01

инж.-эконом. факультета / сост.А. В. Березин, З. А. Боброва, Н. Р. Последович. – Минск : БГУИР, 2010. – 57 с.: ил.

ISBN 978-985-488-608-4.

Предназначены для организации самостоятельной работы студентов инженер- но-экономических специальностей БГУИР на практических занятиях по темам: механика, колебания, волны. По каждому разделу дано подробное описание решения пяти задач и приведены условия задач для самостоятельного решения.

УДК 531+534(076.1)

ББК 22.2+22.336я73

ISBN 978-985-488-608-4	© Березин А. В., Боброва З. А.,
	Последович Н. Р., 2010
	© УО «Белорусский государственный
	университет информатики
	и радиоэлектроники», 2010

2

ГРЕЧЕСКИЙ АЛФАВИТ

A, α – альфа; B, β – бета; ? , γ – гамма; ∆, δ – дельта; Ε, ε – эпсилон; Ζ, ζ – дзета; Η, η – эта; Θ, θ – тэта; Ι, ι – йота; Κ, κ – каппа; Λ, λ – ламбда; Μ, µ – мю; Ν, ν – ню; Ξ, ξ – кси; Ο, ο – омикрон; Π, π – пи; Ρ, ρ –

ро; Σ, σ – сигма; Τ, τ –

тау; V, υ – ипсилон; Φ,

ϕ – фи; Χ, χ – хи;

Ψ,

ψ –

пси; Ω, ω – омега.

ФУНКЦИИ, ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИЙ

Пусть y = f (x) − функция, заданная в окрестности некоторой точки x0 на

числовой оси x, и пусть ∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0 )

– ее приращение в окрестности

этой точки, соответствующее приращению аргумента ∆x = x − x0 .

Предел отношения

f (x0 + ∆x) − f (x0 )

= lim ∆y

f ′(x ) = lim

0

∆x→0

∆x

∆x→0 ∆x

называется производной функции y = f (x) в точке

x0 .

Другие обозначения

производной в точке x → f ′(x), df (x) ,

d

f (x),

dy

,

y′x ,

y .

dx

dx

dx

Производная есть мера скорости изменения y относительно x . Пусть

y = f (x1, x2 , ..., xn ) – действительная функция n переменных x1,

x2 , ..., xn . Ча-

стная производная первого порядка функции

y = f (x1,

x2 , ..., xn ) по

x1

есть

предел

lim

f (x1 + ∆x1, x2, ...,

xn ) − f (x1, x2,

..., xn )

≡

∂f

≡

∂y

≡ f ′

(x ,

x , ..., x

) .

∆x1→0

∆x

∂x

∂x

x

1

2

n

1

1

1

1

Эта производная есть мера скорости изменения y относительно x1 при фикси-

рованных значениях остальных независимых переменных. Аналогично определяются частные производные по x2 , x3, ..., xn . Каждая частная производная

∂f может быть найдена посредством взятия производной от функции

∂xk

f (x1, x2 , ..., xn ) по xk , если остальные n −1 независимых переменных рассматриваются как постоянные.

СВОЙСТВА ПРОИЗВОДНЫХ

Пусть заданы две независимые функции f (x) и g(x). Тогда:

1.( f (x) + g(x))′ = f ′(x) + g′(x) .

2.( f (x) g(x))′ = f ′(x) g(x) + f (x) g′(x) .

3

	3.		f (x)	′		f ′(x) g(x) − f (x) g′(x)	.
					=
			g(x)
						g2 (x)

	Второй производной функции			y = f (x) по x называется производная от
	первой производной по x	f ′(x) =	d 2 y	≡ y′ и читается d два y по dx дважды.
			dx2
	ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
	Функция y = f (x)	называется дифференцируемой в точке x , если ее при-

ращение ∆y , соответствующее приращению аргумента ∆x в этой точке, может быть представлено в виде ∆y = A∆x + α(∆x)∆x , где A = const, α(∆x) – бесконечно малая функция при ∆x → 0 . Главная часть A∆x приращения ∆y , линейная относительно ∆x , называется дифференциалом функции y = f (x) в точке x и обозначается dy , df (x) или df . Коэффициент A равен первой производной от функции f (x) → A = f ′(x) и dy = f ′(x)∆x или dy = f ′(x)dx , так как dx = ∆x . Применение дифференциала к приближенным вычислениям основано на ис-

пользовании

приближенных

равенств:

∆y = dy

;

f (x0 + ∆x) ≈

≈ f (x0 ) + f ′(x0 )∆x .

ПРОИЗВОДНЫЕ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ

′

′

3. (x)

n

= nx

n−1

4.

1

′

1

.

=1.

= −

1. (C) (const) = 0. 2. (x)

.

x2

x

1 ′

n

′

1

n

′

1

x

′

x

5.

= −

. 6. (

x ) =

.

7. (

x )

=

. 8. (e

)

= e

.

n

n+1

x

2

x

nn xn−1

x

nx

′

nx

x

′

x

′

1

′

9. (e

= ne

. 10. (a

= a

lnα.

11. (ln x)

= x . 12.

= cos x.

)

)

(sin x)

13.

[(sinCx)′ = C cosCx]. 14.(cos x)′ = −sin x. 15. (tgx)′ =

1

= sec2x.

cos2 x

16.

(ctgx)′ = −

1

= −cosec2x.

17. (arccos x)′ = −

1

.

18. (arctgx)′ =

1

.

sin2 x

1+ x2

1− x2

19.(arcctgx)′ = −

1

. 20.

u

′

vu′−uv′

.

=

1+ x2

v 2

v

4