5

Веса разрядов в двоичной системе счисления изменяются по степеням двойки: например:

Номер разряда 7 6 5 4 3 2 1 0

Степень двойки 27 26 25 24 23 22 21 20

Значение позиции (вес разряда) 128 64 32 16 8 4 2 1.

1.3. Восьмеричная система счисления.

Используемые цифры от 0 до 7. Основание системы счисления – 8.

1.4. Шестнадцатеричная система счисления.

Используемые цифры от 0 до 9, A, B, C, D, E, F. Основание системы счисления – 16.

1.5. Перевод чисел из одной системы счисления в другую.

Перевод двоичных чисел в 8-ую и 16-ую системы счисления.

Чтобы перевести число из 2-ой с.с. в 8-ую с.с., нужно разбить двоичное число на триады; от десятичной точки влево и вправо, т.е. целую и дробную части отдельно и каждую триаду заменить восьмеричной цифрой в соответствии с таблицей:

Двоичная	Восьмиричная
триада	цифра
000	0
001	1
010	2
011	3
100	4

6

101	5
110	6
111	7

Для перевода 2-ного числа в 16-ую с.с., двоичное число надо разбить на тетрады от десятичной точки влево и вправо и каждую тетраду заменить шестнадцатеричной цифрой в соответствии с таблицей:

Двоичная	Шестнадцатеричная
тетрада	цифра
0000	0
0001	1
0010	2
0011	3
0100	4
0101	5
0110	6
0111	7
1000	8
1001	9
1010	A
1011	B
1100	C
1101	D
1110	E
1111	F

Например,

Перевод 8-миричных и 16-тиричных чисел в двоичную систему счисления.

7

Для перевода 8-ного числа в 2-ую с.с. надо каждую 8-ую цифру заменить двоичным кодом.

Для перевода 16-ного числа в 2-ую с.с. надо каждую 16-ую цифру заменить двоичным кодом.

Например:

8-ая и 16-ая с.с. используются для удобства чтения двоичных чисел.

Перевод в 10-ую систему счисления

Чтобы перевести число из системы счисления с основанием q в систему счисления с основанием 10 надо представить число в виде суммы произведений значений разрядов на их веса, т.е. перевод в десятичную систему числа x, записанного в q-ичной cистеме счисления (q = 2, 8 или 16) в виде xq = (anan-1 ... a0 , a-1 a-2 ... a-m)q

сводится к вычислению значения многочлена

x10 = an qn + an-1 qn-1 + ... + a0 q0 + a-1 q-1 + a-2 q-2 + ... + a-m q-m

средствами десятичной арифметики.

Примеpы:

Перевод из 10-ой системы счисления

8

Для перевода десятичного числа в систему счисления с основанием q надо разделить в десятичной системе счисления это десятичное число на q и найти остаток. Если частное больше q, то разделить его на q и найти остаток. Эту операцию выполнять до тех пор пока не получим частное меньшеq. Чтобы получить искомое число надо записать последнее частное старшим разрядом искомого числа, последний остаток следующим разрядом искомого числа и т.д. Младшим разрядом будет первое частное.

Пример: Переведем число 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

Ответ: 7510 = 1 001 0112 = 1138 = 4B16.

Для перевода правильной десятичной дроби F в систему счисления с основанием q необходимо F умножить на q , записанное в той же десятичной системе, затем дробную часть полученного произведения снова умножить на q, и т. д., до тех пор, пока дробная часть очередного произведения не станет равной нулю, либо не будет достигнута требуемая точность изображения числа F в q-ичной системе. Представлением дробной части числа F в новой системе счисления будет последовательность целых частей полученных произведений, записанных в порядке их получения и изображенных одной q-ичной цифрой. Если требуемая точность перевода числа F составляет k знаков после запятой, то предельная абсолютная погрешность при этом равняется q -(k+1) / 2.

Пример. Переведем число 0,36 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

9

Для чисел, имеющих как целую, так и дробную части, перевод из десятичной системы счисления в другую осуществляется отдельно для целой и дробной частей по правилам, указанным выше.

Сводная таблица переводов целых чисел из одной системы счисления в другую

Рассмотрим только те системы счисления, которые применяются в компьютерах – десятичную, двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную. Для определенности возьмем произвольное десятичное число, например 46, и для него выполним все возможные последовательные переводы из одной системы счисления в другую. Порядок переводов определим в соответствии с рисунком:

На этом рисунке использованы следующие обозначения:

в кружках записаны основания систем счисления;стрелки указывают направление перевода;

номер рядом со стрелкой означает порядковый номер соответствующего примера в сводной таблице.

10

Например: означает перевод из двоичной системы в шестнадцатеричную, имеющий в таблице порядковый номер 6.

Сводная таблица переводов целых чисел